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文档简介
2022年全国新高考I卷数学试题答案
2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考I卷)
数学
注意事项:
I.答卷前,号生务必将自J的姓名、考生号等填写在答题k和试卷指定位置上,
2.FI-选择题时,选出用小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题H的答案标号涂黑
如需改动,用橡皮擦卜净后,再选涂其他答案标也回答非选择题时,将答案写在答题k
匕写在本试卷上无效,
3.请保持答题K的整洁。考试结束后,将试卷和答题B•并交ML
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共*)分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.若集介A/={x|&<41,N=【x|3x?l},则A/DN=
A.;x|04<2;B.令<2:
C.J.v1<16[D.
【答案】D
【解析】集合A/=;x|0令<16;,集合N=;.v|xel},八彳口'=令〈⑹.
33
故选D.
2.若“1-二)=1,则二+〒=
A.-2B.-IC.1D.2
【答案】D
[解析】对原式两边同时乘以i得::-1=,,即二=1+八所以h=I——即二+〃=2.故
选D.
3.在△/8C中,点。在边I,,BD=IDA.记。/=〃八CD=n.®JCB=
A.3,"-2〃B.-2,"+3〃C.3,"+2〃D.2,"+3〃
【答案】B
[解析】因为C^B=~CA~A月’&T,又因为77)=~CQi,所以
「月=—2。/+31。.即「8=—2〃7+3〃.故选1工
4.南水北调工程缓解r北方一鸣地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该
水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140km2:水位为海拔157.5m时,相应水面
的面积为180km2.将该水库在这两个水位间的形状看作•个可台,则该水库水位从海拔
148.5m上升到1575m时,增加的水量约为(、斤=2,65)
A.1.0xl0Mm3B.1.2xlOMm'
C.1.4xl09m'D.1.6xlOym,
【答案】C
【解析】由题意y=14()knf,52=180knr,力=(157.5—148.5)km=9km,代入棱台
体枳「=;(5;+5;+廊"?,公式可得:1,^1.4xl09m3.故选C.
5.从2至8的7个整数中的机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为
A.1C.17
B.-1).-
6323
【答案】D
【解析】总事件数共C;=d=21,
第•个数取2时,第二个数可以是3.5.7;
第一个数取3时,第:个数可以是4,5,7,8:
第•个数取4时,第二个数可以是5.7:
第•个数取5时,第.个数可以是6.7.8:
第一个数取6时,第:个数M以是7:
第•个数取7时,第:个数可以是8:
所以尸=3+4+2"3+1+1142
2)1-21-3•
JT?
6.记函数/(A)=sin(<9.v+-)+0)的最小正周期为T.7;|TT<7L<万,n.y=/(工)的函
数图象关于点(勺.2)中心对称,则/(:)=
B.35
A.10C."0D.3
【答案】A
【解析】®=存(2.3),y=/(x)的函数图象关于点点.2)中心为称,则行6=2,11
/(—)=2.所以sin(巫〃+巴)+2=2,则包”+4=2履/eZ:解得“=生二山
224246
__._5兀、5717r,,..
(•)G(2.3)(/5n)A=2.69=—,Ai/(—)=sin(—•—+2=-I+2=I.
7.设a=O.le*b=—,c=-ln0.9,则
9
A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<bI),a<c<h
【答案】C
[解析]令a=工c',b=Y~—,c=-ln(l-x).
IIna-In6=N+In.v-|ln.v-ln(l-^)]
I—x
y=x+ln(I-X),A:e(0.0,1]:>*=1-----=----<0,
1-XI-A,
所以j《0,所以Ina-In%0,所以
②a-c-jev+ln(I-.v)e(0,0I],
令4。)=(1+工)(1-刈--1,所以右(工)=(1一/-2工把'>0,
所以A6)>A(0)>0,所以y、0,
所以n—c>0,所以a>c.
8.已知正四枝锥的侧楂长为/,其各顶点都在同•球而匕若该球的体积为36*且
3W/W36,则该正四棱雉体积的取值范围是
Q1B•耳苧
A.[18.-]C.[j,y]D.[18.27]
【答案】C
【解析】记三棱锥而与侧棱夹角为,,岛为〃,底面中心到各顶点的距离为,〃,
1212__->21I
cos〃=二-------------=-G,贝I]/=6cos〃,ni=1s\n()=6sin〃cos〃,
2x3x1622
ni6sin〃cos”
h==6cos2。,S、\=-x2mx2m=2nr,
tan0sin<9
cos〃
故厂=2.S.);xInrh=I44(sin67cos:()Y,
令y=sin6/cos20=sin。(1-sin20)-A(1-A*2)=-v'+x,x=sin0e|—,—|
了=-3.\’+I,故・丁'<(),_),'>0.
即J=144yM=144x[yx(^y)-]2=y,
1n„n=144x(^y-x(l):)'=?
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共2。分。在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得。分。
9.已知正方体4BCD-4B£口,则
A.立线8Q与D4所成的用为90°
B.直线BC;与所成的知为90°
C.直线改;与平面BB、D,D所成的角为45°
1).H线8g与平面AHCI)所成的用为45°
【答案】ABD
【解析】在正方体,48。-48cA中,因为SC;_LBC,BCt1A,Bt,所以8C;_L平面
A、B、CD,所以BCt±DA,,BCt±C.\,故选项A.B均正确:
设4cleIBQ=O,因为4cl1平面BBRD,所以直线BC,H平ifil88QQ所成的角为
COI
«B(),在出用中,sinNG8O=」一=-,故N(;8O=30。,故选项C错误:
'BC}2
宜线8G勺平面」际7)所成的角为N(;8c=45。,故选项D正确.综匕答案选ABD.
10.己知函数/(x)=.v,-x+l,则
A./(x)行两个极值点
B./(x)有三个‘考点
C.点(0,1)是曲线y=,/(.v)的对称中心
D.直线j=2x是曲线j=./(.V)的W线
【答案】AC
【解析】/'(2=3--1,所以/(X)1两个极值点-乎与乎,又/(,4,
所以/(*只仃-个号点:lll/O)+/(-x)=2川•知,点(0,1)是曲线),=/(.、•)的时称中心:曲
线v=/(.V)住点(1,1)处的切线方程为j,=2x-\.所以答案选AC.
II.已知。为坐标原点,点Z(l,l)在抛物线C:犬=2分,(p>0)h,过点8(0,-I)的点线
交C于两点,则
A.(.的准线为j=-lB.内线18与(’相切
C.\OP\-\OQ\>\OA[D.\BP\\BQ\>\BA\:
【答案】BCD
【解析】由题意可知:l=2p,所以抛物线C:/=j,,故C的准线为j=-L故A
不对:
由y'=2x得曲线C在点.4(1,1)处的切线斜率为2,所以切线方程为y=2x-l,故在线
与C相切;
过力:8(0,-1)的且线设为j=kv-l,交。J儿0两点的坐标分别设为。。小),2(士.4),
联立宜线与C方程可得1nV-公+1=0,所以有$+三=八、声=1,
H.A=A2-4>0»R|1A:>4»进,步可得%+为=炉-2,乂%=1.此时
|OP|.|。。|=+j,;XxJ+”,)="11+.1:心+炉)=JM.E(.11R+M+为+1)=斤>4
乂Qf=2,所以C正确;
\BP\\BQ\=BP-BQ=(A;.\\+1)(.*.y2+1)=.vrv2+)\y2+j;+y2+1=A:+1>5,乂
|8/斤=5,故D正确:综上,答案选BCD.
12.已知函数/(.、・)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记gK).若/g-2x),g(2+x)
均为偶函数,则
A./(0)=0B.g(-g)=OC./(-1)=/(4)I).g(-l)=g(2)
【答案】BC
【解析】lll/g-2x)为偶函数可知/(x)关于百线.v=g对称,
IIIg(2+.r)为偶函数可知:g(.v)关于百.线x=2乂寸称.
结合g(x)=/'(x),根据g(x)关于直线x=2对称可知〃/)关于点(2./)对称,
根据/(.、,)大于直线.\=[对称川.知:g(.v)大于点(1,0)对■称,
综匕函数/(TV)与g(x)均是周期为2的周期函数,所以仃/(0)=/(2)=/,所以A不正确:
/(-1)=/(!)./(4)=/(2),/(1)=/(2),故/(-1)=/(4),所以C正确.
g(-J)=g(5)=o,g(-l)=g。),所以B正确:
又g(l)+g(2)=0,所以g(-l)+g(2)=0,所以D不正确.
故选BC.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共2()分。
13(1-,)。+I,)*的展开式中-J,"的系数为•用数字作答).
【答案】-28
【解析】原式等「('•+】,)*一1。+1,)、,由:顶式定理,式展开式中(1,"的系数为
(;—(;=-28.
14”出引朗/+/=|fn(.v-3)-+(i--4)-=16都相切的一条汽线的方程
【答案】.\二一1,或卜=二工一”.或1:=一3工+*(笞时其中之一即可)
-2424,44
【解机111国可得,两网外切,”均与内线/「v=-1相切的过两同同心的内•线/的方
44
程为1,二一工.“[得〃乂交点为—ill切线定理得,两|员⑸・公切线/,过点/).改
33
L-4I
/、:v+-=A-(.V+1),ill.'.'Aj'll|'L线扣离公式可存-L=l=1,解存k=—,即
…3VF7724
7”
I.y=-x--.方由「两同外切.闪此作公以点处行住公切线/「〃爬仃,解仔
15.,若曲线j,=(x+aH有两条过坐标取点的切线.则。的取值范围是.,
【存案】(«--4)U(o.y>)~
【解析】易行曲线不过原点,设切点为卜o.(h・o)e"),则切线斜率为一
fk)=(»o+a+l)c'.M得切戊方程为丁-(%+a)e;=(%+。+1)。'"('一天),又切线过京点.
可得-(q*""=%(%+&+恨",化简得XoN+aq-a-O(*),乂切线行网条,即※
方程有两不等实根.由判别式4="+47>0,得"<y,或。>0.-
16LlMtmC「泊-7.两4、儿N为小鸟—为
?.过AH正3JAFZ的自找'.JC^ID,E两,1|D£|=6.△&W\I<S.
【—案】13
析】怖":!禹心率为」.小妨陵C二一+二-1,,!.△.”/•为止二川形.川n线
24c-3c-
/)E黑;”小号龙•向形仪成川刊.」曰=|£7q,",引/它.」闱i同件或打
A.比的闾K等价]£>E|+|Q段+|E周=".另设H线/汪fi^)y="—(x+c).'肺
M,
超h在联立利13y+8cx-32c'=0.一一,、
;
ill#.1<^A|D£|+1•,-*4\'A+I•^xl+x2)*-4.v,.v,<!(
,nrl)T~I,8c.2.I2!k--48,„„13,o\
V;+,<(—、>+-----=—c=6,即,.4</'I>.X.
13V1313138———
四、解答题:本题共6小题,共7(>分u超答应写出文字说明、证明过程或演算步骤;
17.,1。分,
记S”为裁列0:的瑞,,,,、出‘I"[q=],:*HE公4为!为容彳数列.
d3
•I求也:得地项公足
•2)证明:1,2_+…+J_<2.
q0、凡
[解析]:I;.S;-q所以』「I,
所以Pr是忏耿为1,公彳为:的-S厚心列,
«.,3
所以2-I十(〃一I),一‘色.所以、「与仁.
/333
1〃二工时,〃“二.、〃-S“।二一^―可-U,•
3,
所以(〃一【匕,一(〃-1此।,lip-^---~~-,心2-:
%〃T
累枳法可得:%=誓。,心2,乂q=l满足该式.
所以:«„!得通顶公式为q,=誓■.
18.(12分)
记。的内向B.。的对边分别为〃,b,c,.知~^~=sm28
1+sinA1+cos24
TT
I)若。=子,求8:
2.L2
(2)求土”.的最小值.
C"
【解析】I)由已知条件得:sin25+sin.1sin2B=cosA+cosAcos2B
sin28=cos4+cos/Icos2^-sin力sin28=cosA+cos(A+IB)
=cos[7t-(^+C)]+cos|7t-(^+C)+2B|
=-COS(8+C+cos[7T+(4-C]
=-2coscosC
)听以2sinAcos8二一2cosAcosC',即(sinH+cosC)cos/^=0.
由t2知条件:l+cos28w(),则8工g,nJ得cos。工(),
所以sinB--cosC,=-.B=-.
26
(2)由(.1)^lsinZ^=-cosC>0,则8一£,sinB=sin(C-^)=-cos(',
sinA-sin(8+「)=sin(2(>--)=-cos2C,
2
」—+力’sin2A+sin2Bcos22C+cos2C
rti止弦A:理——;—=-----;----------=-------------;----------
bsin"Csin'C
=-------------------;------------------=——;—+4SIITQ-3
sin'CsiirC
—4sin'C-5=4x/2-5.
Rsin2c
当fl.仅当sin:C=也时等号成t,所以土丝的最小值为4&-5.
2C
19.(12分)
如图,直潜柱/8C-48G的体积为4,ZMBC的面
枳为2Vl.
I,求」至『平面48,的距离:
2)设。为的'|>'!>.A.\=18,平面4,平面
,1明4,求:而用.4-8O-C的正弦值.
【解析】'1•设一到平面I*的距离为
r=1S'--I-1=-J'=lx4=-
'3''八'侑।3〃"=Wi33,
「IN=;S,'h=gx2y/i.h,
所以;x2&•%=;所以h=0,所以A到平面《水’的距离为72.
3)取$8的中点£,连接Jf,
闪为「以=AB,所以AEVA.B.
因为平面46c1平面4844,平而48cCl平为人码4=48,
所以.4£_L平1(114BC.AE=y/2.则44=AB=2,所以AE1BC,
W为苴二棱柱48。-44。,所以AtA1BC,
因为AEcJ..I=A,所以BC1平而,8g1,所以BC1.1B,
|||I'(B,..^,J,J=-x2xfiCx2=4.所以8c=2,
以8c为x轴,8.1为J,轴.84为二轴.建".如图所示的空间也用
坐标系,
所以6(000),4()20),C(2.0,0),4(022),£(0,1,1),D(IJ,1)
平血血的法向量设为〃;=%£=(0「1」),平面班M的法向量设
为%=(r.r;),
0=(0,2,0)丽=(1,1),
=0(2v,=0
旃a二0,""以1x+y+:=0所以1=0.
设X=1,则二=-1,所以〃:=(L0.-1),所以COS<>=^
l"iH"一
i殳ihi角4-Hl)-C的平面f(]为a,则sina=Jl-cost/=当»
所以:而用,1-3。-('的心弦值为走.
2
20.(12分)
-医疗团队为研究某地的种地方性疾病与当地居民的U生习惯,生习惯分为良好和
不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调杳了100例(称为病例组,,同时隹
未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如卜数据:
不够良好良好
病例组4060
对照组1090
1,能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的H生习惯有差异?
2)从该地的人群中任选•人,/1衣示事件••选到的人I!上习惯不够良好8表示事
件“选到的人患行该疾病二丝地与丝上?的比值是11上习惯不够良好对患该疾病风险
P(B\A)P(B\A)
程度的一项度量指标,记该指标为
■明:心船O
(竹)利用该调行数据,给出a川8),p(4i心的估计值,并利用i)的结果给出/?的
估il值.
20.0500.01()().001
n(ad-he)2P(K^k)
附:K-
("+/))((+d)(a+c)(〃+d)
k3.841八63510.828
【解析】1)假设患该疾病群体与未患该疾病群体的I1生习惯没有差异,
2()()(4()x90-60xl()f
则K-==24>10,828,
50x150x100x100
所以行99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯行差异:
PUB)
,,,•,_P(A)〃(1)P(AB)〃(际
2.(l,i\—="—————
l\B\A)P(B\A)P(AB)。(函-P(AB)P(AB)
P(A)P(A)
〃(叫尸(.竺)
P(AB)P(AB}P(B)电①⑻得乱
—=--------=-=———P=PE@
AB)P(AB)~P(AB)“后)"P(A\B)P(A\Ti)''
P®
(ii)III调杳数据可知,(川8)=曲量,〃(川瓦=斋/,
29
则尸(1|8)=1-尸(川8)=],隔间二卷,所以/?='・毕=6・
510
21.(12分)
己知点月(2,1)在双曲线C:匚一一=1(«>I)I..自线/交C于。.。两点,百线
a'a--\
AP.的斜率之和为0.
I)求/的斜率:
2)若5/。/。=2啦.求八240的血枳.
【答案】(I)/的斜率为0:(2)△尸的面积为”也
~9
41
【解析】(1)将点/代入双曲线方程得下一一5—=1.化简得/-4/+4=0得:
a'a~-1
a2=2.故双曲线方程为工-y
由题显然直线/的斜率存住,设/:),=依+,〃,设),则联办'i线4
双曲线得:(2A:-l)-v:+4A/».v+2m'+2=0,
4km2nr+2
故N+x2
vj-1.kx、+/〃-1kx+m
2二0,
$-2x,-2%-2-2
化简得:2处工2+(团-1-24)卜]+七)-4(zw-1)=0,
2
2k(2m+2)(4km、z
故;-_1-+(〃->2A)(-#二J-4(〃-1)=0,
即(A+l)(/〃+2A—1)=0,向有线/不过力点,故A=—I.
(2)设直线HP的倾斜分为a,山tan/P/O=2上.得tan乌丝=立.
~22
\\\2a+ZPAQ=n.得〃”=tana=J?.,即箕7=血,
।—万-p-V、11n10—45/24^2—5
联-77-^2,及一1-一齐二1得M二-----—•y\=-----
M_2233
代入直线/得〃7=3,故X]+X,=型,XR,="
而-尸|=退|西一21»Q|=也\x2-2|,
llItanZPAQ=25得sinAPAQ=坐,
故SA/,」0=^\AP\\AQ\sm^PAQ=|.v,.v2-2(^+.x2)+4|=.
22.(12分)
(_!.知函数/(A-)=e1-ax和g(.、•)=av-ln.v行相同的最小化
I)求a:
2)证明:存在直线歹=6,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,
并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列
【解析】(1)f'(x)=ex-a,g'(x)=a--
x
①aWO时,/Q)>0恒成立,所以/(X)在R上小调递增,即/(X)没有最小他
该类情况应舍去.
②a>0时,/住(-8,In。)上小于O在(lna,+<»)上大于0,
所以/(工)住(一8」n〃)卜邛调递减,在(Ini,+8)上单调递增,
所以/(工)住工=In〃处有最小值为/(lna)=〃-41n4,
所以g'(x)在[o.;J上小「0,在(;+oo[:大J0,
所以g(N)在(0」)上单调递减,在[L+oo]上单调递增,
所以g(.V)在x=1处行最小位为g仕]=1+Ina.
a\a)
I川为/(A)=ex-ax和g(x)=ox-1nx行相同的最小ffi.
所以有/(ln〃)=4一〃ln〃=g[']=I+Inn,即〃一c/ln〃=1+lna
因为a>0,所以匕式等价于In。-0=0,
a+\
令力卜)=In.v--j-(.v>0).
V-+1
则/(*=———T>0悯成立,所以/7(.v)在(0.+8)上单调递增
工(.V+1)-
乂因为力(1)=0=/?(n)11a>0,所以c/=1.
(2)证明:山(1)/(.v)=ex-x*g(.v)=x-lnA*.
£L/(x)在(一8,0
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