2023年湖南省益阳市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年湖南省益阳市成考专升本高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.曲线y=ex与其过原点的切线及y轴所围面积为

A.

B.

C.

D.

2.

A.2x2+x+C

B.x2+x+C

C.2x2+C

D.x2+C

3.设f'(x)=1+x，则f(x)等于()．A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

4.函数z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.极大值f(4，1)=63B.极大值f(0，0)=20C.极大值f(-4，1)=-1D.极小值f(-4，1)=-1

5.

6.

A.0

B.

C.1

D.

7.设y=x2-e2，则y=

A.2x-2e

B.2x-e2

C.2x-e

D.2x

8.设f(x)为连续函数，则()'等于()．A.A.f(t)B.f(t)-f(a)C.f(x)D.f(x)-f(a)9.A.－cosxB.－ycosxC.cosxD.ycosx10.

A.

B.

C.

D.

11.点(-1，-2，-5)关于yOz平面的对称点是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)

12.函数在（-3，3）内展开成x的幂级数是（）。

A.

B.

C.

D.

13.

14.过点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程为()．

A.x+y+z=1

B.2x+y+z=1

C.x+2y+z=1

D.x+y+2z=1

15.A.A.sin(x－1)＋C

B.－sin(x－1)＋C

C.sinx＋C&nbsbr;

D.－sinx＋C

16.

17.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

18.设函数在x=0处连续，则等于()。A.2B.1/2C.1D.-2

19.设f(x)在Xo处不连续，则

A.f(x0)必存在

B.f(x0)必不存在

C.

D.

20.以下结论正确的是（）．

A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.微分方程y＝0的通解为．

22.微分方程y'=2的通解为__________。

23.24.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．25.

26.设sinx为f(x)的原函数，则f(x)=______．

27.设，且k为常数，则k=______．28.设y1(x)、y2(x)是二阶常系数线性微分方程y″+py′+qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为______．

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.微分方程y'+9y=0的通解为______．38.39.y=ln(1+x2)的单调增加区间为______．

40.

三、计算题(20题)41.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

42.

43.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则44.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．45.证明：46.求曲线在点(1，3)处的切线方程．47.

48.49.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．50.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．51.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．52.求微分方程的通解．53.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．54.55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

58.

59.

60.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．四、解答题(10题)61.将f(x)=e-2x展开为x的幂级数，并指出其收敛区间。

62.

63.

64.计算65.(本题满分10分)

66.67.68.

69.设z=x2+y/x，求dz。

70.(本题满分8分)计算五、高等数学(0题)71.极限

=__________.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A

2.B

3.C本题考查的知识点为不定积分的性质．

可知应选C．

4.D

5.A

6.A

7.D

8.C本题考查的知识点为可变上限积分的求导性质．

这是一个基本性质：若f(x)为连续函数，则必定可导，且

本题常见的错误是选D，这是由于考生将积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式混在了一起而引起的错误．

9.C本题考查的知识点为二阶偏导数。由于z＝ysinx，因此可知应选C。

10.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

11.D关于yOz平面对称的两点的横坐标互为相反数，故选D。

12.B

13.C

14.A设所求平面方程为．由于点(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，将它们的坐标分别代入所设平面方程，可得方程组

故选A．

15.A本题考查的知识点为不定积分运算．

可知应选A．

16.C

17.D所给方程为可分离变量方程．

18.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。由于f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。

19.B

20.C21.y＝C．

本题考查的知识点为微分方程通解的概念．

微分方程为y＝0．

dy＝0．y＝C．

22.y=2x+C

23.24.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．25.12dx+4dy．

本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

26.cosxcosx解析：本题考查的知识点为原函数的概念．

由于sinx为f(x)的原函数，因此f(x)=(sinx)'=cosx．

27.本题考查的知识点为广义积分的计算．

28.由二阶线性常系数微分方程解的结构可知所给方程的通解为

其中C1，C2为任意常数．

29.

30.极大值为8极大值为831.0．

本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题．

通常求解的思路为：

32.

33.2/3

34.11解析：35.

本题考查的知识点为不定积分计算．

36.2m37.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．38.e-1/239.(0，+∞)本题考查的知识点为利用导数符号判定函数的单调性．

由于y=ln(1+x2)，其定义域为(-∞，+∞)．

又由于，令y'=0得唯一驻点x=0．

当x＞0时，总有y'＞0，从而y单调增加．

可知y=ln(1+x2)的单调增加区间为(0，+∞)．

40.

41.

42.43.由等价无穷小量的定义可知

44.

45.

46.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

47.由一阶线性微分方程通解公式有

48.49.由二重积分物理意义知

50.51.函数的定义域为

注意

52.

53.

列表：

说明

54.

55.

56.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

57.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴