高考数学一轮复习考点规范练13函数模型及其应用含解析新人教A版

PAGEPAGE8考点规范练13函数模型及其应用基础巩固1.某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()答案:D解析:由题意可得y=(1+10.4%)x,函数是底数大于1的指数函数,故选D.2.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100答案:C解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.3.已知某矩形广场的面积为4万平方米,则其周长至少为()A.800米 B.900米C.1000米 D.1200米答案:A解析:设这个广场的长为x米,则宽为40000x米.故其周长为l=2x+40000x4.一块锐角三角形空地如图所示,欲在其中建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]答案:C解析:设矩形的另一边长为ym,则由三角形相似知,x40=40-y40∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台 B.120台C.150台 D.180台答案:C解析:设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3000元 B.3300元C.3500元 D.4000元答案:B解析:由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤5058+x+70当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润,故选B.7.(2021全国Ⅱ,文6)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)(A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6答案:C解析:由题意L=5+lgV,当L=4.9时,有4.9=5+lgV,lgV=-0.1,V=1100.18.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是((参考数据:lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案:D解析:设MN=x=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈10939.一个人以6m/s的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25m时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=12t2m,则此人(A.可在7s内追上汽车B.可在9s内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14mD.不能追上汽车,但期间最近距离为7m答案:D解析:已知s=12t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值710.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0A.60 B.63 C.66 D.69答案:C解析:由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*11.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元 B.60万元C.120万元 D.140万元答案:C解析:甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.12.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是.

答案:16解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则0<x<100,x因为x∈N*,所以x的最大值为16.能力提升13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192h,在22℃的保鲜时间是48h,则该食品在33℃的保鲜时间是()A.16h B.20h C.24h D.28h答案:C解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点,所以192=由②得,48=e22k·eb,③把①代入③得e22k=48192即(e11k)2=14,所以e11k=1所以当储藏温度为33℃时,保鲜时间y=e33k+b=(e11k)3·eb=1814.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA(a为常数),广告效应为D=R-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)

答案:14a解析:令t=A(t≥0),则A=t2,∴D=aA-A=at-t2=-t-12∴当t=12a,即A=14a2时,D15.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:①若不超过200元,则不予优惠;②若超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若超过500元,则其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设他们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为.

答案:546.6元解析:依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为f(x)=x当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.故两次共购得价值为470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.16.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x/天41036市场价y/元905190(1)根据上表数据,为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,从下列函数中选取一个最佳的函数模型是.

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你选取的函数,求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格.(3)设你选取的函数为y=f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根,求m的取值范围.解:(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大,而模型①③均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模型②.(2)由表中数据可知16a+4∴函数模型为y=14x2-10x+126=14(x-20)2+∴当市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元.(3)∵f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+∴14x2-(10+k)x+6-2m=∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒