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文档简介

初中数学竞赛题中方解的讨论问题解题策略（三）安徽省巢湖市教学研究室张超4.其方的的讨例11.(2003四川若关于的程

只有一个实数解，则

。解：去分母得，整理得①当时方①有一个实数根，经检验

是原方程的解；当时，方程①是一元二次方。因为＞0，因此方程①总有两个实数根，其中一个根是原方程的增根。而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为未知数的取值中，即原方程的增根只可能是=0，=1因为不能是方①的解，所以只能=1是程①的解，因此

，解得

。综上所述，当，

时，原方程只有一个实数根。评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。与本例类似的问题有：类题

是什么整数时，方程

只有一个实数根？指出所有这样的值并求出与它相对应的根。分析：方法与例类似，答案为，或。例12.(2001年爱数学夏令)如果满足数的等于。-1-

的实数恰么实

解：显然＞。原方程可化为。若＞，原方程等价于，化为，，此时原方程只有个，不符合题意。若＜＜，则原方程等价于，它可以化为如下四个方程：，，，，此时这方程都有两个不同的实数解，因此原方程有不的解，不符合题意。若=10方可为如下三个方程：每个方程各有两个不同的实数解，所以=10符合题意。

，，，评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与枚举法。实际上本题用图象法解答较为简便，方法是：先作函数

的图象，并将函数

的图象沿轴向上下平移，不难发现，只有当=10时函数

的图象与函数

的图象才有个不同的交点，即原方程恰有解；当＜＜15或时原方程恰有解；当=15时原方程恰有3个解；当＜＜10时原程恰有个解。(如上图所示)-2-

延伸拓展：用类似上例的方法可以解决下列问题：类题年北)如果满足围是).

的实数恰6个，实数的值范A.－≤0；＜；＜＜6；D.6≤＜9.分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.例13.(2001年)方程

的整数解).不在；B.仅有1组；C.有2组至有组。解根据二次根式运算的性质可有被开方数相同的最简二次根式可以加合)，因此、

必须被开方数相同而

被开方数中没有能开得尽方的数，所以方程

没有正整数解，只能有

与

两组整数解。评注：若将

改为

，则原方程可化为

，这时、

可分别设为

，

其中、是整数，则方程有整数解。延伸拓展：有关二次根式的竞赛题，除以被开方数相同为背景外，还可以以其被开方数为非负数来命制试题，如：类题年全国联赛满足等式

的正整数对

，)个数是()A.1B.2

；

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