小波变换原理与应用

小波变换原理与应用第一页，共六十三页，2022年，8月28日2主要内容1.小波的发展历史2.小波变换与傅里叶变换的比较3.小波变换的基本原理与性质4.几种常用的小波简介5.小波变换的应用领域6.小波分析应用前景7.小波变换的去噪应用8.小波分析面临的主要问题第二页，共六十三页，2022年，8月28日31.小波的发展历史——工程到数学

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。

小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新应用技术学科均产生了强烈的冲击。第三页，共六十三页，2022年，8月28日41.小波的发展历史——工程到数学1909:AlfredHaar——发现了Haar小波1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念，20世纪80年代开发出了连续小波变换CWT（continuouswavelettransform）1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波1988：StephaneMallat——Mallat快速算法（塔式分解和重构算法）第四页，共六十三页，2022年，8月28日51.小波的发展历史——工程到数学1988：InridDaubechies作为小波的创始人，揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理领域中，自从InridDaubechies完善了小波变换的数学理论和StephaneMallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。第五页，共六十三页，2022年，8月28日62.小波变换与傅里叶变换的比较

小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。

第六页，共六十三页，2022年，8月28日72.小波变换与傅里叶变换的比较

傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。

用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。

傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。

傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。

由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。

第七页，共六十三页，2022年，8月28日82.小波变换与傅里叶变换的比较

（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j，在不同时刻k，小波系数也是不同的。

（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。从而克服了上面所述的第二个不足。

（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积。小波变换的“时间--频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。第八页，共六十三页，2022年，8月28日93.小波变换的基本原理与性质

小波是什么？小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。第九页，共六十三页，2022年，8月28日103.小波变换的基本原理与性质

小波的“容许”条件用一种数学的语言来定义小波，即满足“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零；本身是振荡的，具有波的性质，并且完全不含有直流趋势成分，即满足第十页，共六十三页，2022年，8月28日113.小波变换的基本原理与性质

信号的信息表示时域表示：信号随时间变化的规律，信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等，更精细的表示就是概率密度分布（工程上常常采用其分布参数）频域表示：信号在各个频率上的能量分布，信息为频率和谱值（频谱或功率谱），为了精确恢复原信号，需要加上相位信息（相位谱），典型的工具为FT时频表示：时间和频率联合表示的一种信号表示方法，信息为瞬时频率、瞬时能量谱信号处理中，对不同信号要区别对待，以选择哪种或者哪几种信号表示方法第十一页，共六十三页，2022年，8月28日123.小波变换的基本原理与性质

平稳信号

非平稳信号不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号第十二页，共六十三页，2022年，8月28日133.小波变换的基本原理与性质

信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号，对于非平稳信号而言，在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化，失去统计意义；而在频率域，由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义第十三页，共六十三页，2022年，8月28日143.小波变换的基本原理与性质

时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析，同样的可以应用于平稳信号的分析第十四页，共六十三页，2022年，8月28日153.小波变换的基本原理与性质

为什么选择小波小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段，不同于FT方法，与STFT方法比较具有更为明显的优势第十五页，共六十三页，2022年，8月28日163.小波变换的基本原理与性质第十六页，共六十三页，2022年，8月28日173.小波变换的基本原理与性质第十七页，共六十三页，2022年，8月28日183.小波变换的基本原理与性质

小波变换的定义：

小波变换是一种信号的时间——尺度（时间——频率）分析方法，它具有多分辨分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于分析非平稳的信号和提取信号的局部特征，所以小波变换被誉为分析处理信号的显微镜。在处理分析信号时，小波变换具有对信号的自适应性，也是是一种优于傅里叶变换和窗口傅里叶变换的信号处理方法。第十八页，共六十三页，2022年，8月28日193.小波变换的基本原理与性质小波变换原理第十九页，共六十三页，2022年，8月28日203.小波变换的基本原理与性质

关于小波有两种典型的概念：连续小波变换，离散小波变换

连续小波变换定义为

可见，连续小波变换的结果可以表示为平移因子a和伸缩因子b的函数第二十页，共六十三页，2022年，8月28日213.小波变换的基本原理与性质——多分辨分析傅立叶分解过程小波分解过程第二十一页，共六十三页，2022年，8月28日223.小波变换的基本原理与性质——多分辨分析

伸缩因子对小波的作用第二十二页，共六十三页，2022年，8月28日233.小波变换的基本原理与性质——多分辨分析

平移因子对小波的作用

平移因子使得小波能够沿信号的时间轴实现遍历分析，伸缩因子通过收缩和伸张小波，使得每次遍历分析实现对不同频率信号的逼近第二十三页，共六十三页，2022年，8月28日243.小波变换的基本原理与性质——多分辨分析

连续小波变换实现过程首先选择一个小波基函数，固定一个尺度因子，将它与信号的初始段进行比较；通过CWT的计算公式计算小波系数（反映了当前尺度下的小波与所对应的信号段的相似程度）；改变平移因子，使小波沿时间轴位移，重复上述两个步骤完成一次分析；增加尺度因子，重复上述三个步骤进行第二次分析；循环执行上述四个步骤，直到满足分析要求为止。第二十四页，共六十三页，2022年，8月28日253.小波变换的基本原理与性质——多分辨分析第二十五页，共六十三页，2022年，8月28日263.小波变换的基本原理与性质——多分辨分析

小波逆变换如果小波函数满足“容许”条件，那么连续小波变换的逆变换是存在的第二十六页，共六十三页，2022年，8月28日273.小波变换的基本原理与性质

连续小波变换的性质叠加性（线性）时移不变性尺度特性微分特性内积定理能量守恒特性冗余性第二十七页，共六十三页，2022年，8月28日283.小波变换的基本原理与性质

离散小波变换DWT（discretewavelettransform，DWT）定义对尺度参数按幂级数进行离散化处理，对时间进行均匀离散取值（要求采样率满足尼奎斯特采样定理）第二十八页，共六十三页，2022年，8月28日293.小波变换的基本原理与性质

离散小波变换的可逆问题——框架理论DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达待分析信号的全部信息，这就需要数学上的框架理论作为支撑了，如果对于所有的待分析信号满足框架条件，那么DWT就是可逆的第二十九页，共六十三页，2022年，8月28日303.小波变换的基本原理与性质

正交小波变换与多分辨分析多分辨分析也称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。它构造了一组正交基，使得尺度空间与小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化，可在各尺度上由粗及精地观察目标。这就是多分辨率分析的思想。在离散小波框架下，小波系数在时间-尺度空间域上仍然具有冗余性，在数值计算或数据压缩等方面仍然希望这种冗余度尽可能的小。在小波变换发展过程中，Stromberg、Meyer、Lemarie、Battle和Daubechies等先后成功的构造了不同形式的小波基函数的基础上，是Meyer和Mallat将小波基函数的构造纳入到了一个统一的框架中，形成了多分辨分析理论。多分辨率分析理论不但将在那时之前的所有正交小波基的构造统一了起来，而且为此后的小波基的构造设定了框架。第三十页，共六十三页，2022年，8月28日313.小波变换的基本原理与性质

正交小波变换与多分辨分析对于小波基函数为，如果函数族构成内的正交基，就称小波为正交小波，在正交小波基础上进行的小波变换称为正交小波变换，只有满足正交小波变换才可称为多分辨分析，正交小波变换是完全没有冗余的，非常适合做数据压缩。第三十一页，共六十三页，2022年，8月28日32小波的快速算法——Mallat算法在多分辨分析的讨论中，可以看到正交小波变换可以等效为一组镜像滤波的过程，即信号通过一个分解高通滤波器和分解低通滤波器，自然的高通滤波器输出对应的信号的高频分量部分，称为细节分量，低通滤波器输出对应了信号的相对较低的频率分量部分，称为近似分量。对应的快速算法称为Mallat算法第三十二页，共六十三页，2022年，8月28日33小波的快速算法——Mallat算法滤波分解算法带来一个新的问题，就是针对离散的数据序列，经过滤波分解会得到多于原数据点数的数据序列。比如，原数据序列有1000个采样点，经过滤波分解后，会得到1000点的近似分量序列和1000点的细节分量序列，这样就得到了2000个采样点数据，在小波变换的Mallat算法实现中，可以利用降采样的方法即在输出的两点中只取一个数据点，这样产生两个为原信号数据长度一半的序列，称为简单记为cA和cD，虽然近似分量和细节分量的数据长度仅为原信号序列的一半，但是却完整的包含的原信号的信息内容。第三十三页，共六十三页，2022年，8月28日34小波的快速算法——Mallat算法Mallat算法的降采样第三十四页，共六十三页，2022年，8月28日35小波的快速算法——Mallat算法小波分解树第三十五页，共六十三页，2022年，8月28日36小波的快速算法——Mallat算法到此我们已经知道离散小波变换是怎么样分析或者怎样来分解一个信号，这个过程通常也称为分解分析，那么自然想到另外一个对应的问题就是如何将这些分解得到分量能够整合到一起恢复原信号并且没有任何的信息损失，这一过程就称为小波重构或者小波合成，实质上就是逆离散小波变换（InverseDiscreteWaveletTransform，简称：IDWT）。在离散小波变换或小波分解的过程中包含了滤波和降采样，那么在小波重构过程中需要进行过采样和滤波。过采样是通过在相邻采样点之间插入零值的来实现的，利用过采样可以使得信号分量的长度增加为原来的两倍，以达到和需要重构信号一致的采样数据长度。第三十六页，共六十三页，2022年，8月28日37小波的快速算法——Mallat算法第三十七页，共六十三页，2022年，8月28日38小波的快速算法——Mallat算法塔式分解和重构示意图第三十八页，共六十三页，2022年，8月28日39小波的快速算法——Mallat算法局部分量的重构在一些工程应用中，只需要关心信号中的某个分量，此时对细节分量和近似分量的单独重构成为必要，通过将其他分量系数置零的方式，利用Mallat算法是非常容易的第三十九页，共六十三页，2022年，8月28日40小波包分解算法——精细化处理小波包分析可以看作是小波分解的一种推广方法，利用小波包进行分析可以得到对信号更为精细的分析结果。通过将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频分量部分进行进一步的分解，并根据被分析信号特征，通过自适应的选择相应频带，达到与信号频谱的匹配，实现精细化处理。小波包原子是一种被时间、尺度和频率来表征的函数波形，对于一个给定的正交小波函数，我们能够在此基础上生成一组基，这组基一般称为小波包基。简单的说，小波包就是一个函数族，可以由这组函数族构造出L2(R)的标准正交基库，从这组标准正交基库中可以选择出多组标准正交基，对于多分辨分析小波变换（正交小波变换）只是选择了其中的一组基，从这个意义上讲小波包就是小波变换的一种推广。第四十页，共六十三页，2022年，8月28日41小波包分解算法——精细化处理

小波包分解树第四十一页，共六十三页，2022年，8月28日424.几种常用的小波简介

经过十多年的发展,科学家们已经设计出了几种在工程技术领域有非常重要应用的小波函数,在这里作一简单介绍.1.Morlet小波,它是高斯包络下的单频率复正弦函数:第四十二页，共六十三页，2022年，8月28日434.几种常用的小波简介2.Marr小波,也叫墨西哥草帽小波,它是高斯函数的二阶导数.第四十三页，共六十三页，2022年，8月28日444.几种常用的小波简介第四十四页，共六十三页，2022年，8月28日454.几种常用的小波简介第四十五页，共六十三页，2022年，8月28日465.小波变换的应用领域

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别，音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。第四十六页，共六十三页，2022年，8月28日47小波分析在地球物理勘探中的应用

（1）地震数据压缩。将地震记录作小波变换，变换后的结果做阈值量化，去除大量接近于零的值，用一定的记录方式把结果存储起来，达到压缩的目的。当需要再利用这些地震数据时，作小波逆变换恢复原来的地震记录。

（2）油气预测。地球物理勘探中，寻求地壳物质物性参数的奇异性是非常有意义的。例如，断层会使重力异常产生的较大变化；在地壳介质的分界面处，地震波的传播会产生速度和方向的变化，这些都是地球物理信号的奇异性。判断出奇异性的大小和位置就可以对异常现象做出解释。第四十七页，共六十三页，2022年，8月28日48小波分析用于信号和图像处理

（1）数据压缩。随着科学技术特别是计算机技术的发展以及互联网的普及，许多应用领域（如卫星监测、地震勘探、天气预报）都存在海量数据传输或存储问题，如果不对数据进行压缩，数量巨大的数据就很难存储、处理和传输。因此，伴随小波分析的诞生，数据压缩一直是小波分析的重要应用领域之一，并由此带来巨大的经济效益和社会效益。

（2）语音分析与处理。小波理论应用于语音分析与处理的主要内容包括：清/浊音分割；基音检测与声门开启时刻定位；去噪、压缩、重建几个方面。第四十八页，共六十三页，2022年，8月28日49脑电图中尖波的检测

小波变换突出局部特征的能力是它成为检测瞬态突变的有力手段.传统上常用的检测手段是匹配滤波和傅里叶变换,但前者需要有关于待检测信号的先验知识,后者则主要对长期持续的周期性信号有效,而小波变换适于检测低能量的短时瞬变,而且不需要很多先验知识,脑电图中偶尔发生的幅度较大,持续时间较短的尖峰状瞬态称为尖波,它往往和脑电图中的癫痫有联系,小波变换是检测尖波的有效手段,经过小波变换后的尖波会更加突出.第四十九页，共六十三页，2022年，8月28日506.小波分析应用前景

（1）瞬态信号或图像的突变点常包含有很重要的故障信息，例如，机械故障、电力系统故障、脑电图、心电图中的异常、地下目标的位置及形状等，都对应于测试信号的突变点。因此，小波分析在故障检测和信号的多尺度边缘特征提取方面的应用具有广泛的应用前景。

（2）神经网络与小波分析相结合，分形几何与小波分析相结合是国际上研究的热点之一。基于神经网络的智能处理技术，模糊计算、进化计算与神经网络结合的研究，没有小波理论的嵌入很难取得突破。非线性科学的研究正呼唤小波分析，也许非线性小波分析是解决非线性科学问题的理性工具。第五十页，共六十三页，2022年，8月28日516.小波分析应用前景

（3）小波分析用于数据或图像的压缩，目前绝大多数是对静止图像进行研究的。面向网络的活动图像压缩，长期以来是采用离散余弦变换（DCT）加运动补偿（Mc）作为编码技术，然而，该方法存在两个主要的问题：方块效应和蚊式噪声。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述问题，而且可首先得到粗尺度上图像的轮廓，然后决定是否需要传输精细的图案，以提高图像的传输速度。因此研究面对网络的地速率图像压缩的小波分析并行算法，具有较高探索性和新颖性。同时也具有较高的应用价值和广泛的应用前景。（4）目前使用的二维及高维小波基主要是可分离的。不可分离二维及高维小波基的构造、性质应用研究，由于理论上较为复杂，这方面的成果甚少。也许向量小波及高维小波的研究能够为小波分析的应用开创一个新天地。第五十一页，共六十三页，2022年，8月28日527.小波变换的去噪应用小波降噪原理

从信号学的角度看,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波,但由于在去噪后,还能成功地保留信号特征,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合,其流程框图如下图所示：特征提取低通滤波特征信号重建信号带噪信号第五十二页，共六十三页，2022年，8月28日537.小波变换的去噪应用

小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式：

k=0.1…….n-1

其中,f(k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

第五十三页，共六十三页，2022年，8月28日547.小波变换的去噪应用SCa1Cd1Ca2Cd2Ca3Cd3第五十四页，共六十三页，2022年，8月28日557.小波变换的去噪应用降噪方法

一般来说，一维信号的降噪过程可以分为3个步骤进行：

1）一维信号的小波分解，选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号进行N层小波分解计算。2）小波分解高频系数的阈值量化，对第1层到第N层的每一层高频系数，选择一个阈值进行软阈值量化处理．第五十五页，共六十三页，2022年，8月28日567.小波变换的去噪应用3）一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维信号的小波重构。在这3个步骤中，最核心的就是如何选取阈值并对阈值进行量化，在某种程度上它关系到信号降噪的质量．在小波变换中，对各层系数所需的阈值一般根据原始信号的信号噪声比来选取，也即通过小波各层分解系数的标准差来求取，在得到信号噪声强度后，可以确定各层的阈值。这里着重讨论了信号在两种不同小波恢复后信号质量的不同和对信号中的信号与噪声进行分离。第五十六页，共六十三页，2022年，8月28日577.小波变换的去噪应用仿真实验

本文采用Mtalab本身程序提供的noissin信号函数及初设原始信号f（x）为例进行Matlab分析[1,3],其中：

e=noissin+0.5*randn(size(e1));

首先对noissin函数上叠加上随机噪声信号得到e，分别对比采用db10小波和sym8小