2023年江西省九江市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年江西省九江市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.函数f(x)在x=x0处连续是f(x)在x=x0处极限存在的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.若x0为f(x)的极值点，则()．A.A.f'(x0)必定存在，且f'(x0)=0

B.f'(x0)必定存在，但f'(x0)不一定等于零

C.f'(x0)不存在或f'(x0)=0

D.f'(x0)必定不存在

3.

4.A.0B.1C.2D.不存在

5.

6.A.f(1)－f(0)

B.2[f(1)－f(0)]

C.2[f(2)－f(0)]

D.

7.

8.在空间中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

9.

A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x

10.A.2xy+3+2yB.xy+3+2yC.2xy+3D.xy+3

11.

12.

13.

A.(-2，2)

B.(-∞，0)

C.(0，+∞)

D.(-∞，+∞)

14.以下结论正确的是（）．

A.

B.

C.

D.

15.

A.0B.2C.4D.8

16.设二元函数z=xy，则点P0(0，0)A.为z的驻点，但不为极值点B.为z的驻点，且为极大值点C.为z的驻点，且为极小值点D.不为z的驻点，也不为极值点

17.设平面则平面π1与π2的关系为()．A.A.平行但不重合B.重合C.垂直D.既不平行，也不垂直

18.

19.

20.A.A.5B.3C.-3D.-5

二、填空题(20题)21.

22.

23.设z=x2y+siny，=________。

24.

25.

26.

27.

28.

29.设x=f(x，y)在点p0(x0，y0)可微分，且p0(x0，y0)为z的极大值点，则______．

30.

31.微分方程y'+9y=0的通解为______．

32.

33.过坐标原点且与平面2x-y+z+1=0平行的平面方程为______.

34.

35.设函数z=f(x，y)存在一阶连续偏导数，则全微分出dz=______.

36.f(x)=lnx，则f[f(x)]=__________。

37.函数f(x)=在[1，2]上符合拉格朗日中值定理的ξ=________。

38.设y=sinx2，则dy=______．

39.若=-2，则a=________。

40.

三、计算题(20题)41.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

44.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

45.

46.求微分方程的通解．

47.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

48.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

49.

50.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

51.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

52.

53.

54.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

55.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

56.

57.

58.

59.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

60.证明：

四、解答题(10题)61.

62.

63.设f(x)为连续函数，且

64.将周长为12的矩形绕其一边旋转得一圆柱体，问绕边长为多少的边旋转才能使圆柱体的体积最大?

65.求

66.

67.求

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.

=________.则f(2)=__________。

六、解答题(0题)72.已知曲线C的方程为y=3x2，直线ι的方程为y=6x。求由曲线C与直线ι围成的平面图形的面积S。

参考答案

1.A函数f(x)在x=x0处连续，则f(x)在x=x0处极限存在．但反过来却不行，如函数f(x)=故选A。

2.C本题考查的知识点为函数极值点的性质．

若x0为函数y=f(x)的极值点，则可能出现两种情形：

(1)f(x)在点x0处不可导，如y=|x|，在点x0=0处f(x)不可导，但是点x0=0为f(a)=|x|的极值点．

(2)f(x)在点x0可导，则由极值的必要条件可知，必定有f'(x0)=0．

从题目的选项可知应选C．

本题常见的错误是选A．其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在点x0可导，且x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0”认为是极值的充分必要条件．

3.B

4.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x＝1为f(x)的分段点，且在x＝1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

5.C

6.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛顿－莱布尼茨公式．

可知应选D．

7.D解析：un、vn可能为任意数值，因此正项级数的比较判别法不能成立，可知应选D。

8.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。

9.B解析：

10.C本题考查了一阶偏导数的知识点。

11.A

12.C

13.A

14.C

15.A解析：

16.A

17.C本题考查的知识点为两平面的位置关系．

由于平面π1，π2的法向量分别为

可知n1⊥n2，从而π1⊥π2．应选C．

18.A解析：

19.B

20.Cf(x)为分式，当x=-3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此

x=-3为f(x)的间断点，故选C。

21.33解析：

22.

23.由于z=x2y+siny，可知。

24.xex(Asin2x+Bcos2x)由特征方程为r2-2r+5=0，得特征根为1±2i，而非齐次项为exsin2x，因此其特解应设为y*=Axexsin2x+Bxexcos2x=xex(Asin2x+Bcos2x).

25.6．

本题考查的知识点为无穷小量阶的比较．

26.

27.

28.

本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

29.0本题考查的知识点为二元函数极值的必要条件．

由于z=f(x，y)在点P0(x0，y0)可微分，P(x0，y0)为z的极值点，由极值的必要条件可知

30.

31.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．

32.x-arctanx+C

33.已知平面的法线向量n1=(2，-1，1)，所求平面与已知平面平行，可设所求平面方程为2x-y+z+D=0，将x=0，y=0，z=0代入上式，可得D=0，因此所求平面方程为2x-y+z=0．

34.1

35.依全微分存在的充分条件知

36.

则

37.

由拉格朗日中值定理有=f"(ξ)，解得ξ2=2，ξ=其中。

38.2xcosx2dx本题考查的知识点为一元函数的微分．

由于y=sinx2，y'=cosx2·(x2)'=2xcosx2，故dy=y'dx=2xcosx2dx．

39.因为=a，所以a=-2。

40.0

41.函数的定义域为

注意

42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

43.

列表：

说明

44.

45.

46.

47.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

48.由等价无穷小量的定义可知

49.由一阶线性微分方程通解公式有

50.

51.

52.

53.

54.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

55.由二重积分物理意义知

56.

57.

58.

则

59.

60.

61.

62.

63.设，则f(x)=x3+3Ax．将上式两端在[0，1]上积分，得

因此

本题考查的知识点为两个：定积分表示一个确定的数值；计算定积分．

由于定积分存在，因此它表示一个确定的数值，设，则

f(x)=x3+3Ax．

这是解题的关键!为了能求出A，可考虑将左端也转化为A的表达式，为此将上式两端在[0，1]上取定积分，