二次函数与几何图形综合题类型5探究角度数量关系的存在性问题试题

类5

探角数关的在问．(2015·在平面直角坐标系中，已知A，B是抛物线y＝(a>0)两个不同的点，其中在第二象限，在第一象限．(1)如图1所，当直线与x轴平，AOB90°，且AB＝时求此抛物线的解析式和A，B两点横坐标的乘积；(2)如图2所，(1)所求得的物线上，当直线AB轴不平行，AOB仍90°时，，两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，若线2x2分交直线AB，y轴点P，，线AB交y轴点D，∠BPC＝∠OCP，求点的标．解：设线AB与y轴于点E∵AB与x轴行，根据抛物线的对称性有AE＝BE＝1.1∵∠＝°∴＝AB＝1.2∴A(－，，B(1，．把x＝，＝代入y＝，得＝，∴抛物线的解析式为y＝，，两点的横坐标的乘积为x·＝－1.(2)x·＝－为常，过点A作AM轴于点MBN⊥轴点N，∴∠＝＝90°∴∠＋＝∠AOM＋∠BON90.∴∠＝∠BON.∴△AMO∽△ONB.∴

AMOM＝，即OM·ON＝AM·BN.ONBN设A(x，)，，)，∵A(x，)，，)在y＝

图象上，∴＝，＝x.∴－·x＝yy＝x·∴·＝－为数．(3)设A(m，)，，)，由2)知mn＝－设直线AB的析式为y＝＋，联立得x－－＝∵，是程的两个根，∴＝－b.∴b＝∵直线AB与y轴于点D，则OD＝1.易知C(0，－，＝，∴＝OD＝∵∠BPC＝∠OCP，∴PD＝CD＝设P(a，－2a－，点P作PG轴于点G，则PG－，＝OG－＝－2a－3.在Rt

△PDG中由勾股定理得：＋＝PD，12即－a)＋－－＝，理得5a＋＝，解得＝舍)或a＝－.51214当a＝－时－－＝，55

33121433∴P(－，)．55422．(2016·河)如图1，直线y－x＋nx轴于点，交y轴点C(0，4)．抛物线y＝x＋＋c过点A，33交y轴于点，－2)．点P为物线上一个动点，经过点x轴垂线PD，过点B作BD⊥PD于点，连接，设点P的坐标为m(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDP为等腰直角三角形时求线段PD的长；(3)如图2，将△绕B逆针旋转，得到eq\o\ac(△,BD)eq\o\ac(△,)′P，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当的对点′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐．4解：由线y＝－x＋n过点4)，得n＝4，34∴＝x＋4.34当y＝时，0＝－x＋，解得x，∴A(30)．32∵抛物线y＝x＋＋经过点，，B(0－．320＝×3∴

4＋＋，b＝－，∴

－＝

c＝－2.24∴抛物线的解析式为y＝x－x－2.33(2)∵点P的坐标为m，24∴P(m，m－m－2)，D(m，－．33若△BDP为等直角三角形，则PDBD.24①当点P在线BD上方，PD－m.33(若点P在轴左，则m<0，BD－24∴m－m＝－，331∴＝舍去，＝舍)．2(若点P在轴右，则m>0，BDm.2∴m3

47－m＝，∴m＝0(舍去)，＝.3224②当点P在线BD下方，，＝，＝－m＋m.332∴－3

41＋m＝m，∴m＝舍去)，＝32

71综上，＝或.2271即当△BDP为等腰直角三角形时PD的长22(3)P(－5，

45＋4－5＋4)，P(5，)，332511P，)．832【提示】∵∠PBP′＝∠OACOA3，＝，43∴AC＝，sin∠PBP′，′＝.55①当点P′落在x轴时，过点′作′N⊥x，垂足为，交BD于M，∠DBD′＝∠ND′P＝∠PBP′.图1344如图1，ND′－MD′2，即(－m)－－m)＝535344如图2，ND′＋MD′2，即(－m)＋m2.53545＋4－5＋4∴(－5，)，P5，)；33

图2

图3②当点P′落在y轴时，如图，点′作D′