多面体的欧拉公式 球

多体欧公：一．重点、难点提示．多面体的概念若个平面边形围成的几何体叫做多面体．把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．一个多面体至少有四个面正多面体每个面都是有相同边的正多边形以个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面叫做正多面体．正多面体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面、正八面体和正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等正方形而正十二面体的各面是全等的正五边形．欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，数为F，棱数为，那么V+F-E=2．二．考点指要理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算球一．重点、难点提示．球面的概念半以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心．结球心和球面上任意一点的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径．球面也可以看作与定(心)的距离等于定(半径的所有点的集合如果一个球的球心为O我可以把这个球记作球O．．球的概念

球面所围成的几何体叫做球体，简称球．．球的截面及其性质

用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：(1)球心与截面圆心的连线垂直于面；(2)球心到截面的距离球的半径及及截面的半径r下面的关系：。．球面上的大圆和小圆球被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的叫做小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。球面上两点距离的概念：在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做点的球面距离。/

球的表面积和体积：若球的半径为R则它的表面积

；它的体积。二．考点指要理解球的有关概念和性质，掌握球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算．例．分子有70个顶点，以每个顶点为一端有三条棱，各面是五边形或六边．求分子中五边形70和六边形的个数．思路分析：若有x五边形和y个边形，则简单多面体的面数＝x+y．而这个简单多体的棱数量E＝。而，根据欧拉公式可以求出x和y的．解：设分中五边形有个六边形有y个70则＝x+y依题意可知棱数

E＝

=。∵V=70，∴有70+(x+y)＝

即x+y＝37.∵，有由，得x=12,

且答：在分中有个五边形、个边形。70例．若一个简单多面体的每一个面都是凸边形，每一个顶点上都有条棱。求证：思路分析：

。设这个简单多面体的面数为F棱数为E，顶点数为V则有便可以找到与关系。

，且。于是根据欧拉式，证明多体的面数为，∵每面有边∵每个点上有m棱设多面体的顶点数为V则/

即是这个多面体的棱数。即是多面体的棱数即则，

222∵，∴，∴，222∵

∴

例3晶硼的基本结构单元是由20个边三角形组成的正二十面体中每一个顶点是一个B原问这个基本单元是由多少个B原所组成的？其中含有键多少个？思路分析；由于每一个面有三条边，且共有20个，所以可求得这个正二十面体的棱数（即B-B键个数）。因为在数，所以由欧拉公式V+F-E=2。可求得顶点，即B子的个数为。解：∵F=20，∵每个面是正三边形，∴棱数，设顶点数为V，∴V=E-F+2=12即这个正二十面体共有12个点条棱。答：晶体硼的基本结构单元由12个B原组成，共含30B-B键例．在半径等于的内有一个截面，它的面积是49πcm，球心到这个截面的距．思路分析：由截面的面积求出截面半径r，根据截面的性质求出球心到截面的距离。解：设截面半径为r∵πr

∴设球心到截面的距离为答：球心到截面的距离是24cm。例．三个的半径之比，证：最大球的体积等于其他两个球体积和的三倍．思路分:由三个球的半径之比等于，设三个球半分别为r、2r和3r，则三个球的体都可以表示有关的代数式，然后再研究它们体积的数量关.解：∵三个球半径之比为1:2:3，于是可设三个球的半径分别3r则最大球的体积，他两个球的体积之和为。所以最大球的体积等于其他两个球的体积之和的三倍。例．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为cm，求球的体积。思路分析：/

根据球与圆锥内切的关系，找出球半径与圆锥的底面半径以及母线之间的关系，以便于求出球的径。解：如图，作出轴截面，∵是三角形，∴∵

，∴AC=2cm,∵RtΔAOE∽ΔACD,

∴

设，则，∴，∴，∴。答：球体积等于。例一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h的然后将一个铁球放入个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。思路分析：解决问题的关键是找到圆锥的体积等于球体积