初中数学几何模型秘籍

模型一：拉手模型—等等边三形条：△，△OCD均为等边三角形结：△≌OBD②=60；OE平分AED（易忘）等腰RT条：△，△OCD均为等腰直角三角形结：≌OBD②=90；OE平分AED（易忘）导角核图形任意等三角形条：△，△OCD均为等腰三角形，且AOB∠结：≌OBD②=∠AOBOE平∠（忘）模总：心图形如右图，核心条件如下：=OBOCOD；②∠AOB∠第1页共页

22模二手手型相22条：CD∥，将△OCD旋至右图位置结：图△∽△∽△；且延长交BD于E必BEC=∠BOA非重的论必须熟证手拉手似（特殊情）当∠=°时，除OCD∽OAC∽△OBD之还隐藏足BD⊥AC若连接、BC，则必有

BDODOCD，满ACADBCAB

；ABCD

12

AC（角线互相垂直四边形）第2页共页

2模三对互型2（全等—90°）条：∠AOB∠DCE=°②平分∠AOB结：①=CE②OE2OC；

ODCE

OCD

1OC2

2辅线一作垂直，≌；条：∠AOB∠DCE=°②平分∠AOB结：①=CE②OE2OC；

ODCE

OCD

1OC2

2辅线二过点C作⊥，证≌△；当∠DCE一交延线上于点D时如图，以三结：=CE不；OC（点③

OCE

12

（点）当∠DCE一交延线上于点D时如图，以三结：=CE不；OC（点第3页共页

212③OCOCEOCD

2

（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握细变：将条件OC平∠”结论=”互换条：∠AOB∠DCE=°；②=；结：①OC平AOB；②；

ODCE

12

2（等—°）条：AOB2DCE=120OC平分∠结：①=CE②ODOEOC；

OCE

OC

2请模仿（全等型°辅助线之一完成证明第4页共页

OCDeq\o\ac(△,S)2辅助线之二：在上一点F，使=OCOCDeq\o\ac(△,S)2证明△OCF为边三角形（重要）A

D结论：①CD=；②OD；③+=

34

OC必须熟练，自己独立完成证明当∠DCE一交延线上于点D时如图CAE

FD以上三个结论助之二）①②（重点）③（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握（等—任角）第5页共页

2OCD2OCDA

E

B条件：①∠AOB，∠°②CE结论：①OC平分AOB②+OEOC·α③+=OC·α·cos难度较大，记得经常复习当∠DCE一交延线上于点D时如图A

BD以上三个结论助之二）①②（重点）③（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握请思考初始条件的变化，对模型的影响（角补型—似）第6页共页

2OCD222CEF2OCD222CEFOCD2D

DC

M

CO

B

ON

B如图，若将条件OC平∠”掉条件：∠AOB=90不变，∠COEα，结中三个条件又该如何变化？结论：①CECD·α②（·tan+OE=③·tan=

OC·αAC证明：过点C作CF⊥，于点F∵∠DCE=90∴∠DCO∠ECF∵∠+∠DCE°∴∠CDO∠=180∴∠CDO∠CEF∴△CDO∽CEFEFCECF∴==tanDOCDCO∴结论①得证∴EF=ODα∵（OEEFcosα=OC∴结论②得证

关键步）∴

SS

△CEF

=（

CFCO

）tan△CDO∴·tanα∵+=eq\o\ac(△,S)CEFOCF且=

OC·α∴结论③得证难度非常大，请仔细认真复习对互模总：①常见初始条件：四边形对角互补第7页共页

两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线②初始条件：角平分线与两边相等的区别③常见两种辅助线的作法④注意下图中“平分AOB”ADCB∠=∠CED∠=∠相是如何推导角半模（°）A

D

A

DB

E

C

E

C条件：①正方形ABCD；②∠=45结论：①DF②△CEF周为正方形ABCD周一半也可以这样：条件：①正方形ABCD；②EFDF结论：①∠EAF°口诀：角含半角要旋转A

D

B

C条件：①正方形ABCD；②∠=45第8页共页

222222结论：①DF辅助线：222222A

D

A

D

B

C

B

C

A

ABDE

BDE

条件：①等腰直角△ABC；DAE°结论：①BD+DE若∠旋到部时FA

AD

B

EC

D

BC结论：+=DE仍然成立用含半角模型（°）变形条件：①∠＝45°；结论：△AHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接AC方法不唯一）第9页共页

∵∠＝∠EAF45°，∴∠＝∠∵∠ADH＝∠ACE＝45，∴△∽△ACE∴

DAAH

∴△∽△倍长中线类模型条件：①矩形；②BD；③DF＝EF结论：AF⊥CF模型提取：①有平行线//②平行线间线段有中点DF＝EF可以构造字全等△ADF≌△HEF倍长中线类模型条件：①平行四边形②＝；③AM＝DM；④CE⊥AD结论：∠EMD＝3∠辅助线：有平行AB//，有中点AM＝DM，延长，构造△AME≌△DMF，连接构造等腰△EMC△通过构造字全等线段数量及位置关系，角的大小转化相似三角形度旋转模型（倍长中线法）第10页共页

条件：①△ADE、△均为等腰直角；②EF＝结论：①DF＝BF；②⊥BF辅助线：延长DF到点，使FG＝DF，连接CG、BG、BD证明△为等腰直角突破点：△ABD≌△难点：证明∠BAD＝∠相似三角形度旋转模型（补全法）条件：①△ADE、△均为等腰直角；②EF＝结论：①DF＝BF；②⊥BF辅助线：构造等腰直角△、△AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EH任意相似直角三角形度旋转模型（补全法）第11页共页

条件：①△OAB∽△ODC；②∠＝∠ODC＝90°；③BE＝CE结论：①＝DE；②∠＝2辅助线：延长到点G，使AGAB，延长到点使DH＝CD，补全△OGB、△OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG与，难点在转化∠任意相似直角三角形度旋转模型（倍长法）条件：①△OAB∽△ODC；②∠＝∠ODC＝90°；③BE＝CE结论：①＝DE；②∠＝2辅助线：延长至M，使＝DE将结论的两个条件转化为证明△AMD△，此为难点，将∽△继续转为△ABM△AOD，使用两边成比且夹角等，此处难点在证明∠ABM＝∠最短路程模型之一（将军饮马类）总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到之间，线段最短”解决特点：①动点在直线上；②起点，终点固定第12页共页

最短路程模型之二（点到直线类）条件：如右图①OC分∠AOB；②一定点；③为上动点；④为动点求：MP＋PQ最小时，P、的位置辅助线：将作Q于OC对称点转化PQ＇＝，过点M作MH⊥OAMP＋PA＝MP＋PQ＇≥（垂线段最短）最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、为定点，为动点1问题：点在何处，BP＋AP最短21结论：为顶点作∠PAC30，过作⊥转化PQ＝，过点B作AC的垂2线与的交点为所求（垂线段最短）最短路程模型之二（点到直线类）条件：如图，点A、为定点，为动点第13页共页

A04B20PnA04B20Pn0OACBBDYEtanEBOtanE01OA4OBAB2问题：点在何处，BP＋AP最短21结论：为顶点作∠PAC45，过作⊥转化PQ＝，过点B作AC的垂2线与的交点为所求

（

，）:为何值时

55

小()上取(,

=

55(2)过点⊥,交的求∠=∠=

12

,即(,).()线段=,=(>)(2)OB点O在平面内360值最小少第14页共页

OBOA-=OA4OBOOBPPAOBOA-=OA4OBOOBPPA2OBC30OCOA14P

O

心为半圆示,将问题转+=,最小值:

OA2()线段=,=()为心,为半径作(3)点是两(界的最,=,则=,则<≤()eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,),∠=0()=,()=;()点

点合;(eq\o\ac(△,))eq\o\ac(△,)第15页共页

OAOBCOOAODOQEPMBDQQCQDEPOAOBCOOAODOQEPMBDQQCQDEPDMDCB3PBEEMPCNMEMEMNMD

PA

+=

,PA

12

OBOA3图长:以点圆,固定饶点题时+线,当,,时+=+=()正方形的边;)为⊙动点题

PD

2

线,.想

,,因此+的最长度.的比值不的第16页共页

r

CA′′CA′′BCAAACABAA′CA′DEBCAeq\o\ac(△,:)eq\o\ac(△,)中,∠线,作点,连接,.线==(论是二倍角三角形常见的辅助线作法之一法型型类AD(注对应边对应AC用题查

似程型型

第17页共页

ACBACECDE