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文档简介

3.3矩阵的秩一二矩阵秩的概念求矩阵秩的方法1一、矩阵秩的概念定义1

在阶矩阵中，任取行与列），

（位于这些行列交叉处的个元，不中所处的位置次序而得的阶行列式，

改变它们在称为矩阵的阶子式。

阶矩阵的阶子式共有个。2定义2

设在矩阵中有一个不等于0的阶子式，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩的秩，记作。并规定零矩阵的秩等于0。那么阵3由行列式的按行（列）展开性质可知，在中当所有阶子式全等于0，所有高于阶的子式也全为0，因此把阶非零子式称为最高的最高阶非零子式的秩就是的非零子阶非零子式，并由此可知矩阵可能不止一个。而式的最高阶数。4【注】（1）若矩阵中有一个阶非零子式，则；若中所有阶子式全为0，则（2）若为矩阵，则。。（3）对于阶矩阵，若，则；若，则。因此，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵。5（4）由于行列式与其转置行列式相等，因此的子式与的子式对应相等，从而（5）该定义揭示了矩阵秩的本质。例4

求矩阵和矩阵的秩，其中6解在中，容易看出一个二阶子式

，而的三阶子式只有一个

，经计算可知，因此。

是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，即知的所有四阶子式全为0；而以3个非零行的非零元为对角元的三阶行列式7是一个上三角形行列式，它显然不等于0，因此8二、求矩阵秩的方法

从上可知，对于一般的矩阵，当行数与列数较高时，按定义求秩是很麻烦的。然而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。因此，自然想到用初等变换把矩阵化为阶梯形，但矩阵经初等变换后它的秩是否保持不变呢？下面的定理对此作出肯定的回答。9定理1

若，则。即，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。证明先证明：若经一次行初等变换化为，则。为此设，且的某个阶子式。当或时，在

中总能找到与相对应的阶子式

，由于

或

10或，因此，从而。

当时，分三种情形讨论：

（1）中不含第行；中同时含第行和第行；中含第行但不含第行。

（2）（3）11对于（1）（2）两种情形，显然对应的阶子式，从而；

中与对情形（3），由12若，则因中不含第行知中行的阶非零子式，从而根据情形；若，则。。有不含第（1）知也有以上证明了若经一次初等行变换变为则。由于亦可经一次初等行变换，故也有。因此。，变为13

经一次初等行变换矩阵的秩不变，因而经有限次初等行变换矩阵的秩也不变。总之，矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。若经初等列变换变为，经初等行变换，由上面证明知。而，，因此。变为总之，若经有限次初等变换变为），则。（即14【注】求矩阵秩的方法：行阶梯形，行阶梯形中非零行的行数，即是它的秩。例5

求矩阵的秩。解因为

所以，秩(A)。15【注】矩阵的秩有如下性质：（1）设A为n阶方阵，则A可逆当且仅当（即（2））（3）设A为矩阵，则≤。

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