二次方程根的分布情况归纳

8.2初高衔接 二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布情况二次方程阮+r= 的根从几何意义上来说就是1次函数/1=讥＜何+C与轴交点的横坐标，所以研究康：+M+1=D的实根的情况，可从函数/工km：+h+L的图象上进行研究.若在卜、枇）内研究方程政一依+匚:0的实根情况，只需考叠二5+c与，轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由工,+工「凝■/的值与符号，从而判断出实根的情况.若在区间（帆川内研究二次方程0:+依+£=0,则需由二次函数图象与区间关系来确定.【一元二次方程根的分布的类型:】1、零分布（1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负2、k分布（1）有两个大于k的根 （2）有两个小于k的根 （3）一个大于k,一个小于k,（4）有一个根在区间（勺,勺）内 （5）区间（勺尾）有两个根【引例】对于关于X的方程x?+（2m_l）x+4-2m=0求满足下列条件的m的取值范围：（1）有两个负根 C2）两个根都小「-1（3）一个根大于2,一个根小于2 （4）两个根都在［0,2）内（5）一个根在（―“0）内，另一个根在（1,W）内（6）一个根小于2, •个根大于4⑺在一（0,2）内有根（8） 一个正根.一个负根且正根绝对值较大

8.2初高衔接设方程的不等两根为\,X2且\<X2，相应的二次函数为fG)=ax2+bx+c=0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x<0,X<0)两个正根即两根都大于0(X>0,X>0)一正根一负根即一个根小于0，一个大于0(X1<0<X2)a；0、\\\^^\\JyJ/V得出的结论'A>0b\——<02af(0)>0'A>0b>02af(0)>0f(0)<0a；0AJ/\3J7\x/得出的结论'A>0b\ <02af(0)<0'A>0b\ >02af(0)<0f(0)>0综合结维不讨论〃1\[A>0—b<02aa.f(0)>0\[A>0—b>02aa.f(0)>0a.f(0)<0

8.2初高衔接表二：（两根与女的大小比较）分布情况两根都小于k即x<k,x<k两根都大于k即x>k,x>k一个根小于k，一个大于k即x<k<xa:0yii/7八yii3\JkJkkvy，3\JX得出的结论'A>0b,< <k2af(k)>0'A>0<-b>k2af(k)>0f(k)<0a；0y>'nlk、:广y"V)1 区1 \得出的结论'A>0b,<-——<k2af(k)<0'A>0<-b>k2af(k)<0f(k)>0合论不论a）1A>0b——<k2aa.f(k)>01A>0-2>k2aa.f(k)>0a.f(k)<0

8.2初高衔接表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m,n)内，另一根在(p,q)内，m<n<p<qa:0y\/.AAyj1m n£得出的结论<'A>0f(m)>0f(n)>0bm<———<n2af(m).f(n)<0f(m)>0f(n)<0f(p)<0或f(q)>0f(m)f(n)<0、f(p)f(q)<0al0yh•A.Iny”3。mpinx, 工mhihp笈、qF得出的结论<'A>0f(m)<0f(n)<0,b,m< <n2af(m).f(n)<0j(m)<0f(n)>0f(p)>0或，f(q)<0f(m)f(n)<0、f(p)f(q)<0合论不论a)f(m).f(n)<0ff(m)f(n)<0[f(p)f(q)<0

8.2初高衔接根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间Q,n加即在区间两侧\<m,x2>n，（图形分别如下）需满足的条件是yA y八f(m)<0 ff(m)>0(1)a>0时，\ ； ； (2)a<0时，\/、ff(n)<0 ff(n)>08.28.2初高衔接元二次方程根的分布题型例1、已知二次方程（2m+1）x2-2mx+（m—1）=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由（2加+1”（0）＜0即（2/"+》”—）＜。从而得-；＜川＜1即为所求的范围例2、已知方程2x2-（m+1）x+m=0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。解：由［ A＞00＜m＜3—2式或加＞3+2在即为所求的范围:例3、已知二次函数y=（m+2）x2-（2m+4）x+（3m+3）与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。解E由（用+2＞/（1）＜0即（m+2＞（2m+l）＜o —2＜加＜：即为所求的范围常见题型例|、当关于上的方程的根满足下列条件时：求实数门的取值范围：（1）方程群十二一7二0的两个根•一个大于3另一个小12；（2）方程7d—S+13M+/—〃—2—0的一个根在区间（0』）I，另一根在区间（1.2）上；＜3）方程克2+〃工+2「0的两根都小卜0：变题$方程N+门发+2—0的两根都小「-1.（4）方程犬―3+4＞—2/+5。+3=0的