第5章相交与平行线5.12垂线

5．1．2垂线★垂线的定义两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就叫这两条直线互相垂直．其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.★垂线的性质：在同一平面内，过

或

一点，有且只有一条直线与已知直线 垂直．直线外直线上★垂线段：过直线外一点画已知直线的垂线，以这点和垂足为端点的线段就是这点到这条直线的垂线段．直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，

最短．★点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度．注：“垂线段”和“点到直线的距离”是两个不同的概念．垂线段是图形，点到直线的距离是一个长度，是一个数量，不是垂线段这个图形本身，但在求点到直线的距离时，需先作出垂线段，然后计算或度量出该垂线段的长度．垂线段例1读句子画图，并回答问题：(1)作∠BAC=90°，交直线l于点B，C，过点A作AD⊥l于点D；解：(1)如图5-1-15；(2)根据所画图形，判断下列说法是否正确.①线段BC的长叫点B到直线AC的距离.()②线段AD的长叫点A到直线l的距离.()③线段AD叫点B到直线AD的距离.()④线段AB，AC，AD中，AD最短.()×√×√1．(2017北京)如图5-1-16所示，点P到直线l的距离是()A．线段PA的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度B2．如图5-1-17，AC⊥CD，∠BED=90°，回答下列问题：(1)∠ACD=

度；(2)直线AD与BE的位置关系是

；90互相垂直(3)点B到直线AD的距离是线段

的长度，点D到直线AB的距离是线段

的长度；(4)在线段DA、DB、DC中，最短的线段是

；在线段BA、BE、BD中，线段

最短，理由是

.BEDCDCBE垂线段最短3．用三角尺在图5-1-18中分别过点C画AB的垂线段．解：如图.例2如图5-1-19，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．(1)若∠1=∠2，求∠NOD的度数；解：(1)∵OM⊥AB，∴∠BOM=∠AOM=90°．∵∠AOM=∠1+∠AOC，∠1=∠2，∴∠AOM=∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°．∴∠NOD=∠COD-∠CON=90°.(2)若∠1=∠BOC，求∠MOD的度数．(2)由题意得∠BOC-∠1=90°，∴∠1=∠BOC=∠BOC-90°，∴∠BOC=120°，∴∠1=∠BOC=30°，∴∠MOD=∠COD-∠1=150°．4．如图5-1-20，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠AOE=36°，则∠BOD的度数为()A．36°B．44°C．50°D．54°D5．如图5-1-21，∠PQR=138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，则∠SQT=

.42°6．如图5-1-22，直线AB、CD相交于点O，∠AOC

与∠AOD的度数比为4∶5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．解：设∠AOC=4x，则∠AOD=5x.∵∠AOC+∠AOD=180°，∴4x+5x=180°，解得x=20°，∴∠AOC=4x=80°，∴∠BOD=80°.∵OE⊥AB，∴∠BOE=90°.∵OF平分∠DOB，∴∠BOF=∠BOD=40°，∴∠EOF=∠BOE-∠BOF=50°．C1．已知直线AB、CB、l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是()2．下列说法正确的是()A．有且只有一条直线垂直于已知直线B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离C．互相垂直的两条线段一定相交D．直线外一点A与直线上各点连结而成的所有线段中最短线段的长是3cm，则点A到该直线的距离大于3cmB3．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是()A．60°B．120°C．60°或90°D．60°或120°D4．如图5-1-23，计划把河中的水引到水池C中，可以先过点C作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，可使所开的渠最短，你认为这种设计方案的根据是

.垂线段最短5．如图5-1-24，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．(1)点C到AB的垂线段是线段AB；(2)点A到BC的距离是线段AD；(3)线段AB的长度是点B到AC的距离；(4)∠BAD=∠C．上面的结论中，正确的有

(填序号)．(3)(4)6．如图5-1-25，三条直线AB、CD、EF相交于点O，若∠1∶∠2∶∠3=1∶2∶3，则∠2的度数为

，直线AB与CD的位置关系是

.60°垂直7．如图5-1-26，点O是直线AB上一点，∠AOC= 40°，OD平分∠AOC，∠COE=70°．(1)请你说明DO⊥OE；解：(1)∵OD平分∠AOC，∴∠DOC=∠AOC=20°．∵∠COE=70°，∴∠DOE=90°，即DO⊥OE．(2)OE平分∠BOC吗？为什么？(2)OE平分∠BOC．理由如下：∵∠AOC+∠COE+∠BOE=180°，∠AOC=40°，∠COE=70°，∴∠BOE=70°，即∠BOE=∠COE，∴OE平分∠BOC．8．如图5-1-27，在这个图形中完成下列作图：(1)作出点A到BC的垂线段AD，并量出点A到直线BC的距离；解：(1)如图，线段AD是点A到直线BC的垂线段，而点A到直线BC的距离是指垂线段AD的长度，约为0.9cm．(2)过点B作AC的垂线，垂足为E；过点C作AB的垂线，垂足为F；(2)画一条线段或射线的垂线，就是画这条线段或射线所在直线的垂线，因此垂足可能在线段或线段的延长线上．在本题中作垂线时，分别将BA、CA画长一些，即延长线段BA、CA，如图．(3)延长段线DA、CF、BE，你会发现什么有趣的结论？(3)延长DA、CF、BE后，可以发现它们交于同一点G．9．如图5-1-28，直线AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，则∠AOG的度数为()A．56°B．59°C．60°D．62°B10．如图5-1-29，三条直线a、b、c两两相交，且b⊥c，若∠1=∠3，则∠2=

．120°11．(1)如图5-1-30，直线AB、CD、EF相交于点O，CD⊥AB，∠AOE∶∠AOD=3∶5.求∠BOF、∠DOF的度数；解：∵CD⊥AB，∴∠AOD=90°.又∵∠AOE∶∠AOD=3∶5，∴∠AOE=54°，∴∠BOF=∠AOE=54°，∠DOF=∠BOD-∠BOF=36°.(2)如图5-1-31，直线AB、CD、EF相交于点O，EF⊥AB，OG为∠COF的平分线，若∠BOC∶ ∠COG=5∶1．求∠DOF的大小．解：∵AB⊥EF，∴∠BOF=90°.∵∠BOC∶∠COG=5∶1，OG为∠COF的平分线，∴∠COG∶∠COF=1∶2，∴∠COG∶∠BOF=1∶3，∴∠COG=∠BOF=30°，∴∠COF=60°，∴∠DOF=180°-∠COF=120°.12．如图5-1-32①②所示，将两个相同三角尺的两个直角顶点O重合在一起，像图5-1-32①②那样放置．(1)若∠BOC=60°，如图①，猜想∠AOD的度数；解：(1)∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=30°．又∵∠COD=90°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=120°．(2)若∠BOC=70°，如图②，猜想∠AOD的度数；(2)∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360°，∠AOB=90°，∠COD=90°，∠BOC=70°，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠COD-∠B