2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)07 函数的性质-单调性、奇偶性、周期性 (含详解)

专题07函数的性质——单调性、奇偶性、周期性

【考点预测】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

一般地，设函数/(X)的定义域为A,区间D=A：

如果对于。内的任意两个自变量的值斗，々当王<々时:都有/(百)</(々)，那么就说f(x)在区间。

上是增函数.

如果对于。内的任意两个自变量的值占，x2,当X1<当时，都有/(%)</(即，那么就说/(幻在区间。

上是减函数.

①属于定义域A内某个区间上；

②任意两个自变量玉，X?且不<花；

③都有/U,)<f(w)或f(±)>f(x2)；

④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.

(2)单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间£>上具有

单调性，。称为函数/(x)的单调区间.

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质.

(3)复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函数，内层函数是增

(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是减(增)函数，复合函数是减函

2.函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有关于y轴对

偶函数

/(-%)=/(X),那么函数/(X)就叫做偶函数称

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有关于原点对

奇函数

/(-x)=-/(x),那么函数/(X)就叫做奇函数称

判断y(-x)与/(X)的关系时，也可以使用如下结论：Mf(-x)-/(x)=0=1(/(%)*0),则函

/(x)

数/(x)为偶函数；如果/(—x)+/(x)=0或止&=T(/(x)30)，则函数/(幻为奇函数.注意：由函数奇

fW

偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,-X也在定义域内(即定

义域关于原点对称).

3.函数的对称性

(1)若函数y=/(升。)为偶函数，则函数y=/(x)关于x=a对称.

(2)若函数y=/(x+”)为奇函数，则函数y=/(x)关于点5，0)对称.

(3)若f(x)=/(2a-x),则函数/(x)关于x=a对称.

(4)若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)关于点(a,b)对称.

4.函数的周期性

(1)周期函数：

对于函数.丫=/(X),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+T)=/(x),

那么就称函数)，=/(x)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做fM的最小正周期.

【方法技巧与总结】

1.单调性技巧

(I)证明函数单调性的步骤

①取值：设为，尤2是70)定义域内一个区间上的任意两个量，且也<当；

②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形：

③定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

④得出结论.

(2)函数单调性的判断方法

①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值一变形一判断符号一下结论”进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

(3)记住几条常用的结论：

①若是增函数，贝为减函数；若/(x)是减函数，则-/。)为增函数；

②若/(%)和g(x)均为增(或减)函数，则在/(%)和g(x)的公共定义域上/(x)+g(x)为增(或减)函数；

③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数为增函数，一1—为减函数：

f(x)

④若f(x)>0且/(x)为减函数，则函数再y为减函数，1为增函数•2.奇偶性技巧

(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

(2)奇偶函数的图象特征.

函数/(x)是偶函数o函数./(X)的图象关于y轴对称；

函数/(x)是奇函数。函数/(%)的图象关于原点中心对称.

(3)若奇函数y=/(x)在x=0处有意义，则有/(0)=0；

偶函数y=/(x)必满足/(%)=/(|x|).

(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的

两个区间上单调性相同.

(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记

g(x)=+y(-x)］，〃(x)=g"(x)-/(-x)］，则f(x)=g(x)+/l(x).

(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的

函数，如/(x)+g(x),/(X)-g(x),f(x)Xg(x),f(x)+g(x).

对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；

奇乂(十)奇=偶；奇、(十)偶=奇；偶x(十)偶=偶.

(7)复合函数y=/［g(x)］的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.

(8)常见奇偶性函数模型

奇函数：①函数/(x)=+(X*0)或函数fix')=m(^~~-).

a-\a+\

②函数，*)=±(炉一。一,).

③函数/(%)=log„£"=log„(l+&土)或函数/(x)=log“土■里=log“(1--也-)

x-mx-mx+mx+m

22

④函数/(x)=loga(Vx+1+x)或函数/(x)=log„(\/x+1-X).

注意：关于①式，可以写成函数=■-里-(xwO)或函数/(x)=〃2--即-(,〃eR).

axa'+\

偶函数：①函数/。)=±(优+「).

②函数，X)=10gMM+1)-半・

③函数/(UI)类型的一切函数.

④常数函数

函数式满足关系(xeR)周期

f(x+T)=f(x)T

f(x+T)=-f(x)2T

f(x+T)=-^~;f(x+T)=——2T

fMf(x)

f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+T)=-f(x-T)47

f于(a+x)=于(a-x)

2(b-〃)

[f(b+x)=f(b-x)

[f(a+x)=f(a-x)

2a

为偶函数

3.周期性技巧"(x)

f{a+x)=-f{a-x)

2(b-a)

1f(b+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

/(x)为奇函数

f(a+x)=f(a-x)

4(/?-a)

1f{b+x)=-f(b-x)

J/(4z+x)=/(a-x)

1/(x)为奇函数4a

f(a+x)=-f(a-x)

4a

1f(x)为偶函数

4.函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴x=〃，x=b(a<b),则函数/(x)是周期函数，且T=2g—a)；

(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),S,c)(“<b),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=2S—a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(。,0)("力，则函数y=/*)是周期函数，且

T=4s~a).

5.对称性技巧

(1)若函数y=/(x)关于直线x=a对称，则/(a+x)=/'(a-x).

(2)若函数y=f(x)关于点(a,b)对称，则/(a+x)+f(4-x)=26.

(3)函数y=/(a+x)与y=/(a—x)关于y轴对称，函数y=/(〃+x)与y=-/(«-x)关于原点对称.

【题型归纳目录】

题型一：函数的单调性及其应用

题型二：复合函数单调性的判断

题型三：利用函数单调性求函数最值

题型四：利用函数单调性求参数的范围

题型五：基本初等函数的单调性题型六：函数的奇偶性的判断与证明

题型七：已知函数的奇偶性求参数

题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值

题型九：已知/（x）=奇函数+M

题型十：函数的对称性与周期性

题型十一：类周期函数

题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性

题型十三：函数性质的综合

【典例例题】

题型一：函数的单调性及其应用

例1.（2022・全国•高三专题练习）若定义在R上的函数兀v）对任意两个不相等的实数小"总有

〃叱㈤>0成立,则必有（）

a-b

A.加尤）在R上是增函数B.犬x）在R上是减函数

C.函数_/U）先增后减D.函数1x）先减后增

例2.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（x）的定义域为R,且对任意两个不相等的实数"，分都有

（«-/?）［/（«）-/（i）］>0,则不等式/（3x-l）>〃x+5）的解集为（）.

A.（-<»,3）B.（3,+oo）C.（-oo,2）D.（2,+oo）

例3.（2022.全国.高三专题练习）〃%）=5/-2》的单调增区间为（）

例4.（2022・全国・高三专题练习）已知函数/（幻=2'-，.

（1）判断.f（x）在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论;

（2）解关于x的不等式/（logzxXAD.

ay

例5.（2022•全国•高三专题练习）讨论函数/（'）=——（。#0）在（-"）上的单调性.

x-1

【方法技巧与总结】

函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”

进行判断.

②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调

区间.

题型二：复合函数单调性的判断

例6.（2022・全国•高三专题练习（文））函数y=的单调递增区间是（）

B.y,—i]

D.[—1,2]

例7.(2022•全国♦高三专题练习)函数y=bg](一/+以+12)单调递减区间是(

)

3

A.(—oo,2)B.(2,4-OO)C.(—2,2)D.(—2,6)

例8.(2022・全国•高三专题练习)函数/(x)=(；),a-3的单调递减区间是()

A.(-oo,-H»)B.(f,l)C.(3,+oo)D.(L+8)

【方法技巧与总结】

讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性.一般

需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，

再用复合法则，复合法则如下：

1.若“=g(x),y=/(")在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=.f[g(x)]为增函数；

2.若〃=g(x),y=/(M)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则)，=f[g(x)]为减函数.列

表如下:

"=g(X)y=f(<)y=f[g(x

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减.

题型三：利用函数单调性求函数最值

例9.(2022・河南•新乡县高中模拟预测(理))在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义域/内单

调递增且有界的函数〃x),即m加>0,Vxe/,|/(x)归M.则下列函数中，所有符合上述条件的序号是

例10.(2022・全国•高三专题练习)定义在(0,+8)上的函数/(x)对于任意的x,yeR*,总有

〃x)+/(y)=〃孙)，且当x>l时，/(x)<0且=

(1)求/(1)的值；

(2)判断函数在((),+8)上的单调性，并证明；

(3)求函数在ke2上的最大值与最小值.

nY

例11.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/。)=?("0).

(1)判断函数/*)在区间(-2,2)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；

(2)若"3)=3,求-4-1,1］时函数/⑶的值域.

例12.(2022.山西运城.模拟预测(理))己知函数例x)的定义域为/,若存在口，切U/,使得例x)

在出向上的值域为3,依，我们就说f(x)是“类方函数”.下列四个函数中是“类方函数”的是()

①/(x)=-2x+l；②/(x)=V；③/(x)=VT^+2；④f(x)=(g).

A.①②B.②④C.②③D.③④

【方法技巧与总结】

利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值•常用到下面的结论：

1.如果函数y=/(x)在区间①，切上是增函数，在区间g,c)上是减函数，则函数y=/(x)(xea,c)在

x=b处有最大值/(力.

2.如果函数y=/(x)在区间3,句上是减函数，在区间/，c)上是增函数，则函数y=/(x)(xea,c)在

x=b处有最小值f(b).

3.若函数y=/(x)在必，句上是严格单调函数，则函数y=/(x)在［外句上一定有最大、最小值.

4.若函数y=f(x)在区间［“，句上是单调递增函数，则y=f(x)的最大值是f3),最小值是/(“).

5.若函数y=/(x)在区间句上是单调递减函数，则y=/(x)的最大值是/(a),最小值是/S).

题型四：利用函数单调性求参数的范围

..仅x+2,x>0.、

例13.(2022•河南濮阳•一模(理))“641”是“函数/(x)=1og&+2)+6一2<r<0是在(一工”)上的

单调函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例14.(2022•全国・江西科技学院附属中学高三阶段练习(理))已知函数

<o若四，々eR，且8(")=〃6---2仅有I个零点,

2-log„,(x+l),-l<x<0,xt-x2

则实数机的取值范围为()

A-B-［?；］C.［JD.gl)

例15.(2022•浙江•高三学业考试)已知函数/*)=/-2依+6在区间(-孙1］是减函数，则实数。的

取值范围是()

A.[1,+oo)B.(-co,1]C.[-1,+oo)D.(-00,-1]

ax-\,x<\

例16.（2022・全国•高三专题练习）若函数/（©=是R上的单调函数，则。的取值范围（)

x2-2ax,,x>\

A.（0,|［B.（。,|C.（0,1］D.（0,1）

例17.（2022・全国•高三专题练习）已知函数菽（a>0且awl）在区间［1,3）上单调递增，则

实数”的取值不可能是（）

例18.（2022•山东・济南市历城第二中学模拟预测）函数〃x）=工^在（L+8）上是减函数，则实数a

x-a+3

的范围是.

例19.（2022.全国•高三专题练习）如果cos59-sin5O>7（cos39_sin30）,Oe［O,2兀］,则6的取值范围是

例20.（2022・全国•高三专题练习）已知函数/（X）满足/（x+y）="x）+/（y）-l（x,yeR）,当x>0时,

小）>1,且"1）=2.

（1）求〃0）,/（-1）的值，并判断了（x）的单调性；

（2）当xe［l,2］时，不等式/（加-3x）+/（x）<l恒成立，求实数”的取值范围.

【方法技巧与总结】

若己知函数的单调性，求参数。的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数。的不等式，利

用下面的结论求解.

1.若a>/（x）在［m,ri\上恒成立oa>/（x）在,n］上的最大值.2.若a<f（x）在［m,/?］上恒成立

oa<f（x）在［〃］，川上的最小值.

题型五：基本初等函数的单调性

例21.（2022•全国•高三阶段练习（文））下列函数在（1,3）上单调递减的是（）

A.y=x?-4xB.y=2'T

C.y=^D.y=cosx+l

例22.（2022・全国・高三专题练习）下列函数中，定义域是R且为增函数的是

A.y=e~xB.y=x3C.y=lnxD.y=|x|

例23.（2022•全国•高三专题练习）已知f（x）是奇函数，且必止生对任意和々wR且x产々都

%一々

成立，设6=/(1%7),c=/(-0.83),则()

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

例24.(2022・山东・济南一中模拟预测)设函数〃x)=(|)"+x2,若。=/(ln3),Z>=/(-log52),

c=(e为自然对数的底数)，则().

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【方法技巧与总结】

1.比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.

2.求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区

间(同增异减).

3.利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区

间，与己知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分

点左右端点函数值的大小关系.

题型六：函数的奇偶性的判断与证明

例25.(2022•北京通州•模拟预测)己知函数f(x)=3'—,则()

A.是偶函数，且在R是单调递增B.是奇函数，且在R是单调递增

C.是偶函数，且在R是单调递减D.是奇函数，且在R是单调递减

例26.(2022・安徽・蒙城第一中学高三阶段练习(理))下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函

数的是()

A.y=(B.y=-x-\nxC.y=-x3-xD.y=3+x例27.(2022.广东•二模)存在函数/(x)使

得对于VxeR都有/(g(x))=国，则函数g(x)可能为()

A.g(x)=sinxB.g(x)=x2+2xC.g(x)=x3-xD.g(x)=e'

例28.(2022・全国•高三专题练习)判断下列函数的奇偶性；

(1)段)=\l9-x2+6-9；

⑵©…旧;

A/4-X2

(3)危尸

|x+3|-3

-%2+2x+1,x>0,

(4)贝x)=<2

x2+2x-l,x<0;

例29.(2022.全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数/(x),g(x)满足：①/⑼=1；②g(x)为

奇函数；③Vxw(0,4w),g(x)>0；④任意的x,yeR,〃x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).

(1)判断并证明函数“X)的奇偶性；

(2)判断并证明函数“X)在(0,+?)上的单调性.

【方法技巧与总结】

函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.

题型七：已知函数的奇偶性求参数

/、{x+a,x<0

例30.(2022•北京海淀•二模)若=,八是奇函数，则()

/[hx-l,x>0

A.a=l,b=-lB.a=-l,b=\

C.a=l,b=\D.“=例31.(2022•河南洛阳•三模(理))若函数/(工卜丁,？-2-*)是

偶函数，则。=()

A.-1B.0C.1D.±1

例32.(2022•江苏南通•模拟预测)若函数〃"=马士£为奇函数，则实数。的值为()

2-a

A.1B.2C.—1D.±1

例33.(2022•江西・南昌十中模拟预测(理))已知函数/(x)=x(l+二)为偶函数，则”，的值为

例34.(2022•全国•高三阶段练习(理))已知函数"x)=3'-q--3T(aw0)为奇函数，贝"=.

例35.(2022.全国.高三阶段练习(文))已知函数、为偶函数,则。=.

例36.(2022•陕西・西安中学模拟预测(文))已知函数/(x)=(e'-gjln(G7^-x)为R上的偶函数，

则实数.

【方法技巧与总结】

利用函数的奇偶性的定义转化为了(-x)=±.f(x),建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、

填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.

题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值

例37.(2022•安徽省芜湖市教育局模拟预测(理))设/(x)为奇函数，且x>0时，/(x)=ev+lnx,则

/(-1)=.

例38.(2022.重庆一中高三阶段练习)已知偶函数〃x),当x>0时，”力=--_f(l)x+2,则〃x)

的图象在点(-2,/(-2))处的切线的斜率为()

A.—3B.3C.-5D.5

例39.(2022啊北衡水•高三阶段练习)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x<0时，〃力=3丁-2x+m,

则在［1,2］上的最大值为()

A.1B.8C.-5D.-16

例4().(2022•江西•模拟预测(理))f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=2022'-sinx_25x,则下列说法错误的是()A.g(0)=lB.g(x)在［0』上单调递减

C.g(x-UOl)关于直线x=1101对称D.g(x)的最小值为1

例41.(2022•山西吕梁「模(文))已知函数为定义在R上的奇函数，且当xNO时，/(x)=2r+x-l,

则当x<0时，/(%)=()

A.2-t-x-lB.2-v+x+l

C.-2-,-x-lD.-2-'+x+\

例42.(2022・北京・高三专题练习)已知定义在区上的奇函数/(可满足/(》)="*+2),且当工«0,1)时，

2X

/(x)=-------.

八)4r+l

(1)求f(l)和/(—l)的值；

(2)求在［-1,1］上的解析式.

例43.(2022.全国•高三专题练习)若函数/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且其定义域均为

{X|XGR,X#±1}.若f(x)+g(x)=—求/(x),g(x)的解析式.

X—1

【方法技巧与总结】

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得

/(X)的解析式.

题型九：已知/(x)=奇函数+M

例44.(2022・重庆一中高三阶段练习)已知了(司=，发+人五+4(«,6为实数)，/(lglog,10)=2022,

则“Iglg3)=.

例45.(2022.河南•西平县高级中学模拟预测(理))已知函数/(x)=.3二+1,且〃")=5,则/(-。)=

()

A.2B.3C.-2D.-3

例46.(2022•福建省福州第一中学高二期末)若对Wx，yeR,有/(x+y)=/*)+/(y)-4,函数

*'-COSX+1+/”在区间［-2021,2021］上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为()A.4

B.8C.12D.16

例47.(2022・上海•高一专题练习)若函数/(x)="E」比的最大值和最小值分别为M、m,则

函数g（X）=（M+/77）X+sin|^（M+7M）X-y图像的对称中心不可能是

例48.（2022•河南♦温县第一高级中学高三月考（理））若函数在区间13,5]上

的最大值、最小值分别为p、q,则〃+q的值为（）.

A.2B.1C.6D.3

例49.（2022•黑龙江・哈尔滨三中高三月考（理））函数/（幻=#-2x）（e*T-e-）+x在区间[-1,3]上的

最大值与最小值分别为M,N,则M+N的值为（）

A.-2B.0C.2D.4

22

ax+a+\n[>/x+1+x）A

例50.（2022.广东潮阳.高一期末）函数〃x）=-------------六-------若最大值为M,最

小值为N,ae[l,3],则M+N的取值范围是.

例51.（2022•安徽•合肥市第九中学高三月考（理））已知定义域为R的函数

f（x）=〃+2*+,202°sinx有最大值和最小值,且最大值和最小值的和为6,则九"=_.

2+k

【方法技巧与总结】

已知f（x）=奇函数+M,x&[-a,a],则

（1）f（-x）+f{x}=2M

⑵f（x）皿+/（x『2M

题型十：函数的对称性与周期性

例52.（2022•天津三中二模）设函数y=/（x）的定义域为。，若对任意的士,工2€。，且占+々=2。，恒

有〃西）+/（电）=»,则称函数/（X）具有对称性，其中点（。向为函数y=f（x）的对称中心，研究函数

-l+S+tan（l）的对称中心，求《羲）+/（募）+/（羲）…+,卷上<）

A.2022B.4043C.4044D.8086

例53.（2022•全国•模拟预测）已知定义在R上的函数“X）满足〃x+2）=/（x+4）,且〃x+1）是奇函

数，则（）A./（x）是偶函数B.“X）的图象关于直线x=:对称

C.“X）是奇函数D.“X）的图象关于点（g,0卜寸称

例54.（2022•全国•模拟预测）已知函数“X）的定义域为R,且/（x+2）=〃彳-2）+2022〃2）对任意

xeR恒成立，又函数，(x+2021)的图象关于点(-2021,0)对称，且/(1)=2022,则/(2021)=()

A.2021B.-2021C.2022D.-2022

例55.(2022.新疆.三模(文))已知定义在R上的偶函数/(x)满足/(x+6)=/(x),且当xe[0,3]时，

f(x)=xex,则下面结论正确的是()

A./(ln3)</(e3)</(-e)B./(-e)</(ln3)</(e3)

C../'(e3)</(-e)</(ln3)D.,/'(ln3)</(-e)</(e3)

例56.(2022•山东•肥城市教学研究中心模拟预测)已知函数/*)满足/(x+3)="l-x)+9/(2)对任意

xeR恒成立，又函数/(x+9)的图象关于点(-9,0)对称，且/⑴=2022,则”45)=()

A.2021B.-2021C.2022D.-2022

例57.(2022•广东茂名•模拟预测)己知函数f(x)是R上的奇函数，且/(x-$=-f(x),且当xw]。?时，

f(x)=2x-3,贝2021)+/(2022)—/(-2023)的值为()

A.4B.TC.0D.-6

例58.(2022•江西鹰潭二模(文))已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且"1)=2,

则,“2020)+/(2021)+〃2022)=()

A.-2B.4C.-4D.6

例59.(2022•江苏・徐州市第七中学高三阶段练习)函数/(x)=(x2+2矶好+奴+与满足：对VxeR,

都有/(1+力=/。一力，则函数〃x)的最小值为()

A.-20B,-16C.-15D.0

例60.(2022•黑龙江・哈尔滨三中三模(理))定义在R上的函数y=.f(x)满足以下三个条件：①对于

任意的实数xwR,都有/(2+x)+/(2-x)=0成立；②函数y=/(x+l)的图象关于y轴对称；③对任意的

々，x2e[0,l],x产乡,都有>耳/5)+々〃石)成立.则f(2021),/(2022),/(2023)的

大小关系为()

A./(2021)>/(2023)>f(2022)B./(2021)>/(2022)>/(2023)

C./(2023)>/(2022)>/(202I)D./(2022)>/(2021)>/(2023)

例61.(2022・陕西・榆林市教育科学研究所模拟预测(理))已知函数f(x)满足“X-万)=-/(-x),且

函数f(x)与g(x)=cosx(xw-T|的图象的交点为(为,匕)，(*2，%)，(不，%)，(x”％)，则\(%+%)=

()

A.—4兀B.—2兀C.2兀D.4兀

【方法技巧与总结】

(1)若函数y=/(x)有两条对称轴X=Q,x=b(a〈b),则函数是周期函数，且7=2(。—/；

(2)若函数y=/(x)的图象有两个对称中心(〃,c),(力,c)(avb),则函数y=/(x)是周期函数，且

T=2(b-a)；

(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=〃和一个对称中心S,0)(〃＜。)，则函数y=/(x)是周期函数，且

T=4(b-a).

题型十一：类周期函数

例62.(2022•天津一中高三月考)定义域为A的函数“力满足〃x+2)=2〃x),当x[0,2]时，

x2-X,XG[0,1)

/nHI，若当xe[-4,-2)时，不等式1-加+1恒成立，则实数机的取值范围是

()

A.[2,3]B.[1,3]C.[1,4]D.[2,4]

例63.(2022•浙江・杭州高级中学高三期中)定义域为R的函数/(x)满足/(x+2)=3/。)，当xe[0,2]

1Q

2

时，f(x)=x-2x,若xe[-4,-2]时，/(幻2-5~(27)恒成立，则实数r的取值范围是()

18t

A.(-^,-l]U(O,3]B.(F,-Vf|U(0,百]C.[-l,0)U[3,+8)D.[—G,0)U[6位)

例64.(2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷)定义域为R的函数“X)满足f(x+2)=2/(x),

x2-2x+13,xe[0,l)

当xe[0,2)时,/(%)=(若当xe[-4,-2)时，函数〃力2户+”恒成立，则实数r的取

xlnx,xe[1,2)

值范围为()

A.-3</<0B.-3<r<lC.-2<r<0D.0</<1

例65.(2022・湖北•高三月考)已知函数〃x)=[l-"其中“wR,给出以下关于函数

[2/(x—2),x>2

的结论：①谓]=2②当xe[0,8]时，函数”力值域为[0,8]③当Ze偿1时方程〃》)=依恰有四个实根

④当xe[0,8]时，若/(另・25+。恒成立，贝iJaWl-0.其中正确的个数为()A.1

B.2C.3D.4

【方法技巧与总结】

1.类周期函数

若y=/(x)满足：/(x+M=始(x)或/(x)=g*(x-/n)，则y=/(x)横坐标每增加加个单位，则函数值扩

大2倍.此函数称为周期为用的类周期函数.

类周期函数图象

倍增函数图象

2.倍增函数

若函数y=/(x)满足/(/nr)=4(x)或/(x)=4f(—)>则y=/(X)横坐标每扩大皿倍，则函数值扩大火

m

倍.此函数称为倍增函数.

g(x)，xe[l,tri)

g(x-/n+1),x&\m,m2)

注意当初=左时，构成一系列平行的分段函数，/(%)=■g(x-m2+1),xe[m',m3)

g(x-m"''+1)>xe[m"'',m")

题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性

例66.(2022•山东聊城•二模)已知为R上的奇函数，"2)=2,若对四，七«0,田)，当王>不

时，都有(占一马)牛1—牛)<0,则不等式(x+l)/(x+1)>4的解集为()

A.(—3,1)B.(―3,—1)U(—1,1)

C.(f,-l)U(-U)D.(^»,-3)u(l,+oo)

例67.(2022•全国•模拟预测(理))已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=l对称,且y=/(x)

在［0,1］上单调递增，若。=〃一3),8=/(一；)，c=〃2),则4，b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<力例68.(2022•黑龙江大庆•三模(理))已知定义

域为R的偶函数满足〃2-x)=/(x),当0C时,"x)=e』-l,则方程f(%)=图在区间［-3,5］上

所有解的和为()

A.8B.7C.6D.5

例69.(2022.全国•高三专题练习)己知定义在R上的函数/(x),g(x)满足:

①“0)=1;

②任意的x,"R,/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).

(1)求尸(X)—g2(x)的值；

(2)判断并证明函数〃x)的奇偶性.

例70.(2022・上海•高三专题练习)定义在(一1,1)上的函数兀v)满足①对任意x、ye(—1,1),都有

府)共)书黑)；②当xe(—1,0)时，有段)>0.求证：

【方法技巧与总结】

抽象函数的模特函数通常如下：

⑴若f(x+y)=f(x)+f(y),则/(x)=J/(1)(正比例函数)

(2)若f(x+y)=.f(x)/(y),则=(指数函数)

⑶若/(盯)=/(x)+f(y),则/(x)=log〃x(对数函数)

(4)若—=f(x)f(y),则/(x)=x"(幕函数)

(5)若/(x+y)=/(x)+y(y)+m,则/(x)=步\1)-加(一次函数)

(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.

题型十三：函数性质的综合例71.(2022•重庆南开中学模拟预测)已知函数

〃x)=lnx-ln(2-x)-cos/x,则关于f的不等式〃。+f(产)<0的解集为()

A.(-2,1)B.(-1,72)C.(0,1)D.(0,夜)

例72.(2022•安徽•六安市裕安区新安中学高三开学考试(文)