2022年中考数学复习训练题（含解析）-圆

2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年5月）

一.选择题（共10小题）

I.（2022•岳池县模拟）如图，五边形ABC0E是。。的内接正五边形，则正五边形的中心

角/CO。的度数是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

2.（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形,

用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（）

A.ScmB.12cmC.20cmD.\Sctn

3.（2022•无锡一模）如图，四边形A8C。内接于0。,AB是直径，OD//BC,若NC=124°,

则NB的度数为（)

68°C.72°D.78°

4.（2022•顺城区模拟）如图，△ABC内接于。0,ZACB=\5°,AE是。0的直径，点。

在BE上，连接CE、DE、BD,则N8DE的度数是（)

5.（2022春•思明区校级月考）如图，六边形A8CCEF是正六边形，点P是边AF的中点,

PC,分别与BE交于点M,N,则SAPMN：SABM的值为（）

233

6.（2022•张家口一模）如图，AB是半圆O的直径，点C,D,E依次是半圆上的三点，若

NC=〃：则NE的度数为（）

A.（270-n）0B.（180-〃）°C.（90+n）0D.（9Q-»yn）0

7.（2022•南沙区一模）一根钢管放在1形架内，如图是其截面图，。为钢管的圆心，如果

钢管的直径为20c〃?，NMPN=60°,则OP的长度是（）

A.40-\[3cmB.40cmC.cmD.20cm

8.（2022•新泰市一模）如图，4B是。。的直径，C,。是。。上的点，NCDB=15°,过

点C作。。的切线交AB的延长线于点E,若OE=2,则。0的半径为（）

22

9.（2022•新都区模拟）如图，四边形A8CZ）内接于。。，点E为8c边上任意一点（点E

不与点8,C重合）连接。E,若/A=60°,则NOE8的度数可能是（）

A.120°B.115°C.100°D.125°

10.（2022•东莞市一模）如图，四边形ABCC内接于。0,已知NBC£）=80°,AB=AD,

且NA3C=110°,若点E为前的中点，连接AE,则NBAE的大小是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

二.填空题（共10小题）

11.（2022春•长沙期中）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥

形生日帽，生日帽的底面圆半径r为7cm,高力为24cm,则该扇形纸片的面积为

cm2.

12.（2022♦青岛一模）如图，A、B、C、。是半径为4c〃?的。。上的四点，AC是直径，Z

cm.

13.（2022•温江区模拟）如图，C,。是OO上直径AB两侧的两点，设NCAB=40°,则

14.（2022•兖州区一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，己知圆的直径与正

方形的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的.倍.（精确到个位）

15.（2022春•江汉区期中）如图，已知平面直角坐标系中两点A（2,1）,B（4,2）,以原

点O为圆心，分别以OA,08长为半径画弧,交x轴于C,。两点，则CD的长是

yA

3

2

1

]A

-1O12c3405X

-1-

16.（2022春•长沙期中）某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已

知隧道口最高点E与。C的距离EF为4米，且弧QC所在圆的半径为10米，则路面AB

的宽度为米.

O

17.（2022•江北区一模）如图，AE是。。的直径，半径。7_1_弦A8于点。，连结E8.若

18.（2022•丰台区一模）如图，。0的直径A8垂直于弦C£>,垂足为E,ZCAD=45°,

19.（2022•新都区模拟）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割

圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割

圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，

圆的内接正多边形就越接近圆.如图，若用圆的内接正十二边形的面积当来近似估计。。

20.（2022•渝中区模拟）如图，菱形ABCC中，AB=2,DELBC于点、E,F为CO的中点,

连接AE,AF,EF.若/AFE=90*,则AAE尸的外接圆半径为

A

三.解答题（共10小题）

21.（2022•西青区一模）已知△A8C内接于00,AB=AC,/ABC=70°,点。是会上一

点，

（1）如图①，连接A。，BD,CD,求NAOC,NBOC的度数：

（II）如图②，若OOLAC,垂足为点£连接。C,过点。作。。的切线与8c的延长

线交于点尸，求/CQ尸的度数.

22.（2022•济阳区一模）如图，在△ABC中，AB^AC,以AB为直径的。O分别交AC,BC

于点。，E,过B点的圆的切线交AC的延长线于点F.

（1）求证：ZFBC=AZBAC；

2

(2)若旦，AZ)=6,求。0的半径的长.

23.(2022•河东区一模)已知在RtZ\4BC中，NA8C=90°,NA=32°.

(I)如图①，点8、C在。。上，边AB、AC分别交。0于。、E两点，点B是弧CC

的中点，求NABE的度数；

(H)如图②，以点8为圆心的圆与边AC相切于点F,与BC交于点G,求/GFC的度

数.

△pC

图①图②

24.(2022•秦淮区一模)如图，ZVIBC内接于OO,AB是直径,直线/过点C,AD1/,交

OO于点凡垂足为。，BEL,垂足为E,且静=合.

(1)求证：/与。0相切；

(2)当AO=4c%,BE=1.5c用时，的半径为_______cn7.

DCE1

25.(2022•南京一模)如图，在△ABC中，ZABC=ZACB,以AB为直径的。。交BC于

点。，点P在8c的延长线上，且N54C=2NP.

(1)求证：直线AP是。。的切线；

(2)若BC=12,tan尸=3,求的半径长及tan/勿C的值.

26.(2022•虞城县二模)如图，在。。中，AB为直径，BC为弦,CE切。。于点C,点£>

为BC上一个动点，OF_LAB于点尸，尸。的延长线交弧BC于点G,交CE于点、E.

(I)求证：EC=ED.

(2)若。。的半径为6,ZABC=30°.

①当点F为03的中点时，CE的长为；

②当弧CG的长为时，四边形0CG8为菱形.

27.(2022•河北区一模)已知A3为。。的直径，C为上一点，过点C作。O的切线

0c交3A的延长线于点£),连接3c.

(I)如图①，连接AC,若/8=25°,求/ACD的大小；

(II)如图②，E为标上一点，连接OE,CE,若四边形OOCE为平行四边形，求

的大小.

BB

28.(2022•临安区一模)如图，。。的直径AB垂直于弦CO于点E,A8=10,CD=6,点

P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交。。于点Q,连结CQ交AB于点F,

则点F的位置随着点P位置的改变而改变.

(1)如图1,当。P=4时，求tan/P的值；

s

(2)如图2,连结4C,DQ,在点P运动过程中，设。P=x,做蚊=丫.

'AQDC

①求证：ZACQ=ZCPA；

②求y与x之间的函数关系式.

AP

29.(2022•江阳区模拟)如图，A8为。。的直径，C,。为。0上不同于A,8的两点，CD

交AB于点G,ZABD=2ZBDG,M为AC上的点，过点M的弦于点儿过点

C的切线交DB的延长线于点E,交AB的延长线于点F.

(1)求证：DE1CF.

(2)当BF=5,时，求MN的长.

30.(2022•新都区模拟)如图，四边形ABCO内接于。。，对角线AC,8。交于点E.

(1)求证：XAEDs/\BEC：

(2)若8。平分/A8C,求证：CB=DE,DB；

(3)在(2)小题的条件下，若Z)E=4,BE=2,过圆心。点，作OFLCZ)于点F,OF

=2,求该圆的半径长.

2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年5月）

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2022•岳池县模拟）如图，五边形是0。的内接正五边形，则正五边形的中心

角/CO0的度数是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

【考点】正多边形和圆；圆周角定理.

【专题】正多边形与圆；推理能力.

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：囱J计算即可.

n

【解答】解：・・•五边形ABCOE是OO的内接正五边形，

五边形ABCDE的中心角ZCOD的度数为簿二=72°,

5

故选：A.

【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：里旦二是解

n

题的关键.

2.（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形,

用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（）

D.18cm

【考点】圆锥的计算.

【专题】与圆有关的计算；空间观念.

【分析】设圆锥的底面圆的半径为rem,由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据弧

长公式得2nr=匕60-144）X兀义15,解方程得，=%然后利用勾股定理可计算出圆

180

锥的高.

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为7Z7%,

根据题意得2叱=（360-144）*冗义15

180

解得r=9,

所以圆锥的高={]52_q2=12（cm）.

故选：B.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

3.（2022•无锡一模）如图，四边形ABC。内接于。0,A8是直径，OD//BC,若NC=124°,

则的度数为（）

A

A.56°B.68°C.72°D.78°

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；几何直观.

【分析】先根据圆内接四边形和圆周角定理得N80。,再利用平行线的性质得到zero,

最后利用四边形内角和求出NB.

【解答】解：•；NC=124°,

；./A=180°-124°=56°,

：.ZBOD=2ZA=\}2°,

'：OD//BC,

AZCDO=180°-124°=56°,

.•./B=360°-124°-56°-112°=68°.

故选：B.

【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形、平行线的性质、四边形内角和，解

题关键是熟练使用圆的相关性质.

4.（2022•顺城区模拟）如图，Z\ABC内接于00,ZACB=15°,AE是。。的直径，点。

在能上，连接CE、DE、BD,则NBDE的度数是（）

A.105°B.115°C.120°D.130°

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质：几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】由圆周角定理求出NBCE,根据圆内接四边形的性质即可求出NBQE.

【解答】解：是0O的直径，

/.ZACE=90°,

VZACB=15°,

：.ZBCE=ZACE-ZACB=900-15°=75°,

•.•四边形BDEC内接于。0,

/.ZBCE+ZBD£=180°,

：.ZBDE=\S0°-ZBCE=180°-75°=105°,

故选A.

【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与圆心，圆周角定理，圆内接四边形的性质，

根据圆周角定理求出ZBCE是解决问题的关键.

5.（2022春•思明区校级月考）如图，六边形ABCOEF是正六边形，点P是边A尸的中点,

PC,PQ分别与BE交于点M,N,贝IISAPMN：SAPBM的值为（)

23

【考点】正多边形和圆；三角形的面积.

【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力.

【分析】设正六边形的边长为想办法求出△PMM的面积即可.

【解答】解：设正六边形的边长为则SAPCD=2X®P=®2,s四边形BCOE=3X近

_424

“2=4,

4

由题意MN是2PCD的中位线,

•••S/\PMN=Ls&PCD=/

48

**•S/sBMC=S^DNE=—（生瓦?-3V^〃2）

248告

【点评】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的

性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

6.（2022•张家口一模）如图，A8是半圆O的直径，点C,D,E依次是半圆上的三点，若

ZC=n,则NE的度数为（）

D

E

A3B

0

A.(270-w)°B.(180-〃)C.(90+n)°D.(9Q-jAn)0

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.

【分析】连接AE,根据直径所对的圆周角是直角可得NAE8=90°,再利用圆内接四边

形对角互补可得NAE£>=(180-/2)°,然后进行计算即可解答.

是半圆O的直径，

・・・NAEB=90°,

・・•四边形ACDE是圆内接四边形，

AZC+ZAED=180°,

VZC=M°,

AZAED=(180-〃)°,

JZDEB=NAEB+NAED

=90°+(180-71)°

=(270-n)°,

故选A.

【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

7.(2022•南沙区一模)一根钢管放在丫形架内，如图是其截面图，。为钢管的圆心，如果

钢管的直径为20cm,NMPN=6C,则。尸的长度是()

A.40\/"§a〃B.40cmC.2O\/3cwD.20cm

【考点】切线的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算.

【分析】连接OM,ON,易证RtZkOMP丝RtaONP(HL),根据全等三角形的性质，可

得/OP仞=30°,再根据sinN0PM=5L=工，即可求出OP.

0P2

【解答】解：连接OM,ON,如图所示：

；PM、PN分别与。0相切，且M,N在圆上,

：.OMVPM,ONVPN,

，/OMP=/ONP=90°,0M=0N,

'：OP=OP,

.".RtAOAfP^RtAONP(HL),

：.ZOPN=ZOPM,

•：NMPN=60°,

AZOPM=30°,

•••钢管的直径为20cm,

；.OM=10cm,

'：sinZOPM=^-=X,

OP2

.,.OP=20cm.

故选：D.

【点评】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握切线的性质并证明OP是/用ON的角平

分线是解题的关键.

8.（2022•新泰市一模）如图，AB是。。的直径，C,。是。0上的点，ZCDB=15°,过

点C作00的切线交AB的延长线于点E,若0E=2,则。。的半径为（）

22

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【分析】连接。C,根据圆周角定理得到NC0B,根据切线的性质得到0CLCE,根据余

弦的定义计算，得到答案.

【解答】解：连接0C,

'：ACDB=\5°,

...NCOB=2/C£>B=30°,

•；CE为OO的切线，

：.OCA.CE,

.".OC=OfcosZCOB=2X

2

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于

过切点的半径是解题的关键.

9.（2022•新都区模拟）如图，四边形ABC。内接于点E为3c边上任意一点（点E

不与点8,C重合）连接。E,若NA=60°,则NDEB的度数可能是（）

A.120°B.115°C.100°D.125°

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.

【分析】根据圆内接四边形对角互补，可求出NC的度数，然后利用三角形的外角可得

ZDEB>ZC,即可解答.

【解答】解：：四边形A8CD是。0的内接四边形，

/.ZA+ZC=180°,

VZA=60°,

AZC=180°-ZA=120°,

；/DEB是△OCE的一个外角，

NDEB>ZC,

.♦.NOEB的度数可能是：125°,

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键.

10.（2022•东莞市一模）如图，四边形A8CD内接于0。，已知/BC£>=80°,AB=AD,

且/ADC=110°,若点E为祕的中点，连接AE,则/8AE的大小是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【考点】圆内接四边形的性质：垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质：推理能力.

【分析】连接AC,先根据圆内接四边形的性质求出/BA。，ZABC,再利用AB=A。求

出N4CB,进而求出N8AC,最后利用点E为它的中点得到NB4E.

【解答】解：如图，连接AC,

E

由题意可得：ZBAL>=180°-ZBCD=110°,ZABC=180°-/AOC=70°,

,：AB=AD,

AAB=AC-

ZACB—/AC£>=/NBCD=4。。，

AZBAC=180°-70°-40°=70°,

；点E为最的中点，

/.ZBAE=AZBAC=35°.

2

故选：c.

【点评】本题主要考查圆的有关性质，涉及到圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的

性质，三角形内角和等，解题关键是熟练掌握圆的有关性质.

二.填空题（共10小题）

11.（2022春•长沙期中）为了给同学庆祝生日，小明自己动手用扇形纸片制作了一顶圆锥

形生日帽，生日帽的底面圆半径，•为7c〃?，高〃为24°",则该扇形纸片的面积为1757T

【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【分析】先根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面展开图是扇形，利用圆

锥的侧面积=底面周长X母线长+2,列式计算即可.

【解答】解：：生日帽的底面圆半径，•为7c7”，高/?为24c5，

...圆锥的母线长为底石示=25(cm).

；底面圆半径r为7cm,

，底面周长=14TTCTO,

该扇形纸片的面积为=2X14nx25=175TT(cm2).

故答案为：175ir.

【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解.正确理解

圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇

形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

12.(2022•青岛一模)如图，A、B、C、。是半径为4c〃?的。。上的四点，AC是直径，Z

0=45°,则AB=_4&_cm

B

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；几何直观.

【分析】先根据圆周角定理得到/A及/A8C的度数，进而判断出AABC是等腰直角三

角形，再根据勾股定理计算即可求出AB.

【解答】解：,

，/4=45°,

•；AC是直径，

.../A8C=90°,

.♦.△48C是等腰直角三角形，

."B=2X4+我=4^2(cm).

故答案为：472.

【点评】本题主要考查圆周角定理，涉及到勾股定理，解题关键是熟练使用圆周角定理.

13.（2022•温江区模拟）如图，C,。是上直径AB两侧的两点，设/C4B=40°,则

NADC=50°.

【考点】圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【分析】由A8是。。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得NACO=90°,继而

求得NABC的度数，然后由圆周角定理，求得NAZJC的度数.

【解答】解：•••AB是。。的直径，

AZACB=90°,

VZCAB=40°,

：.ZABC=9Q°-ZCAB=50°,

.•./AZ）C=/A8C=50°,

故答案为：50°.

【点评】此题考查了圆周角定理.注意直径对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关

键.

14.（2022•兖州区一模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正

方形的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的14倍.（精确到个位）

【考点】正多边形和圆；近似数和有效数字.

【专题】正多边形与圆；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】根据圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,设圆的直径，表示出正方形的对

角线的长，再分别表示圆、正方形的面积即可.

【解答】解：设AB=6a,

VCD：AB=1：3,

：.CD=2a,OA=3a,

二正方形的面积为工C»C£>=2a2,

2

圆的面积为n«3a)2—9mi2,

所以圆的面积是正方形面积的(2«2)七14(倍),

故答案为：14.

【点评】本题考查圆的有关计算，正方形的性质，掌握圆的面积和正方形面积的计算方

法是解决问题的关键.

15.(2022春•江汉区期中)如图，已知平面直角坐标系中两点A(2,I),8(4,2),以原

点O为圆心，分别以04,OB长为半径画弧，交x轴于C,O两点，则CD的长是

yA

3

2

1

A

012c34，D5X

【考点】垂径定理；坐标与图形性质：勾股定理.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.

【分析】由点的坐标根据勾股定理求出OC=OA=遥,0D=0B=2疾,进而可求出

CD的长.

【解答】解：由题意得：

0C=0A=遥，0D=0B=2疾,

：.CD=OD-0C=275-V5=心

故答案为：娓.

【点评】本题考查了勾股定理和直角坐标系中点的坐标，将C。的长转化为OO-OC是

解题的关键.

16.（2022春•长沙期中）某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已

知隧道口最高点E与。C的距离EF为4米，且弧OC所在圆的半径为10米，则路面A8

的宽度为16米.

【考点】垂径定理的应用；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质：推理能力.

【分析】在RtACFO中利用勾股定理求出CF的长，再由垂径定理求出AB=CD^2CF

即可得出答案；

【解答】解：设圆弧形所在圆的圆心为。，由题意可知，点。在EF的延长线上，连接

OC,

'：OE1CD,

：.ZCFO=90°,CF=DF,

在RtaCFO中，OC=10,OF=OE-EF=IO-4=6,

22

■'-CF=7OC-OF=V102-62=8，

.,.AB=CD=2CF=16,

即路面A8的宽度为16米.

故答案为：16.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直

角三角形是解答此题的关键.

17.（2022•江北区一模）如图，AE是的直径，半径OCL弦A8于点。，连结E8若

AB=2V7,CD=1,则BE的长为6.

c

【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力.

【分析】根据垂径定理求出4。，根据勾股定理列式求出0D,根据三角形中位线定理计

算即可.

【解答】解：•.•半径0C垂直于弦A8,

：.AD=DB=AB^2V7>

在RtZXA。。中，。42=(OC-CD)2+AD2,

即042=(OA-1)2+(J7)

解得：OA—4,

；.OD=OC-8=3,

'：AO=OE,AD=DB,

.•.0。是△ABE的中位线，

.•.BE=200=6.

【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理

和勾股定理是解题的关键.

18.(2022•丰台区一模)如图，。0的直径AB垂直于弦CQ,垂足为E,ZCAD=45°,

则NBOC=45°.

【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系.

【专题】圆的有关概念及性质；运算能力.

【分析】根据垂径定理可得CE=DE,然后根据圆周角和圆心角的关系可得答案.

【解答】解：:。。的直径AB垂直于弦8,

：.CE=DE,

••.BC=BE.

：.ZBAC=ZBAD=22.5°,

；./BOC=2/BAC=45°.

故答案为：45.

【点评】此题考查的是圆周角定理、垂径定理、圆心角与弧、弦的关系等知识，掌握其

秘技定理是解决此题的关键.

19.(2022•新都区模拟)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割

圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割

圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形…割的越细，

圆的内接正多边形就越接近圆.如图，若用圆的内接正十二边形的面积Si来近似估计。。

的面积S,设正十二边形边长为1,则Si=6+3代；工=匹.

—S1-3一

【考点】正多边形和圆；数学常识.

【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；几何直观；运算能力.

【分析】连接04、OAi,过4作于”，设在RtZ\442,中，可得

/+(2x-V3x)2=化解出x的值，即可求出S、Si，从而得到答案.

【解答】解：连接04、042，过4作AIAJ_0A2于H，如图：

•••圆的内接正十二边形的中心角为逊二=30°,

12

...NAiOH=30°,

：.AiH^10Ai，

2

设AiH=x,则OAI=2X=OA2，OH=\[^AIH,

，A2H=2r-Mx,

在RtAAi/h”中，A2H2+A\H2=A\AQ2,

；./+(2x-5/3%)2=在，

解得x=YL返(负值已舍去)，

_4_

:.AiH:垣HL,。4=返返,

4_

.,.S=nX(V^jV2_)

=(2+V3)m

2

5i=12X工义迎X娓=6+3百,

242

...S=(2蓊)兀=兀

S16+3^33

故答案为：6+3百，

3

【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键.

20.(2022•渝中区模拟)如图，菱形ABC。中，A8=2,DELBC于点E,尸为CD的中点,

连接AE,AF,EF.若N4FE=90*,则△△£：厂的外接圆半径为_返±1_.

【考点】三角形的外接圆与外心；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质.

【分析】延长EF交AO的延长线于G,由菱形的性质得出A£)=CD=4B=2,AD//BC,

证明△OFG丝△CFE(ASA),得出DG=CE,GF=EF,由线段垂直平分线的性质得出

AE=AG,设CE=OG=x,则AE=AG=2+x,由直角三角形斜边上的中线性质得出GF

=EF=LCD=1,得出EG=2EF=2,在Rt/\ADE和RtAGZ)£中，由勾股定理得出方程，

2

解方程求出x,进而求出AE,即可得到△人£尸的外接圆半径.

【解答】解答］解：延长EF交A。的延长线于G,如图所示：

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AD=CD=AB=2,AD//BC,

.'.ZGDF^ZC,

•.•/是CO的中点，

：.DF=CF,

在△OFG和△CFE中，

，ZGDF=ZC

<DF=CF，

,NDFG=NCFE

：./\DFG沿丛CFE(4S4),

：.DG=CE,GF=EF,

VZAFE=90°,

J.AFLEF,

：.AE=AG,

设CE=DG=x,则AE=AG=2+x,

'JAG//BC,DELBC,尸是CD的中点，

：.DE±AG,GF=EF=LCD=1,

2

：.EG=2EF=2,

在RtZ\AQE和Rt^GOE中，由勾股定理得：DE1=AE1-AD2=EG2-DG2,

即(2+x)2-22=22-Z

解得：x—yfs-1,或彳=-料-1(舍去)，

:.DG=&-1，

：.AE=AG=AD+DG=43+\,

VZAFE=90°,

；.AE是△AM的外接圆的直径，

AAEF的外接圆半径为返士1,

2

故答案为：返士1.

2

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直

平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一

定难度.

三.解答题（共10小题）

21.（2022•西青区一模）已知AABC内接于AB=AC,/ABC=70°,点。是篇上一

点，

（I）如图①，连接A。，BD,CD,求NAOC,/BOC的度数：

（II）如图②，若OOLAC,垂足为点E.连接QC,过点。作OO的切线与的延长

线交于点尸，求/CZ）厂的度数.

【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【分析】（I）先根据圆内接四边形的性质得到NADC=110°,再利用等腰三角形的性

质得到/ABC=NACB=70°,则利用圆周角定理得到/4£>8=NAC8=70°,然后计算

ZADC-/AOB得到/BOC的度数；

（H）连接加>,如图，根据垂径定理得到立=而，利用圆周角定理得到/A8£>=35°,

则N4CO=NA8O=35°,再根据切线的性质得到OOJ_D尸，所以AC//DF,然后根据

平行线的性质得到NCD尸的度数.

【解答】解：（I）VZADC+ZABC=180°,

.•./AZ）C=180°-70°=110°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=10o,

：.ZADB=ZACB=10°,

AZBDC=ZADC-ZADB=110°-70°=40°,

即/AOC的度数为110°,N3OC的度数为40°；

(II)连接80，如图，

'：ODLAC,

AD=CD«

.•.NABZ)=/CBr>=£ABC=35°,

2

ZACD=ZABD=35°,

：OF为切线，

：.ODA.DF,

J.AC//DF,

：.ZCDF=ZACD=35°.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角

形的性质、圆周角定理和解直角三角形.

22.(2022•济阳区一模)如图，在△4BC中，AB=AC,以A8为直径的。0分别交AC,BC

千点D,E,过B点的圆的切线交AC的延长线于点F.

(1)求证：ZFBC=^ZBAC；

2

(2)若tanNBE=3,AD=6,求。。的半径的长.

4

A

F

【考点】切线的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【分析】(1)连接AE,如图，根据圆周角定理得到NAEB=90°,根据圆周角定理得到

NBAE=NCAE,再根据切线的性质得到/AB尸=90°,再证明/BAE,从而得

到/尸8c=1/8AC；

2

(2)连接8。，如图，根据圆周角定理得到/4。8=90°,再证明则tan

ZABD=tanZF=l,在Rt^ABO中利用正切的定义得到8。=8,然后利用勾股定理计

4

算出AB,从而得到。0的半径的长.

【解答】(1)证明：连接AE,如图，

"：AB为。。的直径，

AZAEB=90°,

\"AB=AC,

：.ZBAE=ZCAE,

,:BF为切线，

：.ABLBF,

：.ZABF=90°,

.".ZFBC+ZABC=90",

VZABE+ZBAE=90°,

二NFBC=ZBAE,

：.ZFBC^1ZBAC；

2

(2)解：连接B/),如图,

：AB为。。的直径，

AZADB=90°,

：.ZBAD+ZABD=90Q,

,：ZABF=90°,

/F+NR4尸=90°,

NF=NABD,

'.tanZABD=tanZF=—,

4

在RtAABD中，tan=迫=3,

BD4

.,.BD=-1AD=AX6=8,

33

•••AB='AD2+BD2r62+g2=10,

.•.0。的半径的长为5.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角

形的性质、圆周角定理和解直角三角形.

23.(2022•河东区一模)已知在RtZ\ABC中，NA8c=90°,NA=32°.

(I)如图①，点8、C在0。上，边AB、AC分别交。。于。、E两点，点B是弧CZ)

的中点，求NABE的度数；

(H)如图②，以点3为圆心的圆与边AC相切于点F,与BC交于点G,求/GFC的度

数.

B

【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【分析】(I)连接DC,如图①，根据圆周角定理得到DC是。0的直径，则利用点B

是弧CD的中点得到/BCO=/8OC=45°,接着计算出/ACB=58°,然后可得到/

4c0=13°,从而根据圆周角定理得到/A8E的度数；

(11)连接8凡如图②，根据切线的性质得到NBE4=NBFC=90°,则可计算出N4B尸

=58°,接着计算出/CBF=32°,然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出

NBFG=74°,最后计算/BFC-NBFG即可.

【解答】解：(I)连接DC,如图①，

:NDBC=90°,

;.oc是oo的直径，

•.•点B是弧CO的中点，

：.ZBCD=ZBDC=45°,

在RtZXABC中，VZABC=90°,ZA=32°,

...NACB=90°-32°=58°,

AZACD^ZACB-ZBCD=58°-45°=13°,

：.ZABE=ZACD=\3°；

(II)连接BF,如图②，

；AC与OB相切于点F,

：.BFLAC,

：.ZBFA=ZBFC=90a,

'：ZBAC=32°,

：.ZABF=5S°,

：.ZCBF=90°-58°=32°,

•：BF=BG,

...NBFG=/8GF=L(180°-32°)=74°,

2

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定

理.

24.（2022•秦淮区一模）如图，△ABC内接于AB是直径，直线/过点C,ADU,交

。。于点凡垂足为£>,BEL,垂足为E,且CF=CB

（1）求证：/与。0相切；

（2）当AO=4cm,8E=1.5cm时，。0的半径为Hcm.

【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运

算能力；推理能力.

【分析】（1）根据垂径定理可得OCJ_BF,由圆周角定理可得/AFB=90°,进而得出

BF//DE,由平行线的性质可得OCLOE,根据切线的判断方法可得结论；

（2）根据梯形的中位线定理可求出答案.

【解答】（1）证明：

连接OC.BF,

VCF=CB-oc是0。的半径，

：.OCLBF,

是。。的直径，

AZAFB=90Q,B|JAFLBF,

'：ADA.l,

：.BF//DE,

J.OCLDE,

：0C是。0的半径，

...OE是。。的切线，

即直线/是的切线；

(2)'JOCVDE,AD±DE,BELDE,

J.OC//AD//BE,

\"OA=OB,

：.DC=EC,

...OC是梯形ABED的中位线,

.,.OC=A(AD+BE)

2

=A(4+1.5)

2

_11>

4

故答案为：11.

【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及梯形的中位线，掌握切线的

判定方法，圆周角定理、垂径定理以及梯形的中位线定理是正确解答的前提.

25.（2022•南京一模）如图，在△A8C中，ZABC=ZACB,以A8为直径的交BC于

点。，点P在8C的延长线上，且N8AC=2NP.

（1）求证：直线AP是。。的切线；

（2）若BC=12,tanP=旦，求的半径长及tan/RIC的值.

【考点】切线的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定

理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推

理能力.

【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出/

8+/尸=90°,由三角形的内角和定理得出NBAP=90°即可；

（2）由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，求出EC,4E由锐角三角函数的定

义求出答案即可.

【解答】（1）证明：如图，连接A。，

：AB是。。的直径，

/.ZADB=90°,UPADIBC,

,：ZABC=ZACB,

；.AC=AB,

平分/BAC,即N8A£）=/C4O=工NB4C,