4-1-2简谐运动旋转矢量法简谐运动的动力学讲解

波动与光学第1章振动(Vibration)生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船，人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜，人类自身中的：声带、耳膜、心脏，不易感觉的：传递声音的空气分子的振动、 传递温度的固体内原子的振动、 传递信息的天线中电子的振动……周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。 如，地球自转、公转， 血液循环、生态循环、经济周期等。

以固定的空间段重复称它具有空间周期性。 如，整齐排列的路灯，晶体中的晶格等。广义振动：指系统状态的时间(准)周期性。振动的主要形式：机械振动：物体在一定位置附近的往复运动。 树枝、小船、琴弦、鼓膜、声带、耳膜、 空气分子、固体原子等的振动。电磁振动：电磁量在定值附近周期性往复变化。 电流、电压、电量、电能、磁能等周期性变化。如何研究振动呢？周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。 如，地球自转、公转。

以固定的空间段重复称它具有空间周期性。 如，整齐排列的路灯，晶体中的晶格等。广义振动：指系统状态的时间(准)周期性。引子：振动的合成和分解方波的分解x0t0tx1t0x3t0x5t0x1+x3+x5+x00tx0任何复杂振动都是简单运动的合成。§1.1简谐运动的描述x(t)=Acos(t+)特点：

(1)等幅振动

(2)周期振动

x(t)=x(t+T)一.简谐运动（SimpleHarmonicMotion） 物体在运动中，对于平衡位置的位移x按余弦规律随时间t变化。xmoxoA-AtxT以水平弹簧振子为例轻质弹簧物块刚性无阻力振子：可以发生振动的系统。图线表示法解析表示法oTtx、

、ax2A

<0

<0>0>0a<0

>0

>0<0加速减速加速减速AA-A-A-2Aa

x(t)=Acos(t+)二.速度和加速度xmox加速度与位移成正比而反向

x(t)=Acos(t+)

1.振幅A(amplitude)偏离平衡位置的最大距离其值与运动如何开始有关三.描述简谐运动的特征量2.周期T(period)单位时间内的振动次数振动往复一次所需时间频率v(frequency)

表征简谐运动的周期性。=1/T(Hz)

=2π/T(rad/s)-----角频率ω单位时间内变化的弧度数

x(t)=x(t+T)=Acos[(t+T)+]=Acos(t++2π)

Acos(t+)反映t时刻系统的运动状态(x、)。3.相位(phase)(1)(t+)是t时刻的相位若相位为0，则反映x=A,

=0；若相位为π/3，则x=A/2,

=-√3/2A;若相位为π/2，则x=0,

=-A;……相位为2π

，物体回到x=A位置。ω

=2π/T(rad/s)时间上变化一个周期，相当于相位变化2π。周期内一一对应相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。振动的时间周期性可以用相位来表示。

(2)是t=0时刻的相位—初相(initialphase)即，选定的初始时刻所处的阶段，反映初始时刻的运动状态(x0、0)。相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。振动的时间周期性可以用相位来表示。ω

=2π/T(rad/s)反映t时刻系统的运动状态(x、)。3.相位(phase)(1)(t+)是t时刻的相位周期内一一对应时间上变化一个周期，相当于相位变化2π。小结：描述简谐运动的三个特征量：A，ω，=1/T(Hz)ω

=2πv=2π/T(rad/s)简谐运动的两个定义相位，是周期振动中振子所处的阶段(状态)。引子：伽利略对木星卫星的观测1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的4颗主要卫星。经观察，发现木卫四似乎在做相对于木星圆盘中点往复运动。纵坐标是木卫四与木星的夹角，横坐标是相应的观测时间。难道木卫四是在做简谐运动？木卫四以基本恒定的速度在做近似的圆周运动。结论：所观察到的简谐运动是匀速圆周运动在运动平面内一条直线上的投影。1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的4颗主要卫星。经观察，发现木卫四似乎在做相对于木星圆盘中点往复运动。根据他精确的记录，发现最佳拟合曲线是余弦曲线，这强烈地暗示了简谐运动。引子：伽利略对木星卫星的观测§1.2旋转矢量与振动的相矢量长度=Axt=0xx=Acos(t+)

t=tAt+A一.旋转矢量法

O线速度：x轴投影：法向加速度：x轴投影：旋转矢量：x轴投影：

t=0时矢量与x轴的夹角为

以为角速度绕O点逆时针旋转简谐运动 是匀速圆周运动在所沿圆的直径上的投影。相的几何意义：振动的相(t+)，是旋转矢量的角位置。xt=0xx=Acos(t+)

t=tAt+Ao线速度：x轴投影：法向加速度：x轴投影：旋转矢量：x轴投影：[例题]已知简谐运动，A=4cm，

=0.5Hz，t=1s时x=-2cm且向x正向运动，写出振动表达式。由图，=/3，x=4cos(t+/3)cm由题意，T=1/v=2sω=2π/T=π

x(t)=Acos(t+)简谐运动的基本表达式：解：二.相位差(phasedifference)相位差------ 两个相位不同的简谐运动，称之有相位差。两同频率的简谐振动， x1

=A1cos(t+1)

和 x2=A2cos(t+2)

=(t+2)-(t+1)=2

-1相位差等于初相差；也可以说一个对另一个有相移。

x(t)=Acos(t+)2.同相和反相当=2k，(k=0，1，2，…)， 两振动步调相同，称同相。当=(2k+1)，(k=0，1，2，…)， 两振动步调相反，称反相。

-

A2xxx2ToA1-A1A2-

A2x1t反相oA1-A1A2x1x2Tt同相2.同相和反相当=2k，(k=0，1，2，…)， 两振动步调相同，称同相。当=(2k+1)，(k=0，1，2，…)， 两振动步调相反，称反相。

3.超前和落后若=2-1>0，则x2比x1较早达到正极大，称x2比x1超前(或x1比x2落后)。x2TxoA1-A1A2-

A2x1t思考：在图中，x1与x2两振动谁超前？超前、落后以<的相位角来判断。2-1>0，x2比x1超前π/21-2>0，x1比x2超前3π/2

x(t)=Acos(t+)oTtx、

、ax2A

<0

<0>0>0a<0

>0

>0<0加速减速加速减速AA-A-A-2Aa速度v比位移x超前π/2；加速度a和位移x反相。小结：简谐运动 是匀速圆周运动在所沿圆的直径上的投影。(t+)是时刻

t

振动的相，几何意义是旋转矢量的角位置。相位不同，运动状态不同。两同频率简谐运动的相差：=初相差；=

2k，同相；=

(2k+1)，反相。描述简谐运动的三种方法：解析表示法；图线表示法；旋转矢量法。引子：简谐运动的运动学与动力学前两节讨论了简谐运动的运动学， 即，如何描述简谐运动；下面，我们将探讨简谐运动的起因， 牛顿第二定律告诉我们， 力是运动状态改变的原因， 因此，我们将讨论简谐运动的动力学。§1.3简谐运动的动力学方程力和位移成正比而反向，称恢复力。2.动力学方程xmoxF运动力运动力简谐运动另一定义1.受力特点线性谐振子3.固有角频率ω固有角频率决定于振动系统的内在性质。2.动力学方程xmoxF其通解为：x(t)=Acos(t+)简谐运动-----简谐运动的动力学方程---其中，A和是由初始条件决定的积分常数比较可得k为劲度系数二阶常系数线性常微分方程

4.由初始条件求振幅A和初相初始条件：t=0时的 位移x0=Acos

速度v0=-ωAsin

3.固有角频率ω固有角频率决定于振动系统的内在性质。弹簧振子：k为劲度系数振动系统都有，某种“弹性”要素----(k)

和“惯性”要素---(m)x(t)=Acos(t+)小结：简谐运动的动力学方程---决定于系统自身性质包含弹性要素和惯性要素---简谐运动另一定义---ω一定决定于初始条件x(t)=Acos(t+)作业：习题：1.1、1.3、1.5、1.7内容总结波动与光学。生活中观察的：摇曳的树枝、飘荡的小船，。人类发明中的：颤动的琴弦或鼓膜，。人类自身中的：声带、耳膜、心脏，。传递温度的固体内原子的振动、。传递信息的天线中电子的振动。周期性过程：指不断有规律重复的过程或状态。以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。以固定的时间间隔重复称它具有时间周期性。如，地球自转、公转，