2022年新高考数学试题解析版（全国I卷）

2022年全国新高考I卷数学试题答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考I卷）

数学

注意事项：

I.答卷前,号生务必将自J的姓名、考生号等填写在答题k和试卷指定位置上,

2.FI-选择题时，选出用小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题H的答案标号涂黑

如需改动,用橡皮擦卜净后，再选涂其他答案标也回答非选择题时,将答案写在答题k

匕写在本试卷上无效,

3.请保持答题K的整洁。考试结束后,将试卷和答题B•并交ML

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共*）分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.若集介A/={x|&<41,N=【x|3x?l},则A/DN=

A.；x|04<2；B.令<2：

C.J.v1<16［D.

【答案】D

【解析】集合A/=；x|0令<16；,集合N=；.v|xel},八彳口'=令〈⑹.

33

故选D.

2.若“1-二）=1,则二+〒=

A.-2B.-IC.1D.2

【答案】D

［解析】对原式两边同时乘以i得：:-1=，，即二=1+八所以h=I——即二+〃=2.故

选D.

3.在△/8C中，点。在边I,,BD=IDA.记。/=〃八CD=n.®JCB=

A.3，"-2〃B.-2，"+3〃C.3，"+2〃D.2，"+3〃

【答案】B

［解析】因为C^B=~CA~A月’&T,又因为77）=~CQi,所以

「月=—2。/+31。.即「8=—2〃7+3〃.故选1工

4.南水北调工程缓解r北方一鸣地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该

水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140km2:水位为海拔157.5m时，相应水面

的面积为180km2.将该水库在这两个水位间的形状看作•个可台,则该水库水位从海拔

148.5m上升到1575m时,增加的水量约为（、斤=2,65）

A.1.0xl0Mm3B.1.2xlOMm'

C.1.4xl09m'D.1.6xlOym,

【答案】C

【解析】由题意y=14()knf,52=180knr,力=(157.5—148.5)km=9km,代入棱台

体枳「=；（5；+5；+廊"?，公式可得：1,^1.4xl09m3.故选C.

5.从2至8的7个整数中的机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为

A.1C.17

B.-1).-

6323

【答案】D

【解析】总事件数共C；=d=21,

第•个数取2时，第二个数可以是3.5.7；

第一个数取3时,第:个数可以是4,5,7,8：

第•个数取4时,第二个数可以是5.7：

第•个数取5时,第.个数可以是6.7.8：

第一个数取6时,第：个数M以是7：

第•个数取7时，第:个数可以是8：

所以尸=3+4+2"3+1+1142

2)1-21-3•

JT?

6.记函数/(A)=sin(<9.v+-)+0)的最小正周期为T.7；|TT<7L＜万，n.y=/（工）的函

数图象关于点（勺.2）中心对称，则/（：）=

B.35

A.10C."0D.3

【答案】A

【解析】®=存（2.3）,y=/（x）的函数图象关于点点.2）中心为称，则行6=2,11

/(—)=2.所以sin(巫〃+巴)+2=2,则包”+4=2履/eZ：解得“=生二山

224246

__._5兀、5717r,,..

(•)G(2.3)(/5n)A=2.69=—,Ai/(—)=sin(—•—+2=-I+2=I.

7.设a=O.le*b=—，c=-ln0.9,则

9

A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<bI),a<c<h

【答案】C

[解析]令a=工c',b=Y~—，c=-ln(l-x).

IIna-In6=N+In.v-|ln.v-ln(l-^)]

I—x

y=x+ln(I-X),A:e(0.0,1]：>*=1-----=----<0,

1-XI-A,

所以j《0,所以Ina-In%0,所以

②a-c-jev+ln(I-.v)e(0,0I],

令4。)=(1+工)(1-刈--1,所以右(工)=(1一/-2工把'>0,

所以A6)>A(0)>0,所以y、0,

所以n—c>0,所以a>c.

8.已知正四枝锥的侧楂长为/,其各顶点都在同•球而匕若该球的体积为36*且

3W/W36,则该正四棱雉体积的取值范围是

Q1B•耳苧

A.[18.-]C.[j,y]D.[18.27]

【答案】C

【解析】记三棱锥而与侧棱夹角为，，岛为〃，底面中心到各顶点的距离为，〃,

1212__->21I

cos〃=二-------------=-G,贝I]/=6cos〃，ni=1s\n()=6sin〃cos〃，

2x3x1622

ni6sin〃cos”

h==6cos2。，S、\=-x2mx2m=2nr,

tan0sin<9

cos〃

故厂=2.S.)；xInrh=I44(sin67cos:()Y,

令y=sin6/cos20=sin。(1-sin20)-A(1-A*2)=-v'+x,x=sin0e|—,—|

了=-3.\’+I,故・丁'<(),_),'>0.

即J=144yM=144x[yx(^y)-]2=y,

1n„n=144x(^y-x(l)：)'=?

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2。分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.已知正方体4BCD-4B£口,则

A.立线8Q与D4所成的用为90°

B.直线BC；与所成的知为90°

C.直线改；与平面BB、D,D所成的角为45°

1).H线8g与平面AHCI)所成的用为45°

【答案】ABD

【解析】在正方体,48。-48cA中,因为SC；_LBC，BCt1A,Bt,所以8C；_L平面

A、B、CD，所以BCt±DA,,BCt±C.\,故选项A.B均正确:

设4cleIBQ=O,因为4cl1平面BBRD，所以直线BC,H平ifil88QQ所成的角为

COI

«B(),在出用中，sinNG8O=」一=-,故N(；8O=30。,故选项C错误：

'BC}2

宜线8G勺平面」际7)所成的角为N(；8c=45。，故选项D正确.综匕答案选ABD.

10.己知函数/(x)=.v，-x+l,则

A./(x)行两个极值点

B./(x)有三个‘考点

C.点(0,1)是曲线y=,/(.v)的对称中心

D.直线j=2x是曲线j=./(.V)的W线

【答案】AC

【解析】/'(2=3--1,所以/(X)1两个极值点-乎与乎,又/(，4,

所以/(*只仃-个号点：lll/O)+/(-x)=2川•知，点(0,1)是曲线)，=/(.、•)的时称中心：曲

线v=/(.V)住点(1,1)处的切线方程为j，=2x-\.所以答案选AC.

II.已知。为坐标原点，点Z(l，l)在抛物线C：犬=2分，(p>0)h,过点8(0,-I)的点线

交C于两点，则

A.(.的准线为j=-lB.内线18与(’相切

C.\OP\-\OQ\>\OA[D.\BP\\BQ\>\BA\:

【答案】BCD

【解析】由题意可知：l=2p,所以抛物线C：/=j，，故C的准线为j=-L故A

不对:

由y'=2x得曲线C在点.4(1,1)处的切线斜率为2,所以切线方程为y=2x-l,故在线

与C相切;

过力：8(0,-1)的且线设为j=kv-l,交。J儿0两点的坐标分别设为。。小)，2(士.4)，

联立宜线与C方程可得1nV-公+1=0，所以有$+三=八、声=1,

H.A=A2-4>0»R|1A:>4»进,步可得％+为=炉-2,乂%=1.此时

|OP|.|。。|=+j，；XxJ+”，)="11+.1：心+炉)=JM.E(.11R+M+为+1)=斤>4

乂Qf=2,所以C正确;

\BP\\BQ\=BP-BQ=(A;.\\+1)(.*.y2+1)=.vrv2+)\y2+j;+y2+1=A：+1>5,乂

|8/斤=5,故D正确:综上,答案选BCD.

12.已知函数/(.、・)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记gK).若/g-2x),g(2+x)

均为偶函数，则

A./(0)=0B.g(-g)=OC./(-1)=/(4)I).g(-l)=g(2)

【答案】BC

【解析】lll/g-2x)为偶函数可知/(x)关于百线.v=g对称，

IIIg(2+.r)为偶函数可知：g(.v)关于百.线x=2乂寸称.

结合g(x)=/'(x),根据g(x)关于直线x=2对称可知〃/)关于点(2./)对称，

根据/(.、,)大于直线.\=[对称川.知：g(.v)大于点(1,0)对■称，

综匕函数/(TV)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以仃/(0)=/(2)=/,所以A不正确：

/(-1)=/(!)./(4)=/(2),/(1)=/(2)，故/(-1)=/(4),所以C正确.

g(-J)=g(5)=o，g(-l)=g。)，所以B正确:

又g(l)+g(2)=0,所以g(-l)+g(2)=0,所以D不正确.

故选BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2()分。

13（1-，）。+I，）*的展开式中-J,"的系数为•用数字作答）.

【答案】-28

【解析】原式等「（'•+】，）*一1。+1,）、，由：顶式定理，式展开式中（1,"的系数为

（；—（；=-28.

14”出引朗/+/=|fn（.v-3）-+（i--4）-=16都相切的一条汽线的方程

【答案】.\二一1，或卜=二工一”.或1:=一3工+*（笞时其中之一即可）

-2424,44

【解机111国可得，两网外切,”均与内线/「v=-1相切的过两同同心的内•线/的方

44

程为1，二一工.“［得〃乂交点为—ill切线定理得，两|员⑸・公切线/，过点/）.改

33

L-4I

/、:v+-=A-（.V+1）,ill.'.'Aj'll|'L线扣离公式可存-L=l=1,解存k=—,即

…3VF7724

7”

I.y=-x--.方由「两同外切.闪此作公以点处行住公切线/「〃爬仃,解仔

15.，若曲线j,=(x+aH有两条过坐标取点的切线.则。的取值范围是.，

【存案】(«--4)U(o.y>)~

【解析】易行曲线不过原点，设切点为卜o.(h・o)e")，则切线斜率为一

fk)=(»o+a+l)c'.M得切戊方程为丁-(%+a)e；=(%+。+1)。'"('一天)，又切线过京点.

可得-(q*""=%(%+&+恨"，化简得XoN+aq-a-O(*),乂切线行网条，即※

方程有两不等实根.由判别式4="+47>0,得"<y,或。>0.-

16LlMtmC「泊-7.两4、儿N为小鸟—为

?.过AH正3JAFZ的自找'.JC^ID,E两，1|D£|=6.△&W\I<S.

【—案】13

析】怖"：!禹心率为」.小妨陵C二一+二-1,，!.△.”/•为止二川形.川n线

24c-3c-

/)E黑；”小号龙•向形仪成川刊.」曰=|£7q,"，引/它.」闱i同件或打

A.比的闾K等价］£>E|+|Q段+|E周=".另设H线/汪fi^)y="—(x+c).'肺

M,

超h在联立利13y+8cx-32c'=0.一一，、

;

ill#.1<^A|D£|+1•,-*4\'A+I•^xl+x2)*-4.v,.v,<!(

,nrl)T~I,8c.2.I2!k--48,„„13,o\

V；+，<(—、>+-----=—c=6,即，.4</'I>.X.

13V1313138———

四、解答题：本题共6小题，共7(>分u超答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;

17.，1。分，

记S”为裁列0：的瑞，，，，、出‘I"[q=],：*HE公4为!为容彳数列.

d3

•I求也：得地项公足

•2)证明：1，2_+…+J_<2.

q0、凡

[解析]：I；.S；-q所以』「I,

所以Pr是忏耿为1,公彳为:的-S厚心列，

«.,3

所以2-I十(〃一I),一‘色.所以、「与仁.

/333

1〃二工时，〃“二.、〃-S“।二一^―可-U,•

3，

所以(〃一【匕,一(〃-1此।,lip-^---~~-，心2-：

%〃T

累枳法可得：％=誓。，心2,乂q=l满足该式.

所以：«„!得通顶公式为q,=誓■.

18.(12分)

记。的内向B.。的对边分别为〃，b,c,.知~^~=sm28

1+sinA1+cos24

TT

I)若。=子，求8：

2.L2

(2)求土”.的最小值.

C"

【解析】I)由已知条件得:sin25+sin.1sin2B=cosA+cosAcos2B

sin28=cos4+cos/Icos2^-sin力sin28=cosA+cos(A+IB)

=cos[7t-(^+C)]+cos|7t-(^+C)+2B|

=-COS(8+C+cos[7T+(4-C]

=-2coscosC

)听以2sinAcos8二一2cosAcosC',即(sinH+cosC)cos/^=0.

由t2知条件：l+cos28w(),则8工g,nJ得cos。工()，

所以sinB--cosC,=-.B=-.

26

(2)由(.1)^lsinZ^=-cosC>0,则8一£,sinB=sin(C-^)=-cos(',

sinA-sin(8+「)=sin(2(>--)=-cos2C,

2

」—+力’sin2A+sin2Bcos22C+cos2C

rti止弦A:理——；—=-----；----------=-------------；----------

bsin"Csin'C

=-------------------；------------------=——；—+4SIITQ-3

sin'CsiirC

—4sin'C-5=4x/2-5.

Rsin2c

当fl.仅当sin：C=也时等号成t,所以土丝的最小值为4&-5.

2C

19.(12分)

如图，直潜柱/8C-48G的体积为4,ZMBC的面

枳为2Vl.

I，求」至『平面48,的距离:

2)设。为的'|>'!>.A.\=18,平面4，平面

，1明4,求：而用.4-8O-C的正弦值.

【解析】'1•设一到平面I*的距离为

r=1S'--I-1=-J'=lx4=-

'3''八'侑।3〃"=Wi33，

「IN=；S,'h=gx2y/i.h,

所以;x2&•%=；所以h=0，所以A到平面《水’的距离为72.

3)取$8的中点£,连接Jf,

闪为「以=AB，所以AEVA.B.

因为平面46c1平面4844,平而48cCl平为人码4=48,

所以.4£_L平1(114BC.AE=y/2.则44=AB=2,所以AE1BC,

W为苴二棱柱48。-44。，所以AtA1BC,

因为AEcJ..I=A,所以BC1平而，8g1,所以BC1.1B,

|||I'(B,..^,J,J=-x2xfiCx2=4.所以8c=2,

以8c为x轴，8.1为J,轴.84为二轴.建".如图所示的空间也用

坐标系，

所以6(000),4()20),C(2.0,0),4(022),£(0,1,1),D(IJ,1)

平血血的法向量设为〃;=%£=(0「1」)，平面班M的法向量设

为%=(r.r;)，

0=(0,2,0)丽=(1，1),

=0(2v,=0

旃a二0，""以1x+y+:=0所以1=0.

设X=1,则二=-1,所以〃：=(L0.-1),所以COS<>=^

l"iH"一

i殳ihi角4-Hl)-C的平面f(］为a，则sina=Jl-cost/=当»

所以：而用，1-3。-('的心弦值为走.

2

20.(12分)

-医疗团队为研究某地的种地方性疾病与当地居民的U生习惯，生习惯分为良好和

不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调杳了100例（称为病例组，,同时隹

未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）,得到如卜数据:

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

1，能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的H生习惯有差异?

2）从该地的人群中任选•人，/1衣示事件••选到的人I!上习惯不够良好8表示事

件“选到的人患行该疾病二丝地与丝上？的比值是11上习惯不够良好对患该疾病风险

P(B\A)P(B\A)

程度的一项度量指标，记该指标为

■明:心船O

（竹）利用该调行数据，给出a川8）,p（4i心的估计值，并利用i）的结果给出/?的

估il值.

20.0500.01()().001

n(ad-he)2P(K^k)

附：K-

("+/))((+d)(a+c)(〃+d)

k3.841八63510.828

【解析】1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的I1生习惯没有差异,

2()()(4()x90-60xl()f

则K-==24>10,828,

50x150x100x100

所以行99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯行差异:

PUB)

,,,•,_P(A)〃(1)P(AB)〃(际

2.(l，i\—="—————

l\B\A)P(B\A)P(AB)。(函-P(AB)P(AB)

P(A)P(A)

〃(叫尸(.竺)

P(AB)P(AB}P(B)电①⑻得乱

—=--------=-=———P=PE@

AB)P(AB)~P(AB)“后)"P(A\B)P(A\Ti)''

P®

（ii）III调杳数据可知，（川8）=曲量,〃（川瓦=斋/，

29

则尸（1|8）=1-尸（川8）=],隔间二卷,所以/?='・毕=6・

510

21.（12分）

己知点月（2,1）在双曲线C：匚一一=1（«>I）I..自线/交C于。.。两点，百线

a'a--\

AP.的斜率之和为0.

I）求/的斜率：

2）若5/。/。=2啦.求八240的血枳.

【答案】（I）/的斜率为0：（2）△尸的面积为”也

~9

41

【解析】（1）将点/代入双曲线方程得下一一5—=1.化简得/-4/+4=0得:

a'a~-1

a2=2.故双曲线方程为工-y

由题显然直线/的斜率存住，设/：），=依+，〃，设）,则联办'i线4

双曲线得：（2A:-l）-v：+4A/».v+2m'+2=0,

4km2nr+2

故N+x2

vj-1.kx、+/〃-1kx+m

2二0,

$-2x,-2%-2-2

化简得:2处工2+（团-1-24）卜]+七）-4（zw-1）=0,

2

2k（2m+2）（4km、z

故；-_1-+（〃->2A）（-#二J-4（〃-1）=0,

即（A+l）（/〃+2A—1）=0,向有线/不过力点，故A=—I.

（2）设直线HP的倾斜分为a,山tan/P/O=2上.得tan乌丝=立.

~22

\\\2a+ZPAQ=n.得〃”=tana=J?.,即箕7=血，

।—万-p-V、11n10—45/24^2—5

联-77-^2，及一1-一齐二1得M二-----—•y\=-----

M_2233

代入直线/得〃7=3,故X]+X,=型，XR,="

而-尸|=退|西一21»Q|=也\x2-2|,

llItanZPAQ=25得sinAPAQ=坐，

故SA/,」0=^\AP\\AQ\sm^PAQ=|.v,.v2-2（^+.x2）+4|=.

22.（12分）

（_!.知函数/（A-）=e1-ax和g（.、•）=av-ln.v行相同的最小化

I）求a：

2）证明:存在直线歹=6,其与两条曲线y=/（x）和y=g（x）共有三个不同的交点,

并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列

【解析】（1）f'（x）=ex-a,g'（x）=a--

x

①aWO时，/Q）>0恒成立，所以/（X）在R上小调递增，即/（X）没有最小他

该类情况应舍去.

②a>0时，/住（-8,In。）上小于O在（lna,+<»）上大于0,

所以/(工)住(一8」n〃)卜邛调递减，在(Ini,+8)上单调递增，

所以/(工)住工=In〃处有最小值为/(lna)=〃-41n4,

所以g'(x)在［o.；J上小「0,在(；+oo［:大J0,

所以g(N)在(0」)上单调递减，在［L+oo］上单调递增，

所以g(.V)在x=1处行最小位为g仕］=1+Ina.

a\a)

I川为/(A)=ex-ax和g(x)=ox-1nx行相同的最小ffi.

所以有/(ln〃)=4一〃ln〃=g［'］=I+Inn,即〃一c/ln〃=1+lna

因为a>0,所以匕式等价于In。-0=0,

a+\

令力卜)=In.v--j-(.v>0).

V-+1

则/(*=———T>0悯成立，所以/7(.v)在(0.+8)上单调递增

工(.V+1)-

乂因为力(1)=0=/?(n)11a>0,所以c/=1.

(2)证明：山(1)/(.v)=ex-x*g(.v)=x-lnA*.

£L/(x)在(一8,0