土木工程测量第五章

土木工程测量第五章第一页，共二十三页，2022年，8月28日第五章

测量误差基础知识第二页，共二十三页，2022年，8月28日

5.1

测量误差分类测量误差（error）的产生，主要是由于仪器不可能绝对准确，观测者的鉴别能力有限，观测是在一定的外界条件(如风力，温度、气压、照度等)下进行的。通常把仪器，观测者和外界条件三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件相同的各次观测，其误差出现的规律相同，称为等精度观测（equalobservations），观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。

在观测结果中，有时还会出现错误。例如，读数错误或记录错误等，统称为粗差。粗差在观测结果中是不允许出现的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。例如，对距离进行往、返测量，对角度进行多测回观测等，这是测量的基本原则。观测误差按其自身规律性，可分为系统误差和偶然误差。第三页，共二十三页，2022年，8月28日

、系统误差（systemicerror）对某量进行一系列观测，如误差出现的符号和大小均相同或按一定的规律变化，或者说误差的来源已确切地掌握，则这种误差就称为系统误差。

系统误差具有积累性，无法用多次观测取平均的方法消除，对测量结果的影响很大。但是，由于系统误差的符号和大小有一定的规律，可以用以下方法进行处理：（1）、用计算的方法加以改正。

（2）、用一定的观测程序加以消除。（3）、将系统误差限制在工程实践允许范围内。

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、偶然误差(randomerror)

在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差出现的符号和大小均不一定，或者说误差的来源尚没有被人们认识到，则这种误差称为偶然误差。例如，测量中的估读误差等。

大量的测量实践表明，偶然误差具有如下统计特性：

(1)在一定的观测条件下，偶然误差有界，或者说，超出该限值的误差出现的概率趋近于零；

(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；

(3)绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；

(4)同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋于零，即第五页，共二十三页，2022年，8月28日高斯（Gauss,CarlFriedrish1777~1855，德国数学家，天文学家，物理学家，在实验数据处理方面，发展了概率统计中的误差理论，发明最小二乘法，引入高斯误差曲线）根据偶然误差的四个特性，推导出偶然误差分布的概率密度函数为：上式表明，偶然误差的出现服从标准正态分布(右图)，这就为偶然误差的处理奠定的坚实的理论基础。测量实践中可以根据偶然误差的特性合理地处理观测数据，以减少偶然误差对测量成果的影响。第六页，共二十三页，2022年，8月28日

5.2观测值精度评价指标

在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都具有同样的精度；然而，在不同的观测条件下，对同一量所进行的观测必然具有不同的精度。下面介绍几种常用的衡量精度的指标。

、中误差设对某一未知量进行了n次等精度观测，未知量的真值为X，其观测值为l1、l2、……、ln，相应的真误差为：……第七页，共二十三页，2022年，8月28日则定义该组观测值的方差D为:

以上式为基础，数理统计理论可以证明：

特别需要说明的是，根据上式计算中误差的前提是真值X是已知的，而这个条件在工程实践中通常是无法保证的。第八页，共二十三页，2022年，8月28日工程测量中将σ称为中误差（meanerror），并常以符号m表示，这只是一种传统，而从工程实践的角度来看，中误差的数学实质就是数理统计中的标准偏差，即：

特别需要说明的是，根据上式计算中误差的前提是真值X是已知的，而这个条件在工程实践中通常是无法保证的。第九页，共二十三页，2022年，8月28日由图可见，偶然误差概率密度函数中的参数σ

反映着误差分布的密集或离散程度，即反映其离散度的大小，可以作为衡量精度的指标：σ

越小，偶然误差分布越集中，则测量精确度越高（如图中曲线Ⅰ）；σ

越大，偶然误差分布越分散，则测量精确度越低（如图中曲线Ⅱ）。

第十页，共二十三页，2022年，8月28日、相对误差

真误差和中误差都是绝对误差大小，与被测值的大小没有建立关系，仅用这两种精度指标显然无法完全表达精度的水平。为了在精度指标中考虑被测值本身的大小，引入相对误差的概念。式中，K—相对中误差，也简称相对误差；

m—中误差；

X—观测量的真值。由上式可见，相对误差有两种形式，其一是以百分数表示；其二是以分子为1、分母约简为整数的真分数表示，这两种形式表示的相对误差都是一个无量纲的比值。第十一页，共二十三页，2022年，8月28日由于观测量的真值通常无法确定，工程实践中也常用观测量的算术平均值代替真值计算相对误差。例如，在距离测量中，通常是往返各测量一次，以下面公式来评定测量精度：从实质上看，公式的计算结果是“较差率”，而非“相对误差”，但工程中也常将它称为距离测量的相对误差。

特别需要指出的是，由于角度测量的误差与角度大小无关，因此不能用相对误差来评定测角精度。第十二页，共二十三页，2022年，8月28日

、极限误差

偶然误差的第一特性表明，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不超过一定的界限。如果观测值的误差超过了这个界限，则被认为观测有错，应舍去重测，这个限值称为极限误差或容许误差（allowanceerror）。误差理论表明，在实际观测中，绝对值大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为30%；绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为5%；而绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为0.3%.根据上述结果，工程测量中取二倍中误差作为偶然误差的限值，即Δ限=2m当对测量结果要求宽松时，也可取三倍中误差作为偶然误差的限值。一般认为，大于三倍中误差的偶然误差是不可接受的，应舍去重测。第十三页，共二十三页，2022年，8月28日

5.3误差传播定律

在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由其它一些直接观测量按照一定的函数关系计算出来，而这些作为自变量的直接观测值是包含测量误差的，这必然引起函数值的误差。本节讨论自变量误差和函数值误差间的关系，根据自变量的误差来分析确定函数值的误差，而阐述这种函数关系的定律即称为误差传播定律。第十四页，共二十三页，2022年，8月28日式中—xi为可以直接观测的值，y为函数值。设对各个相互独立的自变量xi分别进行了k次观测，其观测值分别是li，而相应的中误差分别是mi，且记则当k足够大时，可以推导出：

上式就是误差传递的一般公式，在误差理论中占有重要地位。第十五页，共二十三页，2022年，8月28日【例5.3.1】设在三角形ABC中，直接观测∠A，∠B

，且已知其中误差分别为mA=±3〞，mB=±4〞。当由∠A，∠B的观测值计算∠C大小时，相应的中误差mC等于多少？解：建立函数关系

则于是

第十六页，共二十三页，2022年，8月28日【例5.3.2】证明：对某一量X进行n次等精度观测，观测值分别是l1，l2

，…，ln。若单次观测中误差为m，则其算术平均值的中误差为：证明：建立函数关系则

第十七页，共二十三页，2022年，8月28日右图是根据上式得到的算术平均值的中误差与观测次数的关系曲线。右图表明，增加观测次数可以提高算术平均值的精度，例如，假定单次观测中误差为1.0，则10次观测平均值的中误差将减到0.316。但右图同时显示，当观测次数达到一定数值后（如n=10），再增加观测次数提高观测精度的效果就不太明显了。因此，不能仅依靠增加观测次数来提高测量成果的精度，而必须使用精度较高的仪器，提高观测技能，在良好的外界条件下进行观测等。算术平均值的中误差与观测次数第十八页，共二十三页，2022年，8月28日

5.4无真值条件下的最大似然值、最大似然值（maximumlikelihoodvalue）在工程实践中，经常遇到的情况是某一未知量无法得到其真值，则用式求观测中误差无法实施。本节讨论在无真值条件下有关参数的计算问题。设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为X，观测值分别为：……相应的真误差为：则：

第十九页，共二十三页，2022年，8月28日将上述各式求和，等号两

边再同除以n，得：设为L算术平均值，则有根据偶然误差的第四条特性，当观测次数足够大时，有从上式可以看出，当观测次数足够大时，观测值的算术平均值就趋向于未知量的真值。当为n有限时，则说算术平均值L是真值X的“最大似然值”也称为似真值。第二十页，共二十三页，2022年，8月28日

、观测值的改正数

观测值与观测值的算术平均值之差称为观测值的改正数，用v表示。设对某未知量进行了一组等精度观测，观测值分别为，其算术平均值为L相应的改正数为，则：……将上述各式两端相加得：