应力状态及应变状态分析

应力状态及应变状态分析湘潭大学土木工程与力学学院第一页，共八十四页，2022年，8月28日7.1应力状态的概念7.2应力状态的实例7.3二向应力状态分析——解析法7.4二向应力状态分析——图解法7.5三向应力状态7.7广义虎克定律7.9强度理论的概念7.10常用的四种强度理论湘潭大学土木工程与力学学院第二页，共八十四页，2022年，8月28日7.1应力状态的概述

受力构件内任意一点、在不同方位各个截面上的应力情况，称为该点处的应力状态。一点处的应力状态(Introductionofstress-state)湘潭大学土木工程与力学学院第三页，共八十四页，2022年，8月28日(a)(b)应力状态分析的工具——单元体(element)湘潭大学土木工程与力学学院第四页，共八十四页，2022年，8月28日主平面如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主应力主平面上的正应力称为主应力。主方向主平面的外法线方向。主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。主应力及应力状态的分类湘潭大学土木工程与力学学院第五页，共八十四页，2022年，8月28日这三个主应力分别记为s1,s2,s3，主单元体在主平面上的主应力按代数值的大小排列，s1≥s2≥s3。利用弹性理论可以证明：任意点存在三个互相正交的主应力。湘潭大学土木工程与力学学院第六页，共八十四页，2022年，8月28日单向应力状态（简单应力状态）只有一个主应力不为零(就是拉压时斜截面应力分析)二向应力状态(复杂应力状态)有两个主应力不为零(材料力学研究)三向应力状态(复杂应力状态)三个主应力都不为零(弹性力学研究)应力状态的类型

湘潭大学土木工程与力学学院第七页，共八十四页，2022年，8月28日7.2应力状态的实例湘潭大学土木工程与力学学院第八页，共八十四页，2022年，8月28日1.直杆轴向拉伸时的应力状态简单应力状态湘潭大学土木工程与力学学院第九页，共八十四页，2022年，8月28日二向应力状态2.圆轴扭转时，轴的表面上任一点A的应力状态

湘潭大学土木工程与力学学院第十页，共八十四页，2022年，8月28日3.圆筒形容器承受内压作用时任一点的应力状态湘潭大学土木工程与力学学院第十一页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第十二页，共八十四页，2022年，8月28日4.在车轮压力作用下，车轮与钢轨接触点A处的应力状态湘潭大学土木工程与力学学院第十三页，共八十四页，2022年，8月28日7.2二向应力状态分析——解析法

湘潭大学土木工程与力学学院第十四页，共八十四页，2022年，8月28日剪应力xy的两个下角标的含义分别为：第一个角标x表示剪应力作用平面的法线方向；第二个角标y则表示剪应力的方向平行于轴y。1.二向应力状态下斜截面上的应力关于应力的符号规定为：正应力以拉应力为正，而压应力为负；剪应力以对单元体内任意点有顺时针转动趋势，规定为正，反之为负。按照上述符号规定，图中

x、

y和xy皆为正，而yx为负。湘潭大学土木工程与力学学院第十五页，共八十四页，2022年，8月28日对单元体任意斜截面ef上的应力。该截面外法线n与x轴的夹角为。且规定：由x轴转到外法线n为逆时针时，则为正。

湘潭大学土木工程与力学学院第十六页，共八十四页，2022年，8月28日考虑右图的平衡湘潭大学土木工程与力学学院第十七页，共八十四页，2022年，8月28日上式表明：和都是的函数，即任意斜截面上的正应力和剪应力随截面方位的改变而变化，且其参变量为2

。湘潭大学土木工程与力学学院第十八页，共八十四页，2022年，8月28日根据三角学知识，这样的方程有两个相差90°的解0

。2.主应力及主平面的方位湘潭大学土木工程与力学学院第十九页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第二十页，共八十四页，2022年，8月28日由上式可见，我们得出了正应力的极值，而且正应力极值条件就是剪应力为零的截面——主平面——所以正应力的极值就是主应力。湘潭大学土木工程与力学学院第二十一页，共八十四页，2022年，8月28日问题：上述求得的正应力的最大与最小值max,

min与主应力1,2,3有什么对应关系呢？如果约定用x表示两个正应力中代数值较大的一个，即x

y

，上述方程确定的两个角度0中，绝对值较小一个确定max所在的平面。下一节中的图解法对确定主应力与主方向提供了简明的方法。湘潭大学土木工程与力学学院第二十二页，共八十四页，2022年，8月28日3剪应力的极值及其所在平面将斜截面上的剪应力对求导数得湘潭大学土木工程与力学学院第二十三页，共八十四页，2022年，8月28日假定1对应着剪应力取得极值的截面，则有湘潭大学土木工程与力学学院第二十四页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第二十五页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第二十六页，共八十四页，2022年，8月28日可见，在剪应力取得极值的截面上，正应力并不为零，而是两个正应力的平均值。湘潭大学土木工程与力学学院第二十七页，共八十四页，2022年，8月28日主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系即最大和最小剪应力所在的平面的外法线与主平面的外法线之间的夹角为45°湘潭大学土木工程与力学学院第二十八页，共八十四页，2022年，8月28日例题圆轴受扭如图所示，试分析轴表面任一点的应力状态，并讨论试件受扭时的破坏现象。湘潭大学土木工程与力学学院第二十九页，共八十四页，2022年，8月28日解：沿纵横截面截取的单元体为纯剪应力状态，单元体各面上的应力为湘潭大学土木工程与力学学院第三十页，共八十四页，2022年，8月28日正应力的极值为湘潭大学土木工程与力学学院第三十一页，共八十四页，2022年，8月28日说明低碳钢试件扭转时的屈服现象是材料沿横截面产生滑移的结果，最后沿横截面断开，这说明低碳钢扭转破坏是横截面上最大剪应力作用的结果即对于低碳钢这种塑性材料来说，其抗剪能力小于抗拉或抗压能力。铸铁试件扭转时，大约沿与轴线成螺旋线断裂，说明是最大拉应力作用的结果。即对于铸铁这种脆性材料，其抗拉能力小于抗剪和抗压能力。湘潭大学土木工程与力学学院第三十二页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第三十三页，共八十四页，2022年，8月28日例题如图所示，简支梁在跨中受集中力作用，m-m截面点1至点5沿纵横截面截取的单元体各面上的应力方向如图（b）所示，若已知点2各面的应力情况如图（c）所示。试求点2的主应力的大小及主平面的方位。湘潭大学土木工程与力学学院第三十四页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第三十五页，共八十四页，2022年，8月28日解：由于垂直方向等于零的正应力是代数值较大的正应力，所以选定x轴的方向垂直向上。此时湘潭大学土木工程与力学学院第三十六页，共八十四页，2022年，8月28日由于x>y，所以绝对值较小的角度0=27.5°的主平面上有最大的主应力湘潭大学土木工程与力学学院第三十七页，共八十四页，2022年，8月28日7.4二向应力状态分析——图解法湘潭大学土木工程与力学学院第三十八页，共八十四页，2022年，8月28日消除上述参数2，得一在-坐标系下的圆方程1.应力圆方程及其作法由解析法湘潭大学土木工程与力学学院第三十九页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第四十页，共八十四页，2022年，8月28日选取x方向的应力为D(sx,txy)，y方向的应力为D(sy,tyx)，这样在s-t坐标系中得到两点。连接这两点，它与

轴交于C点，以C为圆心，以DD´为直径作圆，此圆即为该单元体对应的应力圆，也称Mohr圆。具体作图方法是湘潭大学土木工程与力学学院第四十一页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第四十二页，共八十四页，2022年，8月28日2.利用应力圆确定主应力、主平面和最大剪应力确定主应力确定剪应力极值确定主平面确定剪应力极值所在的平面湘潭大学土木工程与力学学院第四十三页，共八十四页，2022年，8月28日例题已知单元体的应力状态如示。已知试用图解法求主应力，并确定主平面的位置。湘潭大学土木工程与力学学院第四十四页，共八十四页，2022年，8月28日比例尺湘潭大学土木工程与力学学院第四十五页，共八十四页，2022年，8月28日CD点与σ轴的夹角(也就是最大主应力对应平面的法向与x轴之间的夹角)为湘潭大学土木工程与力学学院第四十六页，共八十四页，2022年，8月28日同样有最小主应力与x轴之间的夹角为而最大剪应力(与E点对应)与x轴之间的夹角为而最小剪应力(与F点对应)与x轴之间的夹角为湘潭大学土木工程与力学学院第四十七页，共八十四页，2022年，8月28日另外，与最大剪应力对应的截面上，其正应力为这与解析法的结果相同。湘潭大学土木工程与力学学院第四十八页，共八十四页，2022年，8月28日特殊应力状态1.轴向拉伸只有一个主应力不为零(其应力圆必与轴相切)湘潭大学土木工程与力学学院第四十九页，共八十四页，2022年，8月28日2.纯剪状态有两个主应力不为零湘潭大学土木工程与力学学院第五十页，共八十四页，2022年，8月28日7.5三向应力状态湘潭大学土木工程与力学学院第五十一页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第五十二页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第五十三页，共八十四页，2022年，8月28日7.7广义虎克定律

湘潭大学土木工程与力学学院第五十四页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第五十五页，共八十四页，2022年，8月28日主应力形式湘潭大学土木工程与力学学院第五十六页，共八十四页，2022年，8月28日体积应变及与应力的关系湘潭大学土木工程与力学学院第五十七页，共八十四页，2022年，8月28日单元体的应变能也可以认为是由以下两部分组成：①因体积改变而储存的比能uv

。uv称作体积改变比能。②体积不变，只因形状改变而储存的比能uf

。uf称作形状改变比能。体积改变比能和形状改变比能湘潭大学土木工程与力学学院第五十八页，共八十四页，2022年，8月28日湘潭大学土木工程与力学学院第五十九页，共八十四页，2022年，8月28日7.9强度理论的概念(Strengththeory)湘潭大学土木工程与力学学院第六十页，共八十四页，2022年，8月28日不同材料的失效形式是不同的。对于塑性材料，如低碳钢，以发生屈服，出现塑性变形作为失效的标志，相应的失效应力为s(拉、压)或s

(扭转)。对于脆性材料，则是以断裂作为标志，相应的失效应力为b(轴向拉、压)或b

(圆轴扭转)。对于复杂应力状态，材料的失效现象虽然比较复杂，但是，因强度不足引起的失效现象仍然可以分为两类，即：一是屈服，二是断裂。同时，衡量危险点受力和变形的量又有应力、应变或比能。因此，某种材料以某种形式失效（屈服或断裂）与以上提到的应力、应变和比能这些因素中的一个或几个因素有关。湘潭大学土木工程与力学学院第六十一页，共八十四页，2022年，8月28日材料之所以按某种方式失效（屈服或断裂），是由于应力、应变和比能等诸因素中的某一因素引起的。按照这种假说，无论单向或复杂应力状态，造成失效的原因是相同的，即引起失效的因素是相同的且数值是相等的。通常也就把这类假说称为强度理论。由于轴向拉、压的实验最容易实现，且又能获得失效时的应力、应变和比能等数值，所以，利用强度理论便可由简单应力状态的实验结果，来建立复杂应力状态的强度条件。湘潭大学土木工程与力学学院第六十二页，共八十四页，2022年，8月28日7.10常用的四种强度理论

湘潭大学土木工程与力学学院第六十三页，共八十四页，2022年，8月28日第一强度理论（最大拉应力理论）该理论认为：不论材料处在什么应力状态，引起材料发生脆性断裂的原因是最大拉应力1

达到了某个极限值0。单向应力状态复杂应力状态湘潭大学土木工程与力学学院第六十四页，共八十四页，2022年，8月28日第一强度理论可以很好地解释铸铁等脆性材料在轴向拉伸和扭转时的破坏情况。铸铁在单向拉伸下，沿最大拉应力所在的横截面发生断裂，在扭转时，沿最大拉应力所在的斜截面发生断裂。这些都与最大拉应力理论相一致。但是，这一理论没有考虑其他两个主应力的影响，且对于没有拉应力的应力状态（如单向压缩、三向压缩等）也无法解释。第一强度理论对应的强度条件为湘潭大学土木工程与力学学院第六十五页，共八十四页，2022年，8月28日兰金,W.J.M.(WilliamJohnMacquornRankine1820-1872)

英国工程师和物理学家。1820年7月5日生于爱丁堡，1872年12月24日卒于格拉斯哥。早年在J.D.麦克尼尔指导下成为工程师，1855年起担任格拉斯哥大学土木工程和力学系主任。1853年当选为英国皇家学会会员。兰金是早期热工理论研究者之一。最主要的成就是提出了蒸汽动力机的理论循环及其计算方法。因此，蒸汽动力装置的基本循环就称为兰金循环。湘潭大学土木工程与力学学院第六十六页，共八十四页，2022年，8月28日兰金在力学上有多方面研究；如：拱和挡土墙的理论，特别是分析土对挡土墙的压力和挡土墙的稳定性问题(19世纪50年代)；提出用mv2/2表示物体的动能(他称为实能)以代替当时流行的mv2，并在1853年提出较完备的能量守恒定理，研究了流体力学中流线的数学理论(1871)，提出船舶的水线理论。湘潭大学土木工程与力学学院第六十七页，共八十四页，2022年，8月28日该理论认为：不论材料处在什么应力状态，引起发生脆性断裂的原因是由于最大拉应变1

达到了某个极限值0

。单向应力状态复杂应力状态第二强度理论（最大伸长线应变理论）湘潭大学土木工程与力学学院第六十八页，共八十四页，2022年，8月28日由广义虎克定律，并考虑到强度储备得第二强度理论对应的强度条件为本强度理论与石料，混凝土等脆性材料的轴向压缩实验结果相符合。这些材料在轴向压缩时，如在试验机与试块的接触面上加添润滑剂，以减小摩擦力的影响，试块将沿垂直于压力的方向裂开。裂开的方向就是的方向。铸铁在拉、压二向应力，且压应力较大的情况下，试验结果也与这一理论接近。但是，对于二向受压状态，这时的1与单向受力时不同，强度也应不同。但混凝土、石料的实验结果却表明，两种受力情况的强度并无明显的差别。湘潭大学土木工程与力学学院第六十九页，共八十四页，2022年，8月28日JeanVictorPoncelet(1788-1867)法国力学家、数学家、工程师。1788年7月1日生于梅斯,1867年12月22日卒于巴黎.1812年作为工程中尉参加拿破仑侵俄战争在萨拉托夫被俘.1814年回到法国.1815~1827年在梅斯当军事工程师,1825~1835在梅斯炮兵和工程兵学校任力学教授,1838~1848年任巴黎综合工科学校教授,1848~1850年担任该校指挥官,有将军军衔,1834年起成为法国科学院院士.湘潭大学土木工程与力学学院第七十页，共八十四页，2022年，8月28日该理论认为：不论材料处在什么应力状态，材料发生屈服的原因是由于最大的剪应力max

达到了某个极限值

0

。单向应力状态复杂应力状态第三强度理论（最大剪应力理论）湘潭大学土木工程与力学学院第七十一页，共八十四页，2022年，8月28日最大剪应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象。低碳钢拉伸时在与轴线成45°的斜截面上剪应力最大，也正是沿这些平面的方向出现滑移线，表明这是材料内部沿这一方向滑移的痕迹。这一理论既解释了材料出现塑性变形的现象，且又形式简单，概念明确，在机械工程中得到了广泛的应用。但是，这一理论忽略了中间主应力s2的影响，且计算的结果与实验相比，偏于保守。与本理论对应的强度条件是湘潭大学土木工程与力学学院第七十二页，共八十四页，2022年，8月28日CharlesAugustindeCoulomb(1736~1806)法国物理学家,力学家.1736年6月14日生于昂古莱姆,1806年8月23日卒于巴黎.库仑曾就学于巴黎马扎兰学院和法兰西学院,服过兵役.1774年当选法国科学院院士.1784年任供水委员会监督官,后任地图委员会监督官.1805年升任教育监督主任.湘潭大学土木工程与力学学院第七十三页，共八十四页，2022年，8月28日库仑直接从事工程实践，并善于从中归纳出理论规律。他对力学有多方面的贡献。1773年他向法国科学院提出《极大值和极小值规则在建筑静力学问题中的应用》的论文(1776年发表)，指出矩形截面梁弯曲时中性轴的位置和内力分布，还给出挡土墙竖直面所受土压力的公式。1781年库仑以《简单机械理论》一文获法国科学院奖，文中运用物体滑动时摩擦力和法向压力成正比的关系求解平衡问题。滑动摩擦的这一关系虽在1693(一说1697)年已为G．阿蒙通所知，但现在仍通称为库仑摩擦定律。库仑在用扭秤测量电的排斥力时，曾研究过金属丝的弹性扭转，其结果写在1784年发表的论文《金属丝弹性和扭转力的理论和实验》研究中，文中给出扭摆微振动方程和周期的公式，并指出扭矩与转角、金属丝直径和长度之间的关系。湘潭大学土木工程与力学学院第七十四页，共八十四页，2022年，8月28日库仑是最早研究电现象的科学家之一，他在1785年用扭秤推导出两静止电荷间相互作用力的定律(现称库仑定律)。他指出地磁场对磁铁作用的力偶同偏差角的正弦成正比，建立了磁体在磁场中运动方程并根据振动周期求出磁矩。他在电磁学方面的主要著作《电气与磁性》7卷，1785~1789年出版。国际单位制中电荷［量］的单位库[仑］即以其姓氏命名。湘潭大学土木工程与力学学院第七十五页，共八十四页，2022年，8月28日单向应力状态复杂应力状态该理论认为：不论材料处在什么应力状态，材料发生屈服的原因是由于形状改变比能达到了某个极限值。第四强度理论（形状改变比能理论）湘潭大学土木工程与力学学院第七十六页，共八十四页，2022年，8月28日根据几种塑性材料（钢、铜、铝