高中数学第一章三角函数15正弦函数的图像与性质151正弦函数的图像教案数学教案

正弦函数的图像整体设计教课剖析研究函数的性质经常以图像直观为基础,这点学生已经有些经验,经过察看函数的图像,从图像的特色获取函数的性质是一个基本方法,这也是数形联合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教课也是这样.先研究它们的图像,在此基础上再利用图像来研究它们的性质.明显,增强数形联合是深入研究函数性质的基本要求.因为三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不一样于其余种类函数的最重要的地方,并且关于周期函数,我们只需认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完整清楚了,所以,教科书把对周期现象的研究放在了本章开篇第一节.因为正弦线已经从“形”的角度描绘了三角函数,所以利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图像是一个自然的想法.自然,我们还能够经过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中察看得出五个要点点,获取“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.三维目标经过实验演示,让学生经历图像画法的过程及方法,经过对图像的感知,形成正弦曲线的初步认识,从而研究正弦曲线正确的作法,养成擅长发现、擅长研究的优秀习惯.学会碰到新问题时擅长调换所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提升剖析问题、解决问题的能力.经过本节学习,理解正弦函数图像的画法.借助图像变换,认识函数之间的内在联系.经过三角函数图像的三种画法:描点法、几何法、五点法,领会用“五点法”作图给我们学习带来的利处,并会娴熟地画出一些较简单的函数图像.经过本节的学习,让学生领会数学中的图形美,体验擅长着手操作、合作研究的学习方法带来的成功欢乐.浸透由抽象到详细的思想,加深数形联合思想的认识,理解动与静的辩证关系,建立科学的辩证唯心主义观.要点难点教课要点:正弦函数的图像.教课难点:将单位圆中的正弦线经过平移转变为正弦函数图像上的点.课时安排1课时教课过程导入新课思路1.(复习导入)碰到一个新的函数,特别自然的是画出它的图像,察看图像的形状,看看有什么特别点,并借助图像研究它的性质,如:值域、单一性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx的图像是如何的呢?回想我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图像是什么?是如何画出它们图像的(列表描点法:列表、描点、连线)?从而指引学生经过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图像.思路2.(情境导入)请学生着手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简略单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离均衡地点,松手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样便可在纸板上获取一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对均衡地点的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的状况.有了上述实验,你对正弦函数的图像能否有了一个直观的印象?画函数的图像,最基本的方法是我们从前熟知的列表描点法,但不够精准.下边我们利用正弦线画出比较精准的正弦函数图像.推动新课新知研究提出问题问题①:作正弦函数图像的各点的纵坐标都是查三角函数表获取的数值,因为对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精准地点.我们如何获取随意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?如何获取函数图像上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何获取y=sinx,x∈［0,2π］的精准图像呢?问题②:如何获取y=sinx,x∈R时的图像?活动:教师先让学生阅读教材、思虑议论,先指引学生弄清什么是角α的正弦线.此处的难点在于为何要用正弦线来作正弦函数的图像,如何在x轴上标横坐标?为何将单位圆分红12份?学生思虑研究仍不得要领时,教师可进行合时的点拨.只需解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图像,就很简单获取y=sinx,x∈R时的图像了.对问题①,第一步,能够想象把单位圆圆周剪开并12平分(教材中的说明中重申“所分的等份越细,画出的图像越精准.”),再把x轴上从0到2π这一段分红12等份.因为单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O上的各分点作x轴的垂线,就能够获取对应于10、、、、、、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).6432第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就获取了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用光滑曲线连结起来,我们就获取函数y=sinx在［0,2π］上的一段圆滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生认真察看如何平移和连线过程.而后让学生着手作图,形成对正弦函数图像的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同商讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z且k≠0上的图像与函数y=sinx在x∈［0,2π］上的图像的形状完整一致,不过地点不一样.于是我们只需将函数y=sinx,x∈［0,2π］的图像向左、右平行挪动(每次2π个单位长度),就能够获取正弦函数y=sinx,x∈R的图像.(这一过程用课件办理,让同学们认真察看整个图的形成过程,感知周期性)图2议论结果:①利用正弦线,经过平分单位圆及平移即可获取y=sinx,x∈［0,2π］的图像.②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题问题:以上方法作图,固然精准,但不太适用,自然我们想追求快捷地画出正弦函数图像的方法.你以为哪些点是要点性的点?活动:对此问题,教师可指引学生从图像的整体下手察看正弦函数的图像,发此刻［0,2π］上有五个点起要点作用,只需描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图像的形状就基本上确立了.这五点以下:(0,0),(

,1),(

π,0),(

3

,-1),(2

π,0).2

2所以,在精准度要求不太高时

,我们经常先找出这五个要点点

,而后用圆滑的曲线将它们连结起来,便可快速获取函数的简图.这类近似的“五点(绘图)法”是特别适用的,要求娴熟掌握.议论结果:略.应用示例例1用五点法画出以下函数在区间［0,2π］上的简图:(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.活动:本例的目的是让学生会用“五点法”绘图,并经过独立达成课后练习1意会画正弦、余弦函数图像的要领,最后达到娴熟掌握.从实质教课来看,“五点法”绘图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来达成.对学生出现的各种失误,教师不要焦急,在学生操作中指导一一纠正,这对此后学习大有利处.解:(1)按五个要点点列表:x0π32π22y=sinx010-10y=-sinx0-1010描点并将它们用圆滑的曲线连结起来(图3).图3(2)按五个要点点列表:x0π32π22sinx010-101+sinx12101描点并将它们用圆滑的曲线连结起来(图4).图4评论:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟习“五点法”.假如是多媒体教课,要打破课件教课的互动性,多留给学生一些着手操作的时间,或许增添图像纠错的环节,成效将会令人满意,切不行教师绘图学生看.达成本例后,让学生阅读本例下面的“思虑”,并回答如何经过图像变换得出要画的图像,让学生从另一个角度熟习函数作图的方法.例2画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.活动:教师指引学生察看研究y=sinx的图像并思虑|sinx|的意义,发现只需将其x轴下方的图像翻上去即可.进一步研究发现,只需画出y=|sinx|,x∈［0,π］的图像,而后左、右平移(每次π个单位)就能够获取y=|sinx|,x∈R的图像.让学生试试找寻在［0,π］上哪些点起要点作用,易看出起要点作用的点有三个:(0,0),(,1),(π,0).而后列表、描点、连线,让2学生自己独立操作达成,对其失误的地方再予以一一纠正.解:按三个要点点列表:x02πsinx010y=|sinx|010描点并将它们用圆滑的曲线连结起来(图5).图5评论:经过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”绘图的要义

,并进一步从图像变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔

.变式训练1.方程

sinx=

x

的根的个数为

(

)10A.7

B.8

C.9

D.10分析

:这是一个超越方程

,没法直接求解

,可指引学生考虑数形联合的思想方法

,将其转变为函数

y=

x的图像与

y=sinx

的图像的交点个数问题

,借助图形直观求解

.解好此题的要点是10正确地画出正弦函数的图像

.如图

6,从图中可看出图6

,两个图像有

7个交点.答案:A用五点法作函数y=2sin2x的图像时,第一应描出的五点横坐标能够是()A.0,,π,3,2πB.0,4,,3,π2224C.0,π,2π,3π,4πD.0,,,,26323答案:B知能训练课本本节练习1.讲堂小结以发问的方式,先由学生反省学习内容并回答,教师再作增补完美.1.单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数目是如何构成图像上点坐标的?为何将单位圆圆周12平分?有什么利处?3.如何利用“循环往复”的特色,把区间［0,2π］上的图像扩展到整个定义域的?这节课学习了正弦函数图像的画法.除了代数描点法、几何描点法以外,“五点法”作图是比较方便、适用的方法,应娴熟掌握.数形联合思想、运动变化看法都是学习本课内容的重要思想方法.作业课本习题1—5A组1、2.设计感想本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示下手,形成图像的感知后,升级问题,研究正弦曲线正确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,指引学生发现问题,解决问题,并对方法进行概括总结,表现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的讲堂教课理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图像的变化过程,更好地打破难点.2.本节课所画的图像许多,能快速正确地画出函数图像对初学者来说是一个较高的要求,重在学生着手操作,不要怕学生犯错.经过绘图能够培育学生的着手能力、模拟能力.开始时要慢些,特别是“五点法”,每个点都要正确地找到,而后快速画出图像.本小节设置的“研究”“思虑”许多,还供给了“研究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教课时,应留给学生必定的时间去思虑、研究这些问题.备课资料一、备用习题1.用“五点法”画出以下函数的图像:(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;(2)y=1+sinx,x∈［0,2π］.22.如图7中的曲线对应的函数分析式是()图7A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|参照答案:1.解:按五个要点点列表以下:x0π32π22y=2-sinx21232y=1+sinx131-11222222在直角坐标系中描出这五个点(1)如图8.(2)如图9.

,作出相应的函数图像

,以以下图所示

.图

8

图

92.C二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐朝学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.先人把海水白日的上升叫作“潮”,夜晚的上升叫作“汐”.实质上,潮汐与月球、地球都相关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会跟着地球自己的自转,大概在一天里经历两次上升、两次下降.因为潮汐与港口的水深有亲密关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.比如,某港口工作人员在某年阴历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系以下:t

0

3

6

9

12

15

18

21

24D

5

7.5

5

2.5

5

7.5

5

2.5

5(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来

(以以下图中实心圆点所示

),察看它们的地点关系

,不难发现

,我们能够采用正弦型函数

d=5+2.5sin

t,t

∈［0,24)

来近6似地描述这个港口这天的水深

d与时间

t的关系

,并画出简图

(如图

10).图10由此图或利用科学计算器,能够获取t取其余整数时d的近似值,从而把上表细化.利用这个函