2022年四川各地(成都德阳南充等)中考数学真题按知识点分类汇编 专题05 二次函数及其综合应用（含详解）

专题05二次函数及其综合应用

1.（2022•成都）如图，二次函数>=如2+版+。的图像与x轴相交于A（T,0）,8两点，对称轴是直线x=l,

下列说法正确的是（）

B.当X>-1时，y的值随X值的增大而增大

C.点B的坐标为（4,0）D.4a+2/7+c>0

2.（2022•自贡）己知A（-3,-2）,8（1,-2）,抛物线产以2+公+以4>0）顶点在线段AB上运动，形状保持

不变，与x轴交于C,。两点（C在。的右侧），下列结论：

①-2；

②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,点C横坐标的最大值为3；

④当四边形A8CC为平行四边形时，折;.其中正确的是（）

A.①③B.②③C.①④D.①③④

3.（2022•泸州）抛物线y=-J.d+x+l经平移后，不可能得到的抛物线是（）

1°

C.y——/厂9+202lx-2022D.y=—x"4-x+1

4.（2022•广元）二次函数y=〃/+云+c（〃和）的部分图象如图所示，图象过点（-1,0）,对称轴为直线

x=2,下列结论：（1）abc<0；（2）4〃+c>2b；（3）3Z?-2c>0；（4）若点A（-2,y/）、点B（-十,”）、

点C（g,”）在该函数图象上，则y/V”Vy2；（5）4〃+2招根（。机+。）（机为常数）.其中正确的结论有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

5.（2022•南充）已知点”（石,乂）,"（忍,必）在抛物线），=如2-2/工+〃（〃?片0）上，当王+*2>4且芭<当时,

都有）1<%，则机的取值范围为（）

A.0</??<2B.-2<m<0C.m>2D.m<-2

6.（2022•达州）二次函数y=or2+法+。的部分图象如图所示，与）,轴交于（O,T）,对称轴为直线X=1.以

下结论：①而c>0；②*;③对于任意实数机，都有机（。机+力>。+人成立；④若（一2,乂），C⑵%）

在该函数图象上，则为<%<%;⑤方程辰之+法+c|=Z（k..0,%为常数）的所有根的和为4.其中正确

结论有（）

7.（2022•凉山）已知抛物线y=M+fex+c（〃W0）经过点（1,0）和点（0,—3）,且对称轴在y轴的左

侧，则下列结论错误的是（）

A.a>0

B.a+b=3

C.抛物线经过点（一1,0）

D.关于x的一元二次方程江+fcr+c=-l有两个不相等的实数根

8.（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度〃（米）与物体

运动的时间「（秒）之间满足函数关系〃=-5/+,川+〃，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，

物体从发射到落地的运动时间为3秒.设卬表示。秒到r秒时h的值的“极差”（即0秒到r秒时〃的最大值与

最小值的差），则当04f41时，卬的取值范围是；当24f43时，氏的取值范围是.

\9.（2022•遂宁）抛物线产以2+b尤+c（a",c为常数）的部分图象如图所示，设加=a・b+c,

O3£

则〃2的取值范围是.

七…—…小

喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调试发现，

喷头高2.5m时，水柱落点距。点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距。点3m.那么喷头高m

时，水柱落点距。点4m.

高度（m）

4

23（•成都）如图，在平面直角坐标系中,

X\\\11.2022xOy直线丫=履一3（%#0）与抛物

\\暇点（m）

O2.534

线y=-f相交于A,B两点（点A在点B的左侧），点8关于y轴的对称点为B'.

（1）当％=2时，求A,5两点的坐标;

备用图

(2)连接。4,OB,AB',BB',若VBN3的面积与的面积相等，求女的值；

(3)试探究直线是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

12.(2022•自贡)已知二次函数

八

4-

3-

2-

234x：(1)若。=一1,且函数图象经过

备用图

(0,3),(2,-5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点的坐标；

(2)在图①中画出(1)中函数的大致图象，并根据图象写出函数值丫23时自变量x的取值范围；

⑶若a+6+c=0且一元二次方程加+fev+c=O两根之差等于a-c,函数图象经过

Q(l+3c,为)两点，试比较的大小.

13.(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=&+x+c经过A(-2,0),以0,4)两点,

直线x=3与x轴交于点C.

(1)求”，。的值;

A]ac\x

\E

(2)经过点。的直线分别与线段A8,直线x=3交于点O,E,且△8/)0与的面积相等，求直线OE的

解析式；

(3)户是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x=3上是否分别存在点F,G,使8,尸，G,

P为顶点的四边形是以所为一边的矩形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

14.(2022•德阳)抛物线的解析式是》=-工2+4]+。.直线y=-x+2与x轴交于点M,与V轴交于点£,

点F与直线上的点G(5,-3)关于x轴对称.

(1)如图①，求射线ME的解析式;

趴x

(2)在(1)的条件下，当抛物线与折线或值有两个交点时，设两个交点的横坐标是X/,X2(占<%)，求斗+七

的值；

(3)如图②，当抛物线经过点C(0,5)时，分别与x轴交于A,B两点,且点A在点8的左侧.在x轴上方的抛

物线上有一动点尸，设射线AP与直线y=-x+2交于点N.求多PN的最大值.

15.(2022•广元)在平面直角坐标系中，直线y=-x-2与x轴交于点A,与y轴交于点8,抛物线y=

ax2+bx+c(«>0)经过A,8两点，并与x轴的正半轴交于点C.

*(1)求。，匕满足的关系式及C的值;

(2)当时:若点尸是抛物线对称轴上的一个动点，求△抬B周长的最小值；

(3)当a=l时，若点。是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点。作QO_LAB于点D,当QD的值最大时，

求此时点。的坐标及QD的最大值.

16.(2022•广元)为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书.已知购买2本科技类图书和3本文

学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元.

(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？

(2)为了支持“书香社区''建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动(文学类图书售价不变)：

购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本

时的单价销售.社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本.按此

优惠，社区至少要准备多少购书款？

17.(2022•遂宁)在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”.例

如(-U),(2022,-2022)都是“黎点”.

⑴求双曲线y=/上的“黎点”；

X

(2)若抛物线y=arJ7x+c(a、c,为常数)上有且只有一个“黎点”，当。>1时，求c,的取值范围.

18.(2022•遂宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线,=/+灰+。与x轴交于A、B两点，与y轴交于

点C,其中点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).

析式;

(2)如图1,E为AABC边AB上的一动点，尸为8c边上的一动点，。点坐标为(0,-2),求卯周长的最小

值：

(3)如图2,N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同

侧，若M到x轴的距离为4,AAMN面积为2",当AAMN为等腰三角形时，求点N的坐标.

19.(2022•乐山)如图1,已知二次函数y=ar2+&r+c(a>0)的图象与x轴交于点A(TO)、5(2,0),与

y轴交于点C,且tanNOAC=2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2,过点C作CD〃x轴交二次函数图象于点。,P是二次函数图象上异于点。的一个动点，连接P8、

PC,若SNBC=S&BCD>求点P的坐标;

(3)如图3,若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接。尸交8c于点Q.设点P的横坐标为

t,试用含，的代数式表示制的值，并求窈的最大值.

20.(2022•南充)抛物线y=法+c与x轴分别交于点A8(4,0),与)，轴交于点C(0,-4).

符合条件的点尸有且只有三个，求点

P的坐标.

(3)如图2,点M在第二象限的抛物线上，点N在M。延长线上，OM=2ON,连接BN并延长到点。，使

ND=NB.MD交x轴于点E,NDEB与NDBE均为锐角,tanZDEB=2tanZDBE,求点M的坐标.

21.(2022•眉山)在平面直角坐标系中，抛物线y=---4x+c与x轴交于点A,8(点A在点8的左侧),

与V轴交于点C,且点A的坐标为(-5,0).

(1)求点C的坐标；

(2)如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点户到直线4c距离的最大值；

⑶如图2,若点“是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点例使以A,C,M,N为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

22.(2022•达州)如图1,在平面直角坐标系中，已知二次函数？=加+陵+2的图象经过点4(-1,0),8(3,0),

与了轴交于点C.

(2)连接8C,在该二次函数图象上是否存在点P,使NPCB=NABC?若存在，请求出点尸的坐标：若不存

在，请说明理由;

(3)如图2,直线/为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点,

过点。作直线AQ,8Q分别交直线/于点历，N,在点。的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是,

请求出该定值；若不是，请说明理由.

23.(2022•凉山)在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=-N+8x+c经过点A(-1,0)和点8(0,

3),顶点为C,点。在其对称轴上，且位于点C下方，将线段OC绕点。按顺时针方向旋转90。，点C落

(1)求抛物线的解析式;

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O,这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M,使得MP+

ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

专题05二次函数及其综合应用

1.（2022•成都）如图，二次函数>=如2+版+。的图像与x轴相交于A（T,0）,8两点，对称轴是直线x=l,

下列说法正确的是（）

B.当X>-1时，y的值随X值的增大而增大

C.点B的坐标为（4,0）D.4a+2/7+c>0

【答案】D

【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即。<0,故该选项不符合题意；

B、根据图像开口向下，对称轴为x=l,当x>l,V随x的增大而减小：当x<l,）'随x的增大而增大，故

当T<X<I时，y随x的增大而增大；当x>i,y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；

C、根据二次函数？=以2+法+。的图像与x轴相交于A（-l,0）,B两点，对称轴是直线x=l,可得对称轴

x=解得/=3,即5（3,0）,故该选项不符合题意：

D、根据3（3,0）可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0,故该选项符合题意；

故选：D.

2.（2022•自贡）已知A（-3,-2）,8（1,-2）,抛物线产公^+灰+式心。）顶点在线段川?上运动，形状保持

不变，与x轴交于C,。两点（C在。的右侧），下列结论：

①ch2；

②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点。横坐标的最小值为-5,点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABC。为平行四边形时，a=g.其中正确的是（）

A.①③B.②③C.①④D.①③④【答案】D

【详解】解：•.•点A，8的坐标分别为（-3,-2）和（1,-2）,...线段A8与y轴的交点坐标为（0,-2）,

又•••抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与)，轴的交点坐标为(0,c),

.••6-2,(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确；

•.•抛物线的顶点在线段A8上运动，开口向匕...当x>l时，一定有y随x的增大而增大，故②错误;

若点D的横坐标最小值为-5,则此时对称轴为直线4-3,

根据:次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3,故③正确；

bc

令>=0,则OY2+/?A+C=0,设该方程的两根为X/,必则M+X2=--,X/X2=—，

aa

**.CD2^XI-X2)2=(X/+X2)2-4xiX2=(--)2-4x—=-——,

aaa

根据顶点坐标公式，处二2=-2,A4aC~b2=-8,即』-4ac=8,

4aaa

Q1

••,四边形AC£»B为平行四边形，，CD=AB=1-(-3)=4,=42=16,解得。=彳，故④正确；

a2

综上所述，正确的结论有①③④.

3.(2022•泸州)抛物线y=-g/+x+i经平移后，不可能得到的抛物线是(

)

121、

A.V=——X"+XB.y=­x—4

22

C.y=--x2+2021x-2022D.y=-x2+x+l

2

【答案】D

【详解】解：抛物线y=-gf+x+i经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以。不变，而D选项中a=-\,

不可能是经过平移得到，故选：D.4.(2022•广元)二次函数丁=以2+版+0(在0)的部分图象如图所示,

图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论：(1)曲c<0；(2)4a+c>2b；(3)3b-2c>0；(4)

7

若点A(-2,y/)、点B(-；,”)、点C(5,”)在该函数图象上，则(5)4a+2b>m(am+b)

(〃?为常数).其中正确的结论有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

x

【答案】C

【详解】解：由图象及题意得：对称轴为直线X=2,与x轴的•个交点为(-1,0),

/.b=-4a>0,a-b+c=0,

，a+4a+c=0,即c=—5a,

abc<0,3Z?-2c=3x(-4ci)-2x(-5«)=-2a>0,故(1)(3)正确；

由图象可知当x=・2时，则有4a-2Z?+c<(),即4a+cv2/?,故(2)错误；

•.•点A(-2,8)、点8(-”)、点C(g,”)在该函数图象上，

.••根据二次函数开口向下，离对称轴的距离越近，其所对应的函数值越大，

.,.%>%>%，故(4)错误；

由图象可知当x=2时，该函数有最大值，最大值为y=4a+2*+c,

...当广，〃时，(”?为常数)，则有y=m?+Zwi+c,

•*-Aa+2b+c>arrr+bm+c>即为4a+2bW，〃(a/n+b),故(5)正确；

综上所述：正确的有(1)(3)(5)共3个；

故选C.

5.(2022•南充)已知点”(西,％),阳程必)在抛物线丫=g2-2而々+〃(〃?=0)上，当当+々>4且芭<电时,

都有,<丫2,则〃，的取值范围为()

A.0</n<2B.—2<m<0C.m>2D.m<-2

【答案】A【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为1=-椀蚊=加，

2m

①当o<"，<X]<々时，必<丫2恒成立；

②当司<々<，〃<0时，,<必恒不成立；

③当0<%时，使％+々>4，y恒成立，二〃?〈台；乜，.,./«<2,0<m<2,

④当弓<〃?<々<0时，恒不成立；

综上可得：0</7?<2,

故选：A.

6.(2022•达州)二次函数八五+汝+，的部分图象如图所示,与y轴交于(0,-1),对称轴为直线x=l.以

下结论：①血>()；②*;③对于任意实数加，都有机力〉。+力成立；④若(-22)，(；,%)，(203)

在该函数图象上，则为<%<M;⑤方程［or?+版+c|=Z(&..0,A：为常数)的所有根的和为4.其中正确

结论有()

【答案】A

【详解】•.•二次函数y=ax2+fer+c的部分图象与y轴交于(0,-1),对称轴为直线x=l,抛物线开头向上,

：.a>0,c=-l,一~—=1,.\b=-2a<0,abc>0,故①正确：

2a

令y="-2aLi=0,解得*=也记三=1土近IL

2aa

由图得，解得〃>?，

a3

•.・抛物线的顶点坐标为(1,-a-D,由图得，—2<—a—1<—1,解得0<a<l,.手"I,故②错误；

■：b=-2a,.,.〃?(a/M+b)>a+。可化为”?(SM-2a)>a-2a,即皿，w-2)>-1,(m-1)2>0,若

〃?(。?1+/?)>4+。成立，则〃.1,故③错误；

当x<i时，y随x的增大而减小，

C1

：-2<5,%>力，

・•・对称轴为直线X=l,，x=2时与x=0时所对应的y值相等，

必<%<X，故④错误；I⑪2+bx+c\=k,

当G?+ZZX+C>0时，ax2+bx-vc-k=Q.'.%+%,=—=----=2,

aa

b2a

当ox2+6x+c<0时，ax2+bx+c+k=Oyx+x=—=-----=2,X]+x+x+x=4,故⑤正确；

3iaa234

综上，正确的个数为2,

故选：A.

7.（2022•凉山）已知抛物线yn^+bx+c（«*0）经过点（1,0）和点（0,—3）,且对称轴在y轴的左

侧，则下列结论错误的是（）

A.a>0

B.a+b—3

C.抛物线经过点（一1,0）

D.关于x的一元二次方程以+加+,=—1有两个不相等的实数根

【答案】C

【详解】解：A、根据抛物线丫=#+云+。（a*0）经过点（1,0）和点（0,—3）,且对称轴在y轴的左

侧可知。>0,该说法正确，故该选项不符合题意；

[a+6+c=0

B、由抛物线jud+bx+c（“w0）经过点（1,0）和点（0,—3）可知｛,解得“+6=3,该

[c=-3

说法正确，故该选项不符合题意；

C、由抛物线丫=加+加+。（〃声0）经过点（1,0）,对称轴在），轴的左侧，则抛物线不经过（一1,0）,该

说法错误，故该选项符合题意；

D、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1根的情况，可以转化为抛物线尸泼+版+°（好0）与直线y=-l

的交点情况，根据抛物线y=ax2+bx+c（a*0）经过点（1,0）和点（0,—3）,-3<-1<0,结合抛物线

开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线卜=浸+云+。（区0）与直线y=-l的有两个不同的交点，该

说法正确，故该选项不符合题意；故选：C.

8.（2022•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度〃（米）与物体

运动的时间f（秒）之间满足函数关系6=-5/+加+”，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，

物体从发射到落地的运动时间为3秒.设w表示0秒到r秒时〃的值的“极差”（即0秒到r秒时力的最大值与

最小值的差），则当OVfVl时，卬的取值范围是；当2VK3时，卬的取值范围是.

h'

20

【答案】O4w455<w<20

【详解】根据题意，得-45+3，〃+〃=0,4X（：5）X;「"=2（）,

/.w2+20«-400=0,/.m2-60m+500=0.解得，”=50,z»=10,

当m=50时,n=-105；当/n=10时,n=15；

•.•抛物线与y轴交于正半轴，，">0，，〃=-5产+10/+15,

;对称轴为止-丁;《、=1,a=-5<0,；.0W1时，〃随r的增大而增大，

2x（-5）

当f=l时，/?最大，且心„=20（米）；当U0时，/?最最小，且%n=15（米）；

♦iv=储-KM=2075=5,，卬的取值范围是04卬45,故答案为：04w45.

当2WfW3时，•.•对称轴为片-二«=-5<0,...lV2VtV3时，〃随7的增大而减小,

2x(-5)

当片2时，/?=15米，且％侬=20（米）；当仁3时，〃最最小，且%,=。（米）；

.'.mL-Amin=20-15=5,行人皿-人注=20-0=20,；.卬的取值范围是54W420,故答案为：54w420.

9.（2022•遂宁）抛物线）>=加2+次+。（〃，h,c为常数）的部分图象如图所示，设,〃=a-b+c,则，"的取值范

围是•

【答案】-4</n<0【详解】解：；抛物线开口向上，二。>0,•••抛物线对称轴在y

轴左侧，3<0,，b>0,

:抛物线经过(0,-2),：.c=-2,

;抛物线经过(1,0),.,.a+b+c=0,.,•4+8=2,b=2-a,.\y=ax2+(2-a)x-2,

当x=・l时,y=〃+4・2・2=2〃・4,

*/b=2-a>0,/.0<a<2,，-4V2〃-4<0,

故答案为：-4VmV0.

10.（2022•南充）如图，水池中心点。处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，

抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点。在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水

柱落点距。点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距。点3m.那么喷头高m时，水柱落点距

【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，

当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5,

将（2.5,0）代入解析式得出2.5a+h+l=0①，

喷头高4m时，可设y=ax2+bx+^,

将（3,0）代入解析式得9“+36+4=0②，

联立可求出〃=2b==2,

33

设喷头高为人时，水柱落点距。点4m,

,此时的解析式为"-；4+[x+/i,

22

将（4,0）代入可得—；x4l+；x4+〃=0,解得〃=8.故答案为：8.

33

11.（2022•成都）如图，在平面直角坐标系X。），中，直线^=依-3（%m0）与抛物线y=-V相交于人，B两

点（点A在点8的左侧），点8关于＞轴的对称点为

(1)当人=2时，求A,8两点的坐标;

备用图

⑵连接OA，OB,AB',BB'，若VB'AB的面积与AOAB的面积相等，求人的值；

(3)试探究直线A/T是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

【答案】⑴点A的坐标为(—3,-9),点B的坐标为(1,-1)；(2)日或-乎；(3)是，(0,3)

【解析】(1)根据题意，得整理得至ij/+2x-3=0,解方程，得玉=-3,刍=1,

y=-x

当JC=・3时，y=-9；当户1时，y=-1；

•・•点A在点B的左侧，，点A的坐标为(・3,・9),点5的坐标为(1,-1).

*222

⑵・・兄6是抛物线y=-f图像上的点,设人(加，-m),B(nf-n),则S'(-〃,-n),

当%>0时，

彳

2-

y=Ax-3

根据题意，得2，整理得到/+日—3=o，・・・〃7,n

是收-3=0的两个根，

.•・/%+〃=一左，irui——3,

13

设直线产区-3与y轴的交点为。，则点。(0,-3)；・=］。£>・5-一加)，

S△必8=-一%)=万x2〃x(-/?2+m2),

3171

—x(n—AH)=—x2Hx(—H2+m2)=—x2nx(m+ri)(tn—ri),3=—x(m+ri)-2nk，/.2nk=—mn，

222

Vn/O,：.m=-2k,n=k,：.-2kxk=-3,解得上巫或4-"(舍去)，故仁亚

222

当&vo时,

y=kx-3

根据题意，得2,整理得至履一3=0,

y=-x~

.•・"?，〃是/+乙_3=0的两个根，m+n=-k,mn=-3,

设直线卢质・3与y轴的交点为Q,则点D(0,-3)

]311

SAOAB=-OD.(n-m)=^x(n-m),S^,AI>=-BB'.(%-%，)=5x2〃x(〃？-加)，

31]

—x(n-tn)=—x2nx(；?2-/n2)=—x27zx(/H+n)(n-ni),

3=2〃x("2+n)--2nk,-Ink=-mn,

:.m=2k,n=-3k,2kx(-3k)=-3,解得七或〃=2^(舍去)，故k=-立~；

222

综上所述，”的值为血或一巫.

22

(3)直线45'一定过定点(0,3).理由如下：

VA,8是抛物线y=-V图像上的点，.•.设A（加，_疗），8（〃，_/）,则&一川）,

[y=kx-3-

根据题意，得＜o，整理得到^+依―3=0,・,・"7,〃是/+履—3=0的两个根，・・・加+"=一七〃以=3

■2

设直线A9的解析式为产px+q,根据题意，得[一利=呻+",解得p=n-m

-n"=-np+qq=-mn

...直线AB'的解析式为广（n-m）x-mn,

ntn--3,-mn-3,.,.直线A8'的解析式为y=（n-m）x+3>

故直线AB'一定过定点（0,3）.

12.（2022•自贡）已知二次函数丫=以2+笈+。（4/0）.

二⑴若a=T,且函数图象经过

图①备用图

（0,3）,（2,-5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点的坐标;

（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值v23时自变量x的取值范围；

（3）若a+b+c=0且”>b>c,一元二次方程加+6x+c=0两根之差等于a-c,函数图象经过

。（1+交,力）两点，试比较加%的大小.

【答案】（1）。，0）,（-3,0）；（-L4）；⑵见详解:-24x10：（3）%>%.

【解析】⑴解：；a=-l，且函数图象经过（0,3）,（2,-5）两点,

a=-l〃=-1

c=3n。=3,・•,二次函数的解析式为y=-f—2x+3,

-5=4。+2〃+ch=-2

•.•当y=0时，则0=-/-2》+3,解得%=1,X2=-3,.•.抛物线与x轴交点的坐标为（1,0）,（-3,0）,V

丁=一/一2》+3=-（工+1）2+4,.•.抛物线的顶点的坐标为（一1,4）.（2）解：函数的大致图象，如图①所示:

图①

由图象可知：当-2WxW0时，函数值)后3.

(3)解：。+/?+。=0且力〉c,

>0,c<0,b=-a-c且一元二次方程0=依2+〃x+c必有一根为％=1,

•.•一元二次方程以2+反+°=0两根之差等于a-c,S.xx=-<0

t2a

c—cihc一

・••方程的另一个根为％=l+c-。，，抛物线的对称轴为直线：1=1+一，J-二=1+二

22a2

**•—b=2a+ac—a2**.n+c=2a4-ac-a2,，(a—l)(a—c)=0,

**a>c,,•.〃=],/?=—1—c,y=-(1+c)x+c

,•,2(万一仁乃)，Q(l+3c，N2)，：・X-(l+c)(g-cj+c=2c?+；c-；,

22

2=(6c2+3c)—(2c+gc-；)=4(°+亮]一卷,

y2=(l+3c)~—(l+c)(l+3c)+c=6c+3c,・・y2f=

/?>c,-1-c>c,c<-41C+9]>0»%>凹•

2I16J64

13.(2022•泸州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线＞=公2+元+。经过人(-2,0),8(0,4)两点,

直线x=3与x轴交于点C.

(1)求］，。的值；

(2)经过点。的直线分别与线段A3,直线x=3交于点。，E,且△300与△如£的面积相等，求直线。石的

解析式;

(3)户是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段0C和直线x=3上是否分别存在点F,G,使8,尸，G,

P为顶点的四边形是以所为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)a=一:，c=4；(2)y=-：x；(3)存在这样的点尸，点F的坐标为(2,0)或(11七叵,0)

234

、/\/\.f4〃-24~c=0d=—

【解析】(1)解：：抛物线y=or2+x+c经过A(—2,0,B(0,4两点，.•.{“，解得2.

C=44

I[c=4

(2)解：由题意，设直线。石的解析式为、=丘(Z<0),

19

当x=3时，y=3Z,即石(3,3%),CE=—3k,则的面积为一x3x(—3A)=—k,

22

设直线AB的解析式为V=k0x+b0,

将点A(—2,0),8(0,4)代入得：|12：。：4二°,解得则直线A8的解析式为y=2x+4,

4

x-----

y=2x+4k-244k

联立解得则点。的坐标为"二？二)'

y=kx4jt

v=----

k-2

I48

所以△8。。的面积为彳*4、(一丁二)=丁丁，

2k-22-k

因为△BDO与△OCE的面积相等，所以/87=-19上，

2-k2

9o

解得％=-：或%=]>0(不符题意，舍去)，

经检验，力=-：2是所列分式方程的解，所以直线£>E的解析式为y=-：2x.

I19

(3)解：抛物线尸-5/+》+4=-5(》—的对称轴为直线x=l,

则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2x1—(-2),0),即为(4,0),•.•8(0,4),.〔QB=4,设点尸的坐标为

尸(肛0)(04机43),点尸的坐标为P(t,n)(0</<4),

由题意，分以下两种情况：

①如图，当以8尸为一边的矩形是矩形BFGP时，

则。尸=机,CF=3—加，NBFG=90。，NOFB+NCFG=90。,

・・・ZOFB+ZOBF=90°,/./CFG=NOBF,

ZCFG=ZOBF

在△CFG和△。所中,f八厂MC，：NCFG:YOBF,

NFCG=/BOF=900

手=要，即丝=口，解得CG=M2,;.G（3,即二史）,

OFOBm444

m+t0+3

------=--------

22t=3-m

・・•矩形HFGP的对角线互相平分，“3%-机2,解得/3切-/+16,

,4+-----------n=--------------

n°+"44

,22

将点PQ,”）代入y=—；/+x+4得：_，3_加）2+3_〃?+4=3'艺±16,解得帆=2或%=3,

当机=2时，r=3—加=3—2=1,符合题意，当机=3时，t=3-m=3-3=0,不符题意，舍去,

则此时点F的坐标为（2,0）,

②如图，当以8尸为一边的矩形是矩形8FPG时，过点8作BQLCE于点。,

则8Q=OC=3,CQ=O3=4,同理可证：7QBG:YOBF,..史=皎，即

OFOB

0+r〃?+3

3n?+163tn+1622

・•.CG=C0+QG=T，，G（3,丁），•••矩形BQG的对角线互相平分,，八3m+16,解

0+---------

4+〃4

2

t=m+3

得3m，

n=——

4

I、13»7

将点2人〃)代入丫=一一x+x+4得：一一(/??+3)2+777+3+4=-—7,

224

解得七师或加=-"-9<0(不符题意，舍去)，

44

w-ll+>/2(H,Q-II+V20Ta1+V201.舛人箭工

\m=---------时fr+，t=m+3=----------+3=--------<4,付合题息，

444

则此时点F的坐标为(T”屈