专题能力训练19　排列、组合与二项式定理

专题能力训练19排列、组合与二项式定理能力突破训练1.(2021广西河池高三月考)下列各项中,是xy-yxA.15 B.-20x2 C.15y4 D.-20y2.已知x2+1xn的展开式的各项系数和为32,则展开式中A.5 B.40 C.20 D.103.(2021辽宁大连高三模拟)已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工,再由高级技师完成精加工.其中粗加工要完成A,B,C,D四道工序且不分顺序,精加工要完成E,F,G三道工序且E为F的前一道工序,则完成该工艺品的加工不同的方法有()A.144种 B.96种 C.48种 D.112种4.若x2+2x3A.3 B.4 C.5 D.65.x2+1A.-8 B.-12 C.-20 D.206.某学校组织演讲比赛,准备从甲、乙等八名同学中选派四名同学参加,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加时,他们的演讲顺序不能相邻,那么不同的演讲顺序的种数为()A.1860 B.1320 C.1140 D.10207.(2021广西来宾、玉林、梧州高三4月联考)在1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+(1+x)6的展开式中,含x3项的系数是()A.25 B.30 C.35 D.408.在某市记者招待会上,需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不可以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1200 B.2400C.3000 D.36009.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45 B.60 C.120 D.21010.已知x+12ax9的展开式中含x3的系数为-212,则e∫1A.e2+12 B.e2+32 C11.(2021陕西西安高三质量测评)若(2-x)10的展开式中二项式系数和为A,所有项系数和为B,一次项系数为C,则A+B+C=()A.4095 B.4097 C.-4095 D.-409712.在ax+1x(x2-1)5的展开式中,x3的系数为15,则实数a=13.中国四大古城是指安徽徽州古城、四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城.某艺术学院美术系的5名同学(含同学甲在内)去这四大古城写生,若每个古城至少有1名同学前去,且每名同学恰好选择了其中一座古城,已知同学甲必须去平遥古城,则这5名同学不同的写生方案共有种.

14.在3x-2x15.现将6张连号的门票分给含甲、乙在内的六人,每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有种不同的分法.(用数字作答)

16.已知(1+x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,则1+1x2(1+x)n的展开式中常数项为17.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)

18.(2021山东潍坊一中高三模拟)如图,某班级义务劳动志愿者小组,准备在一抛物线形地块上的A,B,C,D,G,F,E七点处各种植一棵树苗,其中点A,B,C分别与点E,F,G关于抛物线的对称轴对称,现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵,且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则共有不同的种植方法数是.(用数字作答)

思维提升训练19.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是()A.210 B.84C.343 D.33620.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5 B.6 C.7 D.821.(2021福建宁德高三三模)《周髀算经》是中国最古老的天文学、数学著作,公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图),用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给图中5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,则不同涂色的方法种数为()A.36 B.48 C.72 D.9622.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27 B.28 C.7 D.823.若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2017”.则用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”的个数为()A.71 B.66C.59 D.5324.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+A.-1 B.1C.-87 D.8725.某人根据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有()个.A.198 B.180C.216 D.23426.(2021四川自贡高三三模)已知(x+1)n的展开式二项式系数和为128,则Cn0−Cn12+Cn24+…+C27.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字且为5的倍数的四位数,把所组成的全部四位数从小到大排列起来,则3125是第个数.

28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.答案：能力突破训练1.C解析:xy-yx6的展开式的通项为C6r·由于3-32r=0,当3-32r=0,即r=2时,(-1)2>0,所以B选项错误当3+12r=4,即r=2时,(-1)2·C62·x3-3当3+12r=92,即r=3时,3-32×3≠0,2.D解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则C5r(x2)5-r·1xr=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=3.C解析:由题意可知,粗加工工序的排法种数为A44,将工序E,F进行捆绑,且E为F的前一道工序,则精加工工序的排法种数为2种,由分步乘法计数原理可知,完成该工艺品的加工不同的方法有2A44=24.C解析:x2+2x3n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x2)n-r(2x-3)r=Cnr若存在常数项,则2n-5r=0,即2n=5r有整数解,故n必为5的整数倍,所以n的最小值为5.故选C.5.C解析:因为x2所以Tr+1=C6rx6-r-1xr=(-1)rC6rx6-2r,令6-2r=0,得r=6.C解析:依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有一人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C21·C63·A44=960;第二类,甲、乙两名同学中实际参与演讲比赛的恰有两人,满足题意的不同的演讲顺序的种数为C22·C67.C解析:多项式可化为1-(1+x)71-(1+x)=(x由7-r=4得r=3,故含x3项的系数为C73=8.B解析:由题意可知,符合要求的情况有以下两种:①有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是C51C53A44=1200;②有甲电视台记者2人,乙电视台记者2人故所有不同提问方式的总数为1200+1200=2400.9.C解析:∵(1+x)6展开式的通项为Tr+1=C6rxr,(1+y)4展开式的通项为Th+1=C4∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6rC4ℎ∴f(m,n)=C∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C10.C解析:x+12ax9的展开式的通项为Tr+1=C9rx9-r·12axr=C9r12arx9-2r,令9所以e1x+axdx=e11.C解析:由(2-x)10展开式的通项为Tr+1=C10r·210-r·(-x)r=(-1)r·210-rC所以一次项系数C=(-1)1·29·C101=-5120,二项式系数和A=210=令x=1,则所有项的系数和B=(2-1)10=1,所以A+B+C=-4095.12.5解析:(x2-1)5的展开式的通项为Tr+1=C5r·(x2)5-r·(-1)r=(-1)rC5rx令10-2r=2得r=4,则(-1)4C54令10-2r=4得r=3,则(-1)3C53所以ax+1x(x2-1)5的展开式中,x3的系数为5a-10,所以5a-10=15,解得a=13.60解析:写生方案共有C42A3314.112解析:由二项式定理,得所有项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.展开式的通项为Tr+1=C8r(3x)8-r-2x令83−43r=0,得r=2,所以常数项为T15.240解析:甲、乙分得的门票连号,共有5A22=5×2=10种情况,其余四人每人分得1张门票,共有A44=24种情况,所以共有10×2416.16解析:由题意知n=6,则(1+x)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx当r=0时,C60=1;当r=2时,C6故1+1x2(1+x)6的展开式中常数项为1+17.660解析:由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C18.36解析:由图形的对称性,原题相当于三种树苗种在A,B,C,D四个位置,有且仅有一种树苗重复,先从A,B,C,D中任选两个位置种植同一种树苗,有C42=6种方法,再把三种树苗分配到这些位置上,有A33=6种方法,则由分步乘法计数原理知,共有6×6思维提升训练19.D解析:若每个台阶上只站一人有A73种站法;若有一个台阶有2人,则共有C31A7220.B解析:由题意可知,a=C2mm,∵13a=7b,∴13·(2m)!即137=2m+1m+1,21.C解析:根据题意,分两步进行分析:①对于区域A,B,E,三个区域两两相邻,有A43=24②对于区域C,D,若C区域与A区域颜色相同,D区域有2种涂色方法,若C区域与A区域颜色不同,则C区域有1种涂色方法,D区域也只有1种涂色方法,故区域C,D有2+1=3种涂色方法.故共有24×3=72种不同的涂色方法.22.C解析:令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.A解析:根据题意,四位数字相加和为10的情况有0,1,3,6;0,1,4,5;0,1,2,7;0,2,3,5;1,2,3,4,共5种情况.当四个数字为0,1,3,6时,千位数字可以为3或6,有2种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数当四个数字为0,1,4,5时,千位数字可以为4或5,有2种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有2×6=12个“完美四位数当四个数字为0,1,2,7时,千位数字为7时,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,千位数字为2时,有2071,2107,2170,2701,2710,共5种情况,此时有6+5=11个“完美四位数当四个数字为0,2,3,5时,千位数字可以为2或3或5,有3种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数当四个数字为1,2,3,4时,千位数字可以为3或4或2,有3种情况,将其余3个数字全排列,有A33=6种情况,此时有3×6=18个“完美四位数则一共有12+12+11+18+18=71个“完美四位数”.24.B解析:1-90C101+902C102+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+…+C10988+25.A解析:不选2时,有A33A42=72种;选2,不选Z时,有C21C32A22A32=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有A32C21C31=36种,当26.-1解析:由已知可得2n=128,解得n=7,所以(x+1)7=(1+x)7的展开式的通项为Tr+1=C7rx令x=-2,则展开式为C70×(-2)0+C71×(-2)1+C72×(-2)2+…+C77×(-2)7=C70−C71×227.54解析:当千位数字为1时,末位数字有C21种选择,另外两个数位有A42种选择,所以共有C21A42=24个数;当千位数字为2时,末位数字有C21种选择,另外两个数位有A42种选择,所以共有C21A42=24个数;当千位数字为3时且比综上,比3125小的数共有53个,所以312