建筑力学(第二版)第五章杆件的内力

第五章杆件的内力第5章杆件的内力

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本章介绍杆件在拉压、扭转以及弯曲时的内力计算和内力图的绘制。本章内容是对杆件进行强度、刚度和稳定性计算的基础。【学习要求】1.了解拉压杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟练掌握轴力计算和轴力图绘制。2.了解受扭杆的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟练掌握扭矩计算和扭矩图绘制。3.了解杆件在平面弯曲时的受力特点和变形特点，了解其计算简图，熟练掌握剪力和弯矩计算，剪力图和弯矩图绘制。4.掌握斜梁内力图绘制。

1第五章杆件的内力第5章杆件的内力

返回§5－1杆件拉（压）时的内力§5－2杆件扭转时的内力§5－3杆件弯曲时的内力§5－4斜梁的内力图2第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录§5－1杆件拉（压）时的内力

工程实际中经常遇到承受轴向拉伸或压缩的杆件。例如，斜拉桥中的拉索(图a)、钢木组合桁架中的钢拉杆(图b)等。(a)(b)3第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录

承受轴向拉伸或压缩的杆件简称为拉(压)杆。实际拉(压)杆的形状、加载和连接方式各不相同，但都可简化成图示的计算简图。

杆件的受力特点是：作用于杆件上的外力的合力作用线与杆件轴线重合；杆件的主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短，同时横向尺寸也发生变化。

4第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录

∑X

＝0FN

－F＝0得F

N＝F

现要求的内力就是图b中的合力FN。左段处于平衡状态，列出平衡方程由于内力FN的作用线与杆轴线重合，故FN称为轴力。

以图a所示拉杆为例，应用截面法求其任一横截面m-m上的内力。根据均匀连续性假设，横截面m－m上将有连续分布的内力，以后称其为分布内力，而把内力这一名词用来代表分布内力的合力(力或力偶)。5第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录

若取右段为研究对象，同样可求得轴力F

＝

FN

（如图），但其方向与用左段求出的轴力方向相反。

为了使两种算法得到的同一截面上的轴力不仅数值相等，符号相同，规定轴力的正负号如下：当轴力的方向与横截面的外法线方向一致时，杆件受拉伸长，轴力为正；反之，杆件受压缩短，轴力为负。

在计算轴力时，通常未知轴力按正向假设。若计算结果为正，则表示轴力的实际指向与所设指向相同，轴力为拉力；若计算结果为负，则表示轴力的实际指向与所设指向相反，轴力为压力。6第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录

实际问题中，杆件所受外力较复杂，这时杆件各横截面上的轴力不尽相同。为了表示轴力随横截面位置的变化情况，用平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示相应横截面上的轴力FN的数值，绘出轴力与横截面位置关系的图线，即为轴力图。

例5－1试绘制图示直杆的轴力图。已知F1=20kN，F2=12kN，F3=26kN。

7A第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录

解(1)求支座反力。由杆AD的平衡方程∑Fx=0，可求得支座反力FD=18kN。

x(2)求横截面1－1、2－2、3－3上的轴力。由于在横截面B和C上作用有外力，须将杆分为AB、BC、CD三段。

应用截面法，假想地沿1－1横截面把杆截开，取受力较简单的右段为研究对象（如图），列出平衡方程∑Fx=0，F1－FN1=0得FN1=F1=20kN8第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录x取3－3横截面的左段为研究对象，列出平衡方程

同理，取2－2横截面的右段为研究对象，列出平衡方程∑Fx=0，F1＋F2

－FN2=0得FN2=F1－F2=8kN

∑Fx=0，FN3＋FD

=0得FN3=

－FD=－

18kN

式中，FN3为负值，说明FN3的指向与假设的方向相反，即FN3为压力。

9第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录(3)绘制轴力图。根据所求得的轴力值，绘制轴力图。xxFN18kN8kN20kN－＋由图中看出FNmax=20kN，发生在AB段内各横截面上。FN图10第五章杆件的内力\杆件拉（压）时的内力目录xxFN18kN8kN20kN－＋FN图

对于等截面的直杆（以后简称等直杆），内力较大的横截面称为危险截面，例如本例中AB段内各横截面。以后若在规定的坐标系中绘制轴力图，则坐标轴可省略不画。11第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力目录§5－2杆件扭转时的内力

工程实际中有很多承受扭转的杆件。例如，钻探机的钻杆(图a)、房屋中的边梁(图b)等。在两个大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用下，杆件的任意两个横截面之间都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。以扭转为主要变形的杆件称为轴，其计算简图如图c所示。扭转变形用两个横截面绕轴线的相对扭转角表示。(a)(b)(c)12目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

受扭杆件的受力特点是：在杆件两端受到两个作用面垂直于杆轴线的力偶的作用，两力偶大小相等、转向相反。

变形特点是：杆件任意两个横截面都绕杆轴线作相对转动，两横截面之间的相对角位移称为扭转角，用表示。13目录5－2－1外力偶矩的计算第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的，而是给出轴所传递的功率和轴的转速。它们之间的换算关系为｛Me｝N·m=9549

式中，Me为轴所受的外力偶矩，单位为N·m；P为轴传递的功率，单位为kW；n为轴的转速，单位为r/min。14目录5－2－2扭矩与扭矩图第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

确定了作用于轴上的外力偶矩之后，就可应用截面法求其横截面上的内力。

假想地沿m－m截面把圆轴截开，取左段为研究对象。∑Mx

=0T－Me＝０得T＝Me

由于左端有外力偶作用，为使其保持平衡，m—m横截面上必存在一个内力偶矩。它是截面上分布内力的合力偶矩，称为扭矩，用T来表示。由空间力系的平衡方程

若取右段为研究对象，也可得到相同的结果，但扭矩的转向相反。

15目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

为了使两种算法得到的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且符号相同，对扭矩T的正负号规定如下：按右手螺旋法则，让四个指头与扭矩T的转向一致，大拇指伸出的方向(即扭矩T的方向)与截面的外法线方向一致时，T为正(如图)；反之为负。16目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

与求轴力的方法类似，用截面法计算扭矩时，通常先假设扭矩为正，然后根据计算结果的正负确定扭矩的实际方向。若作用于轴上的外力偶矩多于两个，也与拉伸(压缩)问题中绘制轴力图相仿，以横坐标表示横截面的位置、纵坐标表示相应横截面上的扭矩，用图线来表示各横截面上扭矩沿轴线变化的情况。这样的图线称为扭矩图。17目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

例5－2传动轴(如图)的转速n=150r/min；A处为主动轮，输入功率PA=70kW，B、C、D处为从动轮，其输出功率分别为PB=30kW，PC=PD=20kW。试绘制该轴的扭矩图。

18目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力解（1）计算外力偶矩。轴上的外力偶矩为

19目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

应用截面法，假想地沿1－1横截面把轴截开，取左段为研究对象(如图)，为保持左段平衡，1－1横截面上的扭矩T1为T1=－MeB=－1.91kN·m

式中，T1为负值，说明T1的实际方向与假设的方向相反。

(2)计算扭矩须将轴分为AB、AC和CD三段，逐段计算扭矩。

同理，取2－2横截面的左段为研究对象(如图)，可求得T2=MeA－MeB=2.55kN·m20D目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力取3－3横截面的右段为研究对象(如图)，可求得T3=MeD=1.27kN·m

(3)绘制扭矩图。根据以上计算结果，绘出扭矩图。

xT1.91kNm2.55kNm1.27kNm－＋T图21目录第五章杆件的内力\杆件扭转时的内力

由图看出，最大扭矩发生在AC段各横截面上，其值为Tmax=2.55kN·m。

以后若在规定的坐标系中绘制扭矩图，则坐标轴可省略不画。

xT1.91kNm2.55kNm1.27kNm－＋T图22目录§5－3杆件弯曲时的内力5－3－1平面弯曲的概念第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

工程实际中存在大量受弯曲的杆件。例如，桥式起重机的大梁(图a)、闸门的立柱(图b)等。在通过杆轴平面内的外力偶作用下，或在垂直于杆轴的横向力作用下，杆的轴线将弯成曲线，这种变形称为弯曲变形。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

23目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

工程中大多数梁的横截面都有一根竖向对称轴(如下图)。24目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

梁的轴线与梁的横截面的竖向对称轴构成的平面，称为梁的纵向对称面（如图）。如果梁的外力和外力偶都作用在梁的纵向对称面内，则梁的轴线将在此对称面内弯成一条曲线，这样的弯曲变形称为平面弯曲。25目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

梁的两个支座之间的部分称为跨。跨的长度称为跨长或跨度。

根据支座情况，单跨静定梁可分为三种形式：(3)外伸梁。一端或两端伸出支座之外的简支梁(图c)。(1)悬臂梁。一端固定，另一端自由的梁(图a)；(2)简支梁。一端为固定铰支座，另一端为活动铰支座的梁(图b)；26目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

在平面弯曲问题中，梁上的荷载与支座反力组成一平面力系，该力系有三个独立的平衡方程。悬臂梁、简支梁和外伸梁各自恰好有三个未知的支座反力，它们可由静力平衡方程求出。27目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力5－3－2剪力和弯矩

确定了梁上所有荷载与支座反力后，就可进一步研究其横截面上的内力。

以悬臂梁(图a)为例，其上作用有载荷F，由平衡方程可求出固定端B处的支座反力为FB=F，MB=Fl(图b)。28目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

求横截面m－m上的内力时，应用截面法假想地沿横截面m－m将梁截成两段，取左段为研究对象(如图)。为保持左段平衡，作用于左段上的力除荷载F外，在横截面m－m上必定有内力FS和M。列出平衡方程∑Fx=0F－FS=0得FS=F∑MC=0M－Fx=0得M=Fx

FS和M分别称为剪力和弯矩。

如取右段为研究对象(如图)，同样可以求得FS和M，且数值与上述结果相等，只是方向相反。29目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

为了使两种算法得到的同一截面上的剪力和弯矩不仅数值相等，而且符号相同，对剪力和弯矩的正负号作如下规定：凡剪力使所取微段梁产生顺时针转动趋势的为正(图a)，反之为负(图b)；凡弯矩使所取微段梁产生上凹下凸弯曲变形的为正(图c)，反之为负(图d)。

与求轴力和扭矩相类似，横截面上的剪力和弯矩通常按正向假设，根据计算结果的正负确定它们的实际方向。30目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

例5－3求图示简支梁横截面1－1、2－2、3－3上的剪力和弯矩。横截面3－3位于F2作用截面的右侧，并与其无限接近。

解（1）求支座反力。

由梁的平衡方程求得支座A、B处的反力为

FA

=FB

=10kN31目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

（2）求横截面1—1上的剪力和弯矩。假想地沿横截面1－1把梁截成两段，取左段梁为研究对象，并设截面上的剪力FS1和弯矩M1均为正(如图)。列出平衡方程

得M1=FA1m=10kN1m=10kNm

∑Fy＝0FA

FS1=0

得FS1=FA=10kN

∑MO＝0M1FA1m=0

32目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

计算结果FS1与M1为正，表明两者的实际方向与假设相同，即FS1为正剪力，M1为正弯矩。33目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

（3）求横截面2—2上的剪力和弯矩。假想地沿横截面2－2把梁截成两段，取截面左段梁为研究对象。由平衡方程

∑Fy＝0

FA

F1FS2=0得FS2=FA

F1=10kN10kN=0∑MO＝0

M2FA4m+F12m=034目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力得

M2=FA4mF12m=10kN4m10kN2m=20kNm由计算结果知，M2为正弯矩。35目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

（4）求横截面3—3上的剪力和弯矩。假想地沿横截面2－2把梁截成两段，取右段梁为研究对象。

∑Fy＝0

FB

FS3=0得FS3=

FB=10kN∑MO＝0

FB1m

M3=0得M3=FB1m=10kN1m=10kNm由平衡方程

36目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

计算结果FS3为负，表明FS3的实际方向与假设相反，即FS3为负剪力。M3为正弯矩。

由上面例题的计算过程，可以总结出内力计算的如下规律：

（1）梁任一横截面上的剪力，其数值等于该截面左边（或右边）梁上所有横向外力的代数和。当横向外力与该截面上正号剪力的方向相反时为正，相同时为负。

应该注意，当梁上的外力与梁斜交时，应先将其分解成横向分力和轴向分力。

（2）梁任一横截面上的弯矩，其数值等于该截面左边（或右边）梁上所有外力对该截面形心之矩的代数和。当力矩与该截面上正号弯矩的转向相反时为正，相同时为负。37目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力利用上述规律，可以直接根据横截面左边或右边梁上的外力来求该截面上的剪力和弯矩，而不必列出平衡方程。

例5－4求图示受均布荷载作用的悬臂梁横截面C上的剪力和弯矩。38qBCl－x目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

解横截面C上的剪力和弯矩直接根据该截面右边梁上的外力求得FSM39目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力5－3－3剪力图和弯矩图1．用内力方程法绘制剪力图和弯矩图FS=FS(x)M=M(x)以上两式分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

由例5－4可见，梁横截面上的剪力与弯矩随截面位置x而变化，它们都可表示为x的函数，即

与绘制轴力图和扭矩图一样，也可用图线表示梁的各横截面上剪力FS和弯矩M沿梁轴线变化的情况。以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力FS或弯矩M的数值，绘出剪力方程和弯矩方程的图线，这样的图线分别称为剪力图和弯矩图。40目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

需要指出的是，在建筑工程中，绘图时将正弯矩画在x轴下方，即画在杆件弯曲时凸出的一侧（受拉一侧），而且不用标注正负号。剪力图仍将正的剪力画在x轴上方。

例5－5图示简支梁受均布载荷q作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解（1）求支座反力。取梁整体为研究对象，由平衡方程，得FAFBqBAl41目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

列剪力方程和弯矩方程。取A点为坐标原点，建立x坐标轴，由坐标为x的横截面以左梁上的外力列出剪力方程和弯矩方程如下：（0＜x＜l)

（0≤x≤l）

因在支座A、B处有集中力作用，剪力在此两截面处有突变，而且为不定值，故剪力方程的适用范围用开区间的符号表示；弯矩值在该两截面处没有突变，弯矩方程的适用范围用闭区间的符号表示。qBAlFAFBx42目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

（3）绘剪力图和弯矩图。

根据以上方程式，剪力图为一条直线，只要确定直线上两个点（一般为两个端点）即可绘出，如图b所示。xql/2＋－l/2FS图(b)

当x=0和x=l时，M均为零；下面分析一个特殊的点：由高等数学知识可求得弯矩的极值及其所在横截面的位置。将弯矩方程对x求一阶导数，并令其等于零，有

弯矩图为一条抛物线，通常需要确定三个点才能将其大致绘出（一般为两个端点和某一个特殊的点）。qql/2FS(a)BAlFAFBx43目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力得

将上式代入弯矩方程式，即得最大弯矩为绘出梁的弯矩图如图c所示。

xql/2ql/2＋－FSl/2FS图(b)xM(c)M图(ql2)/8qBAlx(a)44目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

由图可见，梁跨中截面上的弯矩是极值且为全梁弯矩的最大值，

在该截面上，剪力FS=0。而在梁的两支座截面处剪力值为最大，qBAlxxql/2ql/2＋－FSl/2FS图(a)(b)xM(c)M图(ql2)/845目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

例5－6图示简支梁在C处受集中荷载F作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

解由梁的平衡方程，求得支座反力为FA=

，FB=46目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力（0＜x＜a)

（0≤x≤a）

集中力F作用于C点，梁在AC和BC两段内的剪力或弯矩不能用同一方程来表示，应分段考虑。在AC段内取距左端为x的任意横截面，求得此横截面上的剪力和弯矩分别为

同样求得CB段内的剪力方程和弯矩方程分别为（a＜x＜l)（a≤x≤l）47目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

根据剪力方程绘出剪力图（图b）。

由剪力图看出，当a＜b时，

根据弯矩方程绘出弯矩图（图c）。

由弯矩图看出48目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

由图可见，在集中力作用处(C截面)，其左、右两侧横截面上弯矩相同，而剪力则发生突变，突变值等于该集中力的大小。

49目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

例5－7图示简支梁在C处受一集中力偶Me作用，试列出此梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。50目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

解由梁的平衡方程，求得支座反力为

此梁在C处有集中力偶作用，分段列剪力方程和弯矩方程如下：（0＜x≤a)（0≤x＜a）AC段CB段（a≤x＜l)（a＜x≤l)

51目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

根据以上方程式，可分别绘出剪力图(图b)和弯矩图(图c)。

在集中力偶作用处（C截面），其左、右两侧横截面上的剪力相同，而弯矩则发生突变，突变值等于该集中力偶矩的大小。

由图可见，当b＞a时，在集中力偶作用处的右侧横截面上的弯矩值最大，52目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力2.用微分关系法绘制剪力图和弯矩图（1）弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系

在例5－5中，若将弯矩方程对x求一次导数，得，这恰是剪力方程，即有

若再将剪力方程对x求一次导数，得

可以证明，如规定分布载荷集度q(x)向上为正，则有由上两式还可得到53目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

以上三式就是弯矩、剪力与分布载荷集度之间的微分关系，它们在直梁中是普遍存在的规律。

（2）剪力图和弯矩图的图形规律

根据上述关系，并由前述各例，可以得到剪力图与弯矩图图形的一些规律，概括如下：

2）梁上某段受均布载荷作用(q为常数)时，此段梁的剪力FS为x的一次函数，剪力图为斜直线；弯矩M则为x的二次函数，弯矩图为抛物线。在剪力FS=0处，弯矩图的斜率为零，此处的弯矩为极值。

1）梁上某段无载荷作用(q=0)时，此段梁的剪力FS为常数，剪力图为水平线；弯矩M则为x的一次函数，弯矩图为斜直线。54目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

4）在集中力偶作用处，弯矩图有突变，当集中力偶顺时针转向时，弯矩图向下突变；当集中力偶逆时针转向时，弯矩图向上突变；突变值即为该处集中力偶矩的大小，但剪力图在此处却没有变化，故集中力偶作用处两侧弯矩图的斜率相同。

3）在集中力作用处，剪力图有突变，当集中力向下时，剪力图向下突变；当集中力向上时，剪力图向上突变；突变值即为该处集中力的大小；此时弯矩图的斜率也发生突然变化，因而弯矩图在此处有一尖角。

为方便记忆，将以上剪力图和弯矩图的图形规律归纳成表5.155目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力表5.1梁内力图的图形规律56目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

（3）微分关系法

利用上述图形规律，可不必列出剪力方程和弯矩方程，而能更简捷地绘制梁的剪力图及弯矩图。这种绘制剪力图和弯矩图的方法称为微分关系法，其步骤如下：

1)分段定形。根据梁上荷载和支承情况将梁分为若干段，由各段内的荷载情况判断剪力图和弯矩图的形状；

2)定点绘图。求出某些特殊横截面上的剪力值和弯矩值，逐段绘制梁的剪力图和弯矩图。57目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

例5－8试绘制图示外伸梁的剪力图和弯矩图。Bq=8kN/mF=6kNACDMe=4kNm1m1m1m

解(1)求支座反力FAFB

由梁的平衡方程，求得支座反力为FA=9kN，FB=5kN

58目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

(2)绘制剪力图①分段定形根据梁所受载荷和支承情况，全梁可分为CA、AD、DB三段。

CA和AD段：q=0，FS图为水平直线。

DB段：q<0且为常数，FS图为斜直线，斜率为负，向右下方倾斜。截面A、B、C处受集中力作用，剪力图有突变。Bq=8kN/mF=6kNACDMe=4kNm

1m

1mFAFB6kN3kN5kN＋－FS图

1m

②求特殊横截面上的剪力值并绘图CA、AD段的剪力图为水平线，只须分别在此两段内确定任一横截面上的剪力值。为绘出DB段的剪力图，需确定D横截面和支座B左侧横截面上的剪力值。上述横截面上的剪力值分别为59目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力Bq=8kN/mF=6kNACDMe=4kNm

1m

1mFAFB6kN3kN5kN＋－FS图

1m

由图可见，CA段的剪力绝对值最大，=6kN。(3)绘制弯矩图①分段定形。全梁仍可分为三段。

CA段：q=0、FS＜0,M图为斜直线，斜率为负，向右上方倾斜。

AD段：q=0、FS＞0，M图为斜直线，斜率为正，向右下方倾斜。

DB段：q<0、FS由正渐变至负，M图为向下凸的抛物线，斜率由正逐渐减小至负；在FS=0处，M为极值。截面A、B、C处受集中力作用，M图有折角。截面D处受集中力偶Me作用，M图有突变，突变值为Me的大小4kN·m。60目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力②求特殊横截面上的弯矩值并绘图。为绘出各段梁的弯矩图，由内力计算规律，求出以下横截面上的弯矩值，它们分别为MA=－F×1m=－6kN·m=－F×2m+FA×1m=－3kN·m=－F×2m+FA×1m+Me=1kN·mMB=MC

=

0

6kNmM图

设距支座B为x的E横截面上的剪力为零，则有

qx－FB=0即E横截面上的弯矩值为ME=1.56kN·m

1.56kNm3kNm1kNm0.625mBq=8kN/mF=6kNACDMe=4kNm

1m

1mFAFB6kN3kN5kN＋－FS图

1m61目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

梁的弯矩图如图所示。由图可见，支座A处横截面上的弯矩绝对值最大。Bq=8kN/mF=6kNACDMe=4kNm

1m

1mFAFB6kN3kN5kN＋－FS图

1m0.625m6kNmM图1.56kNm3kNm1kNm62目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力3.用区段叠加法绘制弯矩图

（1）叠加原理在小变形的情况下由几个外力所引起的某一参数(支座反力、内力、应力或位移)等于每个外力单独作用时所引起的该参数的总和。这个结论称为叠加原理。应该注意，叠加原理只有在参数与外力成线性关系时才能成立。63目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

（2）区段叠加法

在梁内取某一受均布荷载作用的杆段AB(图a)，与其静力等效的简支梁如图b所示，二者的弯矩图应相同。FSBBqACFSAMBMABqACMBMA(b)(a)ACBMAMBMmC(c)MmC图ACBMqC(d)MqC图

对于简支梁，当梁端力偶MA和MB单独作用时，梁的弯矩图为一直线（图c）;

当均布荷载q单独作用时，梁弯矩图为一抛物线(图d)。64目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

利用叠加原理，图b所示简支梁的弯矩图等于图c、d所示两个弯矩图的叠加（图e）。这就是区段叠加法。ACBMAMBMC=MmC+MqC(e)M图FSBBqACFSAMBMABqACMBMA(b)(a)ACBMAMBMmC(c)MmC图ACBMqC(d)MqC图65目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力

应用区段叠加法绘制梁的弯矩图的步骤如下：①分段定点。选取梁上外力不连续点（如集中力或集中力偶的作用点、分布荷载作用的起点和终点等）作为控制截面，并求出这些截面上的弯矩值，从而确定弯矩图的控制点。②叠加绘图。如控制截面间无荷载作用时，用直线连接两控制点即得该段的弯矩图。如控制截面间有均布荷载作用时，先用虚直线连接两控制点，然后以它为基线，叠加上该段在均布荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，即得该段的弯矩图。

在实际应用中，往往是将微分关系法和区段叠加法结合起来绘制梁的剪力图和弯矩图。66目录第五章杆件的内力\杆件弯曲时的内力例5－9试绘制图示简支梁的弯矩图和剪力图。

解（1）求支座反力。由梁的平衡方程∑MA=0，∑MB=