2023年湖北省随州市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2023年湖北省随州市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.半圆板的半径为r，重为w，如图所示。已知板的重心C离圆心的距离为在A、B、D三点用三根铅垂绳悬挂于天花板上，使板处于水平位置，则三根绳子的拉力为()。

A.F1=0.38w

B.F2=0.23w

C.F3=0.59w

D.以上计算均正确

2.A.A.

B.

C.

D.

3.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

4.

5.

6.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

7.A.A.π/4

B.π/2

C.π

D.2π

8.A.A.2B.1C.1/2D.0

9.A.A.1B.2C.1/2D.-1

10.

11.（）。A.

B.

C.

D.

12.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

13.设二元函数z=xy，则点P0(0，0)A.为z的驻点，但不为极值点B.为z的驻点，且为极大值点C.为z的驻点，且为极小值点D.不为z的驻点，也不为极值点

14.

15.

16.已知斜齿轮上A点受到另一齿轮对它作用的捏合力Fn，Fn沿齿廓在接触处的公法线方向，且垂直于过A点的齿面的切面，如图所示，α为压力角，β为斜齿轮的螺旋角。下列关于一些力的计算有误的是()。

A.圆周力FT=Fncosαcosβ

B.径向力Fa=Fncosαcosβ

C.轴向力Fr=Fncosα

D.轴向力Fr=Fnsinα

17.

18.A.3B.2C.1D.1/2

19.

20.设y=f(x)为可导函数，则当△x→0时，△y-dy为△x的A.A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.低阶无穷小

二、填空题(20题)21.微分方程y'+4y=0的通解为_________。

22.

23.

24.设f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1，2]的最大值为2，最小值为-29，又知a＞0,则a，b的取值为______.

25.

26.

27.

28.已知平面π：2x+y一3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为________．

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.微分方程y"=y的通解为______．

三、计算题(20题)41.

42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

43.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

45.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

46.

47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

48.

49.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

50.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

51.

52.求微分方程的通解．

53.证明：

54.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

55.

56.

57.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

58.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

59.

60.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.证明：ex＞1+x(x＞0)

65.

66.

67.

68.求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及Y轴围成的平面图形的面积·

69.将展开为x的幂级数．

70.

五、高等数学(0题)71.设f(x)在x=0处有二阶连续导数

则x=0是f(x)的()。

A.间断点B.极大值点C.极小值点D.拐点

六、解答题(0题)72.在曲线y=x2(x≥0)上某点A(a，a2)处作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的图形的面积为1/12．试求：(1)切点A的坐标((a，a2)．(2)过切点A的切线方程．

参考答案

1.A

2.D

3.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

4.D

5.C

6.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

7.B

8.D

9.C

10.B解析：

11.C由不定积分基本公式可知

12.D本题考查的知识点为原函数的概念、复合函数求导．

13.A

14.C

15.A解析：

16.C

17.A解析：

18.B，可知应选B。

19.C解析：

20.A由微分的定义可知△y=dy+o(△x)，因此当△x→0时△y-dy=o(△x)为△x的高阶无穷小，因此选A。

21.y=Ce-4x

22.

解析：

23.

24.

f'(x)=3ax2-12ax，f'(x)=0,则x=0或x=4，而x=4不在[-1，2]中，故舍去.f''(x)=6ax-12a，f''(0)=-12a，因为a＞0，所以，f''(0)＜0，所以x=0是极值点.又因f(-1)=-a-6a+b=b-7a，f(0)=b，f(2)=8a-24a+b=b-16a，因为a＞0,故当x=0时，f(x)最大，即b=2；当x=2时，f(x)最小.所以b-16a=-29，即16a=2+29=31，故a=.

25.0

26.

27.4x3y

28.

本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线1垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取

29.＞1

30.2x＋3y．

本题考查的知识点为偏导数的运算．

31.

解析：

32.

33.y+3x2+x

34.

35.本题考查的知识点为重要极限公式。

36.

解析：

37.-3e-3x-3e-3x

解析：

38.

39.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

40.y'=C1e-x+C2ex

；本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

将方程变形，化为y"-y=0，

特征方程为r2-1=0；

特征根为r1=-1，r2=1．

因此方程的通解为y=C1e-x+C2ex．

41.由一阶线性微分方程通解公式有

42.

43.

44.

45.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

46.

47.

48.

49.由等价无穷小量的定义可知

50.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

51.

则

52.

53.

54.由二重积分物理意义知

55.

56.

57.

列表：

说明

58.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

59.

60.函数的定义域为

注意

61.

62.

63.本题考查的知识点为偏导数运算．

64.

65.

66.

67.

68.y=x2(x≥0)，y=1及y轴围成的平面图形D如图3—1所示．其面积为

69.

；本题考查的知识点为将初等函数展开为x的幂级数．

如果题目中没有限定展开方法，一律要利用间接展开法．这要求考生记住几个标准展开式：，ex，sinx，cosx，ln(1+x)对于x的幂级数展开式．

70.

71.C则x=0是f(x)的极小值点。

72.由于y=x2，则y'=2x，曲线y=x2上过点A(a，a2)的切线方