初中一对一精品辅导讲义：幂函数

教学目标1、掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。2、能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。重点、难点从具体函数归纳认识幂函数的一些性质并简单应用，引导学生概括出幂函数的性质。考点及考试要求考点1：幂函数的概念考点2：指数函数与幂函数的性质考点3：指数函数与幂函数的区别教学内容第一课时幂函数知识盘点一、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如J=xa3eR）的函数称为幂函数，其中a为常数.2、幂函数性质归纳.（1）所有的幂函数在（0,+8）都有定义并且图象都过点（1,1）；a>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间［0,+8）上是增函数.特别地，当a>1时，幂函数的图象下凸；当0<a<1时，幂函数的图象上凸；a<0时，幂函数的图象在区间（0,+8）上是减函数.在第一象限内，当X从右边趋向原点时，图象在J车轴右方无限地逼近J轴正半轴，当X趋于+8时，图象在X轴上方无限地逼近X轴正半轴.函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想.下面剖析几例，以拓展你的思维.二、幂函数解题思想（一）分类讨论的思想例1已知函数J= 2"-3（neZ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象.解：因为图象与y轴无公共点，故n2-2n-3W0，又图象关于y轴对称，则n2-2n-3为偶数，由n2-2n-3W0，得-1WnW3,又因为neZ，所以n=0,土1,2,3.当n=0时，n2-2n-3=-3不是偶数；当n=1时，n2-2n-3=-4为偶数；当n=-1时，n2-2n-3=0为偶数；当n=2时，n2-2n-3=-3不是偶数；

当n=3时，n2-2n-3=0为偶数;所以n为-1,1或3.此时，幂函数的解析为尸％。("0)或》=%J其图象如图1所示.(二)数形结合的思想已知点(、32已知点(、32)在幂函数于(X)的图象上，点r11-2,一在幂函数g(%)的图象上.问当X为何值时有：(1)f(%)>g(%)；(2)f(%)=g(%)；(3)f(X)<g(%).分析：由幂函数的定义，先求出f(%)与g(%)的解析式，再利用图象判断即可.解：设f(%)=%m，则由题意，得2=(五)m,=(-2)n・•・m=2，即f(%)=%2.再令g(%)=%n，则由题意，得4 ,.・・n=-2，即g(%)=%-2(%。0).在同一坐标系中作出f(%)与g(%)的图象，如图2所示.由图象可知：(1)当%>1或%<-1时，f(%)>g(%)；(2)当%=±1时，f(%)=g(%)；(3)当-1<%<1且%丰0时，f(%)<g(%).小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中g(%)的隐含条件%。0.(三)转化的数学思想1例3函数》=(m%2+4%+m+2)-4+(m2-m%+1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是( ).

A.（6-1，2） B.（行T，+8） C.（-2,2） d.㈠-石，T+后）十解析：要使函数》=(mx2+4x+m+2厂4+(m2-mx+1)的定义域是全体实数，可转化为mx2+4x+m+2>0对一*切实数都成立，即m>0且'=42-4m(m+2)<0.解得m>,、5-1. 故选(B)第二课时幂函数习题精讲幂函数中的三类讨论题：所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论.在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现.类型一：求参数的取值范围例1已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m。Z)为偶函数，且/⑶</⑸，求m的值，并确定于。)的解析式.分析：函数于(X)=x-2m2+m+3(meZ)为偶函数，已限定了-2m2+m+3必为偶数，且mgZ,/⑶</⑸,只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定f(x)的解析式.解：：fx)是偶函数，，-2m2+m+3应为偶数.m+3又：f又：f（3）<f（5），即3-2m2+m+3<、-m2+m+3,整理，得，•二-2m2+m+3>0,.又：meZ，.二m=0或1.当m=0时，-2m2+m+3=3为奇数(舍去)；当m=1时，-2m2+m+3=2为偶数.故m的值为1,f(x)=x2.评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础.类型二：求解存在性问题

例2已知函数于（X）=%2，设函数g（%）=-矶于（X）］+（2q-1）f（x）+1，问是否存在实数q（q<0,使得g（%）在区间（-8,-4］是减函数，且在区间（-4⑼上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间.解：：f（X）=X2，则g（X）=-qx4+（2q-1）x2+1.假设存在实数q（q<0），使得g（x）满足题设条件，设X1<X2，则g(X)-g(x)=-qX4+(2q-1)x2+qX4-(2q-1)x21 2 1 1 2 2=(x+x)(x-x)[q(%2+%2)-(2q-1)]•若X, x2式-8,-4],易知x1 +X2 <0，X2-x1 >0，要使g(X)在(-8,-4]上是减函数，则应有q(%2+%2)-(2q-1)<0怛成立.,/x<-4,xW-4,A%2+%2>32•而q<0,*・•q(%2+%2)<32q.从而要使q(%2+x2)<2q-1恒成立，则有2q-1232q,若x,xg(-4,0),易知(x+x)(x-x)<0,要使f(x)在(-4,0)上是增函数，则应有1 2 12 2 1q(%2+%2)-(2q-1)>0恒成立.•-4<x<0,-4<x<0•・X•・X2+X2<32，而q<0,••q(%2+%2)>32q-要使q（x；+x2）>2q-1恒成立，则必有2q-1<32q，即q三-（.综上可知，存在实数q=-工，使得g（%）在（-8,-4］上是减函数，且在（-4,0）上是增函数.30评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用.判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练.类型三：类比塞函数性质，讨论函数值的变化情况例3讨论函数y=（k2+k）XQ2k-1在%>0时随着X的增大其函数值的变化情况.分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论.解：（1）当k2+k=0，即k=0或k=-1时，y=0为常函数；

(2)当k2-2k-1=0时，k=1-2或k=1+丫：2，此时函数为常函数;(3)1k2+k>0即0<k<1+⑤时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；[k2-2k-1<0,(4)当卜2+k>0即k<-1或k>1+五时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；[k2-2k-1>0,(5)当卜2+k<0即1-正<k<0时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；[k2-2k-1<0,(6)当卜2+k<0，即-1<k<1-V2时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小.[k2-2k-1>0,评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素.这应引起我们的高度警觉.第三课时幂函数巩固练习第三课时幂函数巩固练习例1若(m+1)-1<(3-2m)-1，试求实数m的取值范围.正解(分类讨论)：m+1>0,<3-2m>0,m+1>3-2m,解得2<dm<3；3 2m+1<0,J3-2m<0,此时无解;m+1>3-2m,Jm+1<°,，解得m<-1.[3-2m>0,，23、综上可得mg(-8,-1)U2，—.132；例2若(m+1)3<(3-2m)3,试求实数m的取值范围.

正解(利用单调性)：由于函数)=x3在(-8,+8)上单调递增，所以m+1<3-2m，解得例3若(m+1)1<(3-2m)；，试求实数m的取值范围.m+10,解：由图3,<3-2m〉0,，解得-1Wm<例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：y解：由图3,例1.写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：y=x3 (2)y=x2 (3)y=x-2(4)y=x2+x-2 (5)y=x2+x-2 (6)f(x)=x2+3(-x)4解：(1)此函数的定义域为R,f(-x)=(-x)3二-x3=-f(x)工此函数为奇函数.y=x2=<x・・・此函数的定义域为［0,+8);此函数的定义域不关于原点对称・此函数为非奇非偶函数.33-2m〉m+1,例4若(m+1)4<(3-2m)4,试求实数m的取值范围.解析：作出幂函数y=x4的图象如图4.由图象知此函数在(-8,0)U(0,+8)上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键.考虑a二4时，x4二|x|4.于是有(m+1)4<(3-2m)4，即|m+1|・・・此函数的定义域为(-8,0)U(0,+8)<|3・・・此函数的定义域为(-8,0)U(0,+8)又丁幂函数y=x4在(0,+8)上单调递增，・・・|m+1|<|3-2m|,解得m<2,或m>4.^3典型例题

f(-x)=\=！二f(x)此函数为偶函数1J=x2+x—2=x2H x2・♦・此函数的定义域为(-8,0)。(0,+8)f(—x)=(—x)2H =x2+—=f(x) ・,•此函数为偶函数(—x)2 x2J=x2+x-2=<x+」=vx・♦・此函数的定义域为［0,+8)■.•此函数的定义域不关于原点对称・•.此函数为非奇非偶函数f(x)=x2+3(—x)4=弋x+34-x・♦・此函数的定义域为{0}・••此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性:、 5 、 3 、(3)j=x4(4)j=x-5(5)例2比较大小:1 1(1)1 1(1)1.52,1.72(2)(―1.2)3,(—1.25)3(3)5.25(3)5.25-1,5.26—1,5.26—2(4)0.53,30.5,log30.5解：(1)VJ=x2在［0,+8)上是增函数，1.5<1,7,A1.52<1.7(2)・・・j=x3在R上是增函数，-1.2>-1.25，.二(-1.2)3>(-1.25)3(3)・・・j=x-1在(0,+8)上是减函数，5.25<5.26，•二5.25-1>5.26-1；・,j=5.26x是增函数，-1>-2,•・5,26-1>5.26-2；综上，5.25-1>5.26-1>5.26-(4)：0<0.53<1,30.5>1,10g30.5<0,•・1og30.5<0.53<30.5变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列:2 2 2(1)2.53,(-1.4)3,(-3)3、 3 3 3(2)0.16-4,0.5-2,6.2582121(3)(2)-3,113-3,33,(-)例3已知幂函数j=X.2-2m-3(mGZ)的图象与x轴、j轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.分析：幂函数图