圆锥曲线的统一定义

平行线抛物线圆双曲线

椭圆2.2.4圆锥曲线的统一定义

仔细观察，你会发现有许多事物都是由曲线构成，它们不仅给我们的生活带来方便，还能提供视觉美感.许多精美的图片和建筑设计都大量应用曲线导入新课

在数学当中，我们也有专门定义的一类曲线——圆锥曲线，它在我们的生活中也有广泛的应用.

常见的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线，抛物线等等.

早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.

例如用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆等.阿波罗尼(约前262～约前190

)知识回顾

我们已经学习过三种圆锥曲线，分别是椭圆、抛物线和双曲线.椭圆抛物线双曲线教学内容椭圆：到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.

即：{P|

|PF1|+|PF2|=2a，

(2a>|F1F2|)}.

椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：焦点在Y轴时，标准方程为：焦点在X轴时，标准方程为：x2a2y2b2+=1(a>b>0)x2b2+=1(a>b>0)y2a2抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线.右开口抛物线:y2=2px左开口抛物线:y2=-2px

上开口抛物线:x2=2py

下开口抛物线:x2=-2py标准方程：p为焦准距(p>0)双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即{P|||PF1|-|PF2||=2a，

(2a<|F1F2|)}.

-=1(a>0，b>0)

x2a2y2b2而反比例函数的标准型是

xy=c

(c≠0)

但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的圆锥曲线定理：

除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹.

其中，点F叫做圆锥曲线的焦点，直线l叫做圆锥曲线的准线.

证明：假定曲线c是平面截一圆锥面所得的截线，如图，作一圆锥面的内切球，并且与平面σ相切于点F.设切点圆所在平面

为δ，并且σ与平面δ相交于直线l.SADMHlFδσβαc

在曲线c上任取一点M，过M引锥线的母线，并与平面σ相交于点A，再由点M做l的垂线MH，H为垂足.

作MD垂直于平面δ于点D，在RT△MDH和RT△MDA中，设∠HND=β，和∠HND=α，则MD=MAcosα，

MD=MHcosβ，

即MAMH=cosαcosβSADMHlFδσβαc

又因为MF和MA是同一球的两条切线段，所以MA=MF.因此MFMH=cosαcosβ

因为α，β分别是平面δ于圆锥面的轴线及平面σ所成的角，它们都是定值，与点M的选取无关，所以比值

与点M在曲线c上的选取无关，定理得证.MFMHcosαcosβ令

e=，e叫做圆锥曲线的离心率.

当β>α

时，cosβ<cosα

，0<e<1，截出的圆锥曲线为椭圆.

当α=β时，

cosβ=cosα

，

e=1，截出的圆锥曲线为抛物线.

当β<α时，

cosβ>cosα

，

e>1，截出的圆锥曲线为双曲线.

通过我们上节对椭圆和双曲线性质的讨论可知：例题解析例

求证：通过椭圆的两个焦点的直线垂直于椭圆的一条准线.证明：如图，已知圆锥面S.平面

截S所得截线为一椭圆.圆锥面的两个内切球

和

分别与平面

相切于点

.球

的切点圆所在的平面记为平面

，平面

和平面

相交于直线l，则l为椭圆的准线.分别作球的半径

，则即通过椭圆两个焦点的直线垂直于椭圆的准线.XYOA′BAB′F2MM′变式：设椭圆的右焦点为F2，AB为椭圆中过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和右准线l的位置关系.分析：只要判断圆心到直线的距离与半径的大小关系即可.解：设AB的中点为M，A′，M′，B′分别为

A，M，B在直线l上的射影.由第二定义得

|

AF2||

AA′|=e

(e为离心率)

即圆心到准线的距离大于半径，∴准线与圆相离.则|AB|=|AF2|+|BF2|=e(

|AA′|+|BB′|

)

=e•2|MM′|，|

BF2||

BB′|=e

，|

AB|2=e

|

MM′|，又∵0<e<1，∴<|

MM′|

|

AB|21.圆锥曲线的统一定义：

除了圆之外，每一条圆锥曲线都是平面上到某个定点F和到某条定直线l的距离的比值等于常数的点的轨迹.课堂小结1.

(09全国卷)

已知直线

y=k(x+2)

(k>0)

与抛物线y2=8x

相交于

A、B两点，

F为

C的焦点，若

|FA|=2|FB|，则k=(

)A.

31B.D.C.3232322答案：

D高考链接解析：设抛物线

C:y2=8x的准线为l:x=-2，直线

y=k(x+2)

(k>0)恒过定点P(-2，0)

.如图过A，B

分

别作AM⊥l

于M

，

BN

⊥l于N，

由|FA|=2|FB|

，则|AM|=2|BN|

，点B为AP的中点.连结OB

，则

|OB|=|AF|

，∴|OB|=|BF|，点B

的横坐标为1，

211–(-2)22-0322故B点的坐标为(1，22)

，∴k==

所以选D.2.(09四川卷)已知直线

l1:4x–3y+6=0和直线

l2:x=-1，抛物线y2=4x

上一动点P

到直线l1

和直线l2

的距离之和的最小值是(

)A.2B.3C.

D.

5111637答案：Admin==2，故选择A.解析：直线

l2:x=-1为抛物线

y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到

l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)

的距离，故本题化为在抛物线

y2=4x上找一个点P

使得

到点

F(1，0)和直线

l2的距离之和最小，最小值为

F(1，0)到直线

l1:4x–3y+6=0的距离，即

5|4–0+6|考点定位：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题.3．(09广东)如图，点

A，B，C

是圆O上的点，

且

AB=4，

ABC=45°，则圆

O的面积等于________.OABC解析:解法一：连结OA

、OB

，则∠AOB=90°，∵AB=4，OA=OB

，∴OA=22，则

S圆=π×(22)2=8；解法二：2R==42，推出R=22，sin45°4S圆=π×(22)2=81．若过原点的直线与圆x2

+y2

+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

(

)A．y=3x

B．y=-3x

3

3C．y=x

D.

y=-

x3

32．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P

(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为(

)A．x2=8y

B．x2=-8y

C．x2=16y

D．x2=-16y课堂练习3.椭圆

的焦点为F1和F2，点P