高考数学一轮复习 第12讲函数模型及其应用精品 理 新人教课标A

第12讲

│函数模型及其应用第12讲函数模型及其应用精选ppt知识梳理第12讲

│知识梳理

1．函数模型常用函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．(2)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)．(3)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．(4)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，m≠0，a≠1)．(5)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)．(6)分段函数模型精选ppt第12讲

│知识梳理

2．三种函数模型的性质在区间(0，＋∞)上，指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)，幂函数y＝xn(n>0)都是增函数，但它们增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表示为与x轴趋于平行，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.3．函数模型的应用(1)解答函数应用题的步骤：①阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义．精选ppt第12讲

│知识梳理

②分析建模：分析题目中的量与量之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常量与变量)，有时可借助列表、画图等手段来理顺数量关系，同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型，以确定函数模型的种类，在对已知条件和目标变量的综合分析、归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题．③数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳解题方案，进行数学上的求解计算．④还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．精选ppt第12讲

│知识梳理

(2)在实际问题中建立函数模型的算法程序：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解决实际问题．精选ppt第12讲

│知识梳理

以上过程可用程序框图表示如图12－1：图12－1精选ppt第12讲

│要点探究

►探究点1已知函数模型解决实际应用问题要点探究

例1某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y与销售单价x(元/件)的图象可近似看作一条直线，该直线经过(600,400)和(700,300)两点．(1)求y关于x的函数关系式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，试用销售单价x表示毛利润S，并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时销售量是多少？精选ppt第12讲

│要点探究

[思路]根据函数图象，可知y是x的一次函数，利用待定系数法可求得函数关系式；然后利用“毛利润＝销售总价－成本总价”建立S与x的关系式，通过求函数的最值达到解题目的．[解答](1)由于y与x关系式的图象为一条直线，因此设y＝kx＋b，∴解得k＝－1，b＝1000，∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；精选ppt第12讲

│要点探究

(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)，∴当销售单价是750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．[点评]以函数图象给出关系式的应用问题，先利用图象形状确定函数的类型，然后利用待定系数法求解；函数应用问题中，已知的等量关系也是解题的依据，它们常用来构造函数关系．精选ppt第12讲

│要点探究

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│要点探究

(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟相比，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？精选ppt第12讲

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►探究点2

建立函数模型解决实际应用问题

例3据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图12－2所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)时间内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．图12－2精选ppt第12讲

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例4芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：上市时间t50110250种植成本Q150108150精选ppt第12讲

│要点探究

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本．精选ppt第12讲

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[解答](1)由所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．精选ppt第12讲

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│规律总结

规律总结1．把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．精选ppt第12讲

│函数模型及其应用第12讲函数模型及其应用精选ppt知识梳理第12讲

│知识梳理

1．函数模型常用函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．(2)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)．(3)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．(4)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，m≠0，a≠1)．(5)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)．(6)分段函数模型精选ppt第12讲

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2．三种函数模型的性质在区间(0，＋∞)上，指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)，幂函数y＝xn(n>0)都是增函数，但它们增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表示为与x轴趋于平行，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.3．函数模型的应用(1)解答函数应用题的步骤：①阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义．精选ppt第12讲

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②分析建模：分析题目中的量与量之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常量与变量)，有时可借助列表、画图等手段来理顺数量关系，同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型，以确定函数模型的种类，在对已知条件和目标变量的综合分析、归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题．③数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳解题方案，进行数学上的求解计算．④还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．精选ppt第12讲

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(2)在实际问题中建立函数模型的算法程序：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解决实际问题．精选ppt第12讲

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以上过程可用程序框图表示如图12－1：图12－1精选ppt第12讲

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►探究点1已知函数模型解决实际应用问题要点探究

例1某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y与销售单价x(元/件)的图象可近似看作一条直线，该直线经过(600,400)和(700,300)两点．(1)求y关于x的函数关系式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，试用销售单价x表示毛利润S，并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时销售量是多少？精选ppt第12讲

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[思路]根据函数图象，可知y是x的一次函数，利用待定系数法可求得函数关系式；然后利用“毛利润＝销售总价－成本总价”建立S与x的关系式，通过求函数的最值达到解题目的．[解答](1)由于y与x关系式的图象为一条直线，因此设y＝kx＋b，∴解得k＝－1，b＝1000，∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；精选ppt第12讲

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(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)，∴当销售单价是750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．[点评]以函数图象给出关系式的应用问题，先利用图象形状确定函数的类型，然后利用待定系数法求解；函数应用问题中，已知的等量关系也是解题的依据，它们常用来构造函数关系．精选ppt第12讲

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(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟相比，何时学生的注意力更集中？(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？精选ppt第12讲

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►探究点2

建立函数模型解决实际应用问题

例3据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图12－2所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)时间内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．图12－2精选ppt第12讲

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例4芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占