2022年四川省凉山州中考数学真题卷（含答案与解析）

凉山州2022年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试试题

数学

主意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在

答题卡上，并在答题卡背面上方填涂座位号，同时检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用25铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨迹签字

笔书写在答题卡对应题目标号的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试

题卷上答题无效.

3.考试结束后，由监考教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回.

4.本试卷共6页，分为A卷（100分）、5卷（50分），全卷满分150分，考试时间120分钟

A卷又分为第I卷和第n卷.

4卷（共100分）

第I卷选择题（共48分）

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是

正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.

1.—2022的相反数是（）

D

A.2022B.-2022。•-六全

2.如图所示的几何体的主视图是（）

A.B.

D.

3.我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个数用科学记数法

表示为（）

A.8.0917X106B.8.09I7X105C.8.0917X104D.8.0917XI03

4.如图，直线c是截线，若/1=50°,则N2=（)

A.40°B,45°C.50°D.55°

5.化简：J(-2>=()

A.±2B.-2C.4D.2

6.分式一L有意义条件是（）

3+x

A.x=—3B.x#—3C.x#3D.

7.下列长度的三条线段能组成三角形的是（)

A.3,4,8B.5,6,11C.5,6,10D.5,5,10

8.一组数据4、5、6、a、b的平均数为5,贝h7、〃的平均数为（）

A.4B.5C.8D.10

9.家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件,已知扇形的圆心角/BAC=

90°,则扇形部件的面积为（）

B.L乃米2C.1乃米2

A.—7C米2D.-71米2

24816

10.一次函数y=3x+b（620）的图象一定不经过（)

A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

AT）7

11.如图，在AABC中，点。、E分别在边A3、AC上，"DE//BC,—=一，DE=6cm,则BC的长为

DB3

（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

12.已知抛物线），=加+加+。（心0）经过点（1,0）和点（0,-3）,且对称轴在y轴的左侧，则下列

结论错误的是（）

A.a>0

B.a+b—i

C.抛物线经过点（一I,0）

D.关于x的一元二次方程“+法+c=—1有两个不相等的实数根

第H卷非选择题（共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.计算：—12+|—2023—.

14分解因式：ab2-a=______.

15.如图，点A在反比例函数y=K（x>0）的图象上，过点4作轴于点B,若△OAB的面积为

16.如图，8是平面镜，光线从A点出发经CO上点。反射后照射到B点，若入射角为a,反射角为0

（反射角等于入射角），ACLCQ于点C,BOLCQ于点O,且AC=3,BD=6,8=12,则tana的值为

4

17.如图，OO的直径经过弦CO的中点“，若cosNCDB=《,BD=5,则。。的半径为.

三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.解方程：壮一2%—3=0

52m—4

19.先化简，再求值：（加+2+^—>1,其中机为满足一IV机<4的整数.

2-m3-m

20.为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展.某中学团委组建了各种兴趣社

团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中

选择其中1个社团.某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统

计图.请根据统计图提供的信息完成下列各题：

上人数

书法86

6

\10%4

舞蹈、/

212

美术180

6

声乐/\4

24%/双».I.2

/演讲0

团

那

法

社

V/16%奉E

美术演讲声乐臼

图

（1）该班的总人数为人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；

（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团如果该班班主任

要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术

社团、1人参加演讲社团的概率.

21.去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面

上的点8处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在8

处测得8c与水平线的夹角为45°,塔基4所在斜坡与水平线的夹角为30°,4、8两点间的距离为16

米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）.

22.在RfZVlBC中，ZBAC=90°,。是8C的中点，E是4。的中点，过点A作4尸〃BC交CE的延长线

于点F.

（1）求证：四边形AO8F是菱形；

（2）若AB=8,菱形ADB尸的面积为40,求AC的长.

B卷（共50分）

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.已知实数“、6满足"一6=4,则代数式/-3/+4-14最小值是

24.如图，在边长为1的正方形网格中，。。是△4BC的外接圆，点A,B,。在格点上，则cosNACB的

值是.

五、解答题（共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25.为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强

中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购大B

两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球

拍和2副B型羽毛球拍共需264元.

(1)求A、B两种类型羽毛球拍单价.

(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量

的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由.

26.阅读材料：

bc

材料1：若关于X的一元二次方程滤+法+。=0(々WO)的两个根为X1,尤2,则即+12=--，X]X2=—

aa

材料2：己知一元二次方程12—x—1=0的两个实数根分别为加，n,求"?2〃+"序的值.

解：・・•一元二次方程/一元一1=0的两个实数根分别为如小

.\m+n=lfmn=~\,

则“2〃+,%/=/7m(〃?+〃)=-1X1=-1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程Zv2—?%—1=0的两个根为Xl,X2,则汨+12=；X\X2=.

nm

(2)类比应用：已知一元二次方程合2—3%一1=0的两根分别为加、〃，求一+一的值.

mn

(3)思维拓展：已知实数s、f满足2s2—3S—1=0,2产-3f—l=0,且sWf,求工一！的值.

st

27.如图，已知半径为5的。M经过x轴上一点C,与y轴交于A、B两点，连接AM、AC,AC平分

(1)判断0M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

(3)连接并延长交圆M于点。，连接C。，求直线C£＞的解析式.

28.在平面直角坐标系wy中，已知抛物线y=—/+bx+c经过点A(―1,0)和点B(0,3),顶点为

C,点。在其对称轴上，且位于点C下方，将线段OC绕点。按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上

的点P处.

y

(i)求抛物线的解析式；

(2)求点尸的坐标；

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点0,这时点尸落在点E的位置，在y轴上是否存在点M,使得MP

+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(共12个小题，每小题4分，共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是

正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.

1.一2022的相反数是()

A.2022B.-2022C.———

20222022

【答案】A

【解析】

【分析】根据相反数的意义即只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答.

【详解】解：-2022的相反数是2022,

故选：A.

【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键.

2.如图所示的几何体的主视图是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据主视图的定义（从正面观察物体所得到的视图叫主视图）即可得.

【详解】解：这个几何体的主视图是

故选：C.

【点睛】本题考查了主视图，熟记定义是解题关键.

3.我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个数用科学记数法

表示为（）

A.8.0917X106B.8.0917X105C.8.0917X104D.8.0917X103

【答案】C

【解析】

【分析】根据科学记数法的定义即可得.

【详解】解：科学记数法：将一个数表示成ax10"的形式，其中1W同<10,〃为整数，这种记数的方法

叫做科学记数法，

则80917=8.0917x1（）4,

故选：C.

【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成ax10〃的形式，其中

i<H<io,〃为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键.确定〃的值时，要看把原数变成

。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

4.如图，直线。〃6c是截线，若/1=50°,则/2=（）

1a

b

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【解析】

【分析】如图(见解析)，先根据平行线的性质可得/3=/1=50。，再根据对顶角相等即可得.

【详解】解：如图，•.•a|g,Nl=50。，

.•.N3=Nl=50°,

由对顶角相等得：N2=N3=50°,

【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

5.化简：正2)2=()

A.±2B.-2C.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先计算(-2)2=4,再求算术平方根即可.

【详解】解：7(-2)2=74=2,

故选：D.

【点睛】本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.

6.分式」一有意义的条件是()

3+x

A.x=—3B.xW—3C.xW3D.xWO

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的分母不能为0即可得.

【详解】解：由分式的分母不能为0得：3+XW0,

解得xw—3,

即分式一—有意义的条件是X。一3,

3+x

故选：B.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键.

7.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,11C.5,6,10D.5,5,10

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得.

【详解】解：A、3+4=7<8,不能组成三角形，此项不符题意；

B、5+6=11,不能组成三角形，此项不符题意；

C、5+6=11>10,能组成三角形，此项符合题意；

D、5+5=10,不能组成三角形，此项不符题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键.

8.一组数据4、5、6、a、匕的平均数为5,则a、b的平均数为（）

A.4B.5C.8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】先根据平均数的公式可得。+人的值，再根据平均数的公式即可得.

【详解】解：•••一组数据4、5、6、a、b的平均数为5,

4+5+6+。+力

/.--------------------=5，

5

解得a+b=10,

则。、匕的平均数为"2=3=5,

22

故选：B.

【点睛】本题考查了求平均数，熟记平均数的计算公式是解题关键.

9.家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角

90°,则扇形部件的面积为（）

A

A.L万米2B.L万米2C.1万米2D.」"万米2

24816

【答案】C

【解析】

【分析】连接BC,先根据圆周角定理可得BC是。。的直径，从而可得BC=1米，再解直角三角形可得

AB=AC=，2米，然后利用扇形的面积公式即可得.

2

【详解】解：如图，连接BC,

A

•.♦NWC=90°,

3c是。。的直径，

.,.8C=1米，

又•.•A5=AC,

:.ZABC=ZACB=45°,

AB=AC=BC-sinZABC=—（米），

2

则扇形部件的面积为9°7X（3）21（米2）,

------------——=-n

360------8

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆周角定理和扇形

的面积公式是解题关键.

10.一次函数y=3x+b（620）图象一定不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案.

【详解】解：一次函数y=3x+b(020),

'：k=3X)

图象一定经过一、三象限，

.•.当6X)时，函数图象一定经过一、二、三象限，

当匕=0时，函数图象经过一、三象限，

函数图象一定不经过第四象限，故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.

AZ)2

11.如图，在△ABC中，点。、E分别在边48、AC上，若DE〃BC,——=-,Z)£=6cm,则BC的长为

DB3

()

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【答案】C

【解析】

AnDFAD2

【分析】根据平行得到根据相似的性质得出——,再结合——DE=

ABBCDB3

6cm,利用相似比即可得出结论.

【详解】解：••,在△A8C中，点。、E分别在边A8、AC上，若DE〃BC,

;.ZADE=NB，

•.4=ZA,

:.DADE〜DABC,

ADDE

,AB-BC'

AD2

,,,---—一—,

DB3

DEADAD2

'~BC~~AB~AD+DB-5'

DE-6cm，

5DE5x6

：.BC=15cm,

r

故选：C.

【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟

练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

12.已知抛物线y=ox2+bx+c（"0）经过点（1,0）和点（0,—3）,且对称轴在y轴的左侧，则下列

结论错误的是（）

A.a>0

B.a+b=3

C.抛物线经过点（一1,0）

D.关于x的一元二次方程c^+bx+c=-1有两个不相等的实数根

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论.

【详解】解：A、根据抛物线丫=以2+法+。SH0）经过点（1,0）和点（0,-3）,且对称轴在y轴的

左侧可知。>0,故该选项不符合题意；

a+8+c=0

B、由抛物线）二五+区+。（"0）经过点（1,0）和点（0,—3）可知〈，解得

c=-3

。+力=3,故该选项不符合题意；

C、若抛物线经过点（一1,0）,由抛物线y=ax2+〃x+c（4K0）经过点（1,0）,可得对称轴

-1+1

x=-^-=Q,但对称轴在y轴的左侧，则抛物线与x轴的另一个交点在（一1,0）左侧，故该选项符合

题意；

D、关于x的一元二次方程加+区+,=—1根的情况，可以转化为抛物线>=加+法+。（a<0）与直线

y=-l的交点情况，根据抛物线（"0）经过点（1,0）和点（0,—3）,-3<-1<0>

结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y=a?+〃x+cSWO）与直线丁=-1的有两个

不同的交点，故该选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根

与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键.

第n卷非选择题（共52分）

二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）

13.计算：一P+|—2023=.

【答案】2022

【解析】

【分析】先计算有理数的乘方、化简绝对值，再计算加法即可得.

【详解】解：原式=一1+2023

=2022,

故答案为：2022.

【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键.

14.分解因式：ah2-a=.

【答案】a(i+1)Cb-1).

【解析】

详解】解：原式=aS?-1)=。(4>+1)-1),

故答案为a(b+1)(b-1).

15.如图，点A在反比例函数丫=工(x>0)的图象上，过点4作轴于点B,若△OA8的面积为

【答案】6

【解析】

【分析】设点A的坐标为A(a/)(a>0,〃>0),则OB=a,AB=b,先利用三角形的面积公式可得

ab=6,再将点A(a,。)代入反比例函数的解析式即可得.

【详解】解：由题意，设点A的坐标为4”,份(a>0/>0),

•.,A5_Lx轴于点8,

OB=a,AB=b,

•••△Q45的面积为3,

:.-OBAB=-ab=3,

22

解得ab=6,

将点A(a,〃)代入y=与得：k=ab=6,

x

故答案为：6.

【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键.

16.如图，C力是平面镜，光线从A点出发经上点0反射后照射到8点，若入射角为a,反射角为B

（反射角等于入射角），AC，CO于点C,BOLCC于点O,且AC=3,80=6,8=12,则tana的值为

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得乙4=。，々=#，从而可得N4=N3,再根据

相似三角形的判定证出根据相似三角形的性质可得。。的长，然后根据正切的定义即

可得.

【详解】解：如图，由题意得：OPLCD,

QAC1CD,

:.AC\\OP,

:.ZA=a,

同理可得：4B=/3,

,1a=0、

..ZA=ZB，

在△AOC和△BOD中，，

AACO=ABDO=900

,\^AOC~ABOD,

.PCAC

'~6D~~BD"

•・•AC=3,BD=6,CD=12,OD=CD—OC,

.OC3

,12-OC~6f

解得0C=4,

经检验，0C=4是所列分式方程的解，

AOC4

贝NILItana=tanA==—,

AC3

故答案为:

coD

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键.

4

17.如图，。0的直径AB经过弦CO的中点”，若cos/CDB=g,BO=5,则。。的半径为.

【答案】y

【解析】

【分析】先由垂径定理求得8C=BO=5,再由直径所对圆周角是直角N4C8=90。，由余弦定义可推出sinA=

3,即可求得sinA=0^,然后由圆周角定理得NA=N。,，即可得二=』，即可求解.

5ABAB5

【详解】解：连接AC,如图，

•••。。的直径AB经过弦CC的中点H,

:・CH=DH,AB_LCD,

,BC=BD=5,

TAB是。。的直径,

・•・ZACB=90°,

NA=NO,

4

cosA=cosD=y,

.*.sinA=sinD=—

5

.5_3

••一,

AB5

.加竺

3

【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得/AC8=90。、乙4=/。是解题的关

键.

三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.解方程：x2—2x—3=0

【答案】玉=—1,尤2=3

【解析】

【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【详解】解：x2—2%—3=0＞

（x+l）（x-3）=O,

x+1=0或x-3=0,

x=-l或x=3,

故方程的解为X=-1,%=3.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式

法、换元法等）是解题关键.

19.先化简，再求值：（加+2+^S）2.m—14,其中加为满足一1＜加＜4的整数.

2-m3-m

【答案】—2m—6,当机=0时•，式子的值为-6；当加=1时，式子的值为-8.

【解析】

【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定"?的值，代入计

算即可得.

(根+2)(2—机)+52(m一2)

【详解】解:原式二

2-m2-m3—m

A-5、2(m-2)

=(------+-----)­—------

2-m2-m3-m

9-m22(/n-2)

2-m3—"2

_(m+3)(3-m)2(m-2)

2-m3-m

=—2(+3)

=-2m-6,

,.,2-m0,3—m0,

/.m2,m3,

又•・・m为满足一1vmv4的整数，

m=0或加=1,

当租=0时，原式=-2m—6=-2x0—6=-6,

当根=1时，原式=—2加一6=—2x1—6=—8,

综上，当机=0时，式子的值为—6；当〃2=1时，式子的值为-8.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键.

20.为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展.某中学团委组建了各种兴趣社

团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中

选择其中1个社团.某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统

计图.请根据统计图提供的信息完成下列各题：

人数

168

4

2

0

8

6

4

2

0

(1)该班的总人数为.人，并补全条形图(注：在所补小矩形上方标出人数);

(2)在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团如果该班班主任

要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术

社团、1人参加演讲社团的概率.

【答案】(1)50,图见解析

【解析】

【分析】(1)用参加声乐社团人数除以声乐社团人数占的百分比，即可计算出全班总人数，再用全班总人

数乘以参加演讲社团人数占的百分比，即可求出参加演讲社团人数，然后补全条形统计图即可;

(2)用画树状图法求解即可.

【小问1详解】

解：该班的总人数为：12+24%=50（人）,

参加演讲社团人数为：50x16%=8（人），

补全条形图为：

8

6

4

2

0

8

6

4

2

0

解：画树状图为：（用A表不参加美术社团、用8表不参加声乐社团，用C、C表不参加演讲社团）

ABCC

ZN/K

BCCACCABCABC

共有12种等可能的结果数，其中所抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的结果数为

4,

41

所以所抽取两名学生恰好都来自初三年级的概率=一=

123

【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用画树状图法或列表法求概率，从统计图中获取到有用的信

息和掌握用画树状图法或列表法求概率是解题的关键.

21.去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面

上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在8

处测得8c与水平线的夹角为45°,塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°,A、B两点间的距离为16

米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）.

【答案】（8+86+8C）米

【解析】

【分析】过点B作8。，4c于点。，在RtAMD和RtzJSCD中，分别解直角三角形求出

ARBRCRBC的长，由此即可得.

【详解】解：如图，过点B作8OLAC于点。，

由题意得：AB=16米，NCB0=45o,NE=3O°,AC，所，

BD||EF,

:.ZABD=NE=30。,

在RtAAB。中，A£>=2A8=8米，8。=A8-cosNAB£>=86米，

2

在RtABC。中，CD=BD•tanNCBD=86米，BC=—=86米,

cos"NC一BD

则AO+CO+8C=8+8G+8指(米)，

答：压折前该输电铁塔的高度为(8+86+8遥)米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键.

22.在心ZVIBC中，ZBAC=90°,。是8c的中点，E是A。的中点，过点4作45〃8c交CE的延长线

于点F.

(1)求证：四边形AO8F是菱形；

(2)若48=8,菱形AOB尸的面积为40,求AC的长.

【答案】(1)见解析(2)10

【解析】

【分析】(1)证AAEF丝△OEC(AAS),得AAEF咨ADEC(AAS),再证四边形AOB尸是平行四边形，然

后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AO=BD=gBC,即可由菱形判定定理得出结论；

(2)连接O尸交A8于O,由菱形面积公式S翊如用产•。/=40,求得。。长，再由菱形性质得

2

OA=OB,证得0。是三角形的中位线，由中位线性质求解可.

【小问1详解】

证明：是A£>的中点，

：.AE=DE

'：AF//BC,

：.NAFE=NDCE,

在AAEF和gEB中，

ZAFE=NDCE

<ZAEF=2DEC,

AE=DE

:.△AE34DEC(AAS),

J.AF^CD,

是BC的中点，

：.CD=BD,

：.AF=BD,

四边形ADBF是平行四边形,

•?ZBAC=90°,

•.•。是BC中点，

:.AD=BD二BC,

四边形AO8尸是菱形；

【小问2详解】

解：连接。尸交A8于0,如图

由（1）知：四边形AO3F是菱形，

.,.ABLDF,。4二AB=；x8=4,5菱形ADBF=一AB-DF=40,

222

—DFx8=40,

2

：.DF=\Of

/.OD=59

•.•四边形ADBF是菱形，

是AB的中点，

•••。是8c的中点，

是△8AC的中位线，

：.AC=2OD=2x5=\0.

答：AC的长为10.

【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中

线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.

B卷（共50分）

四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）

23.已知实数a、b满足。一左=4,贝IJ代数式/_3/+4—14最小值是.

【答案】6

【解析】

【分析】根据4—加=4得出"2=4—4，代入代数式/—3炉+。—14中，通过计算即可得到答案.

【详解】'.'a-b2=4

b2=a-4

将廿=。-4代入〃2—3"+。一14中

得：a2—3b2-ha_14=a2—3（a—4）+tz—14=a2—2a—2

-2=〃--2a+1—3=（a—1）—3

Vb2=a-4>0

.".a>4

当a=4时，（。一1）--3取得最小值为6

二"-24-2的最小值为6

ci1—3/+a—14=a2—2a—2

a2—3b?+a—14的最小值6

故答案为：6.

【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解.

24.如图，在边长为1的正方形网格中，。。是AABC的外接圆，点A,B,。在格点上，则cos/ACB的

【答案】浏3

13

【解析】

【分析】取AB中点。，由图可知，AB=6,AQ=B£>=3,0D=2,由垂径定理得ODUB,则。B=

___________QJJ22-\/o

\IOD2+BD2=V22+32=V13-cosZZ)(9B=--=-==—,再证N4C8=NO°8,即可

OB71313

解.

【详解】解：取A8中点。，如图，

由图可知，AB=6,AD=BD=3fOD=2f

：.ODA.AB,

・・・ZODB=90°,

I----------------r-「OD22V13

•••OB=y/OD2+5Z)2=V22+32=V13-cosZDOB=--=-==——，

Ub71313

,.・。4=0—

：.ZBOD=^ZAOB,

•：NACB=gZAOH,

：.ZACB=ZDOB,

cosZACB=cosZDOB=,

13

故答案为：MI.

13

【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，取A8中点O,得知△OQB是解题

的关键.

五、解答题(共4小题，共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

25.为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强

中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B

两种类型的羽毛球拍，已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球

拍和2副B型羽毛球拍共需264元.

(1)求A、8两种类型羽毛球拍的单价.

(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于8型羽毛球拍数量

的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由.

【答案】(1)A型羽毛球拍的单价为40元，8型羽毛球拍的单价为32元

(2)最省钱的购买方案是采购20副A型羽毛球拍，10副B型羽毛球拍；最少费用为1120元，理由见解析

【解析】

【分析】(1)设A型羽毛球拍的单价为x元，8型羽毛球拍的单价为V元，根据“购买3副A型羽毛球拍

和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元”建立方程组，解

方程组即可得；

(2)设该班采购A型羽毛球拍加副，购买的费用为W元，则采购B型羽毛球拍(30-〃?)副，结合(1)

的结论可得W=8,〃+96O,再根据“A型羽毛球拍的数量不少于8型羽毛球拍数量的2倍”求出机的取值范

围，然后利用一次函数的性质求解即可得.

【小问1详解】

解：设A型羽毛球拍的单价为x元，8型羽毛球拍的单价为>元,

'3x+4y=248

由题意得:

5x+2y=264

x=40

解得<

3=32

答：A型羽毛球拍的单价为40元，8型羽毛球拍的单价为32元.

【小问2详解】

解：设该班采购A型羽毛球拍加副，购买的费用为W元，则采购8型羽毛球拍(30-m)副,

由(1)的结论得：W=40/n+32(30-m)=8/n+960,

A型羽毛球拍的数量不少于8型羽毛球拍数量的2倍，

m>2(30-m)

30-/n>0

解得20W/n<30,

在20Wm<30内，W随团的增大而增大，

则当加=20时，W取得最小值，最小值为8x20+960=112(),

此时30—加=30—20=10,

答：最省钱的购买方案是采购20副A型羽毛球拍，10副B型羽毛球拍；最少费用为1120元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，正确建立方程

组和函数关系式是解题关键.

26.阅读材料：

bc

材料1：若关于X的一元二次方程底+法+已二。（々WO）的两个根为XI,尤2,则即+12=----，X]X2=—

aa

材料2：己知一元二次方程/一五一1=0的两个实数根分别为〃?，*求加2〃+加序的值.

解：・・•一元二次方程/一工一1=0的两个实数根分别为加，小

/.m+n=l,mn=—\,

贝！J机2〃+加"2=机〃（〃[+〃）=—ixi=-1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

（1）材料理解：一元二次方程法2—?%—1=0的两个根为Xl,X2,则汨+及=；XlX2=.

nm

（2）类比应用：已知一元二次方程合2—3元—1=0的两根分别为小、小求一+一的值.

mn

（3）思维拓展：已知实数s、，满足2/—3s—1=0,2/2—3r—1=0,且sW。求1值.

st

31

【答案】（1）—；—

22

、13

（2）——

2

（3）JF7或

【解析】

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；

31nm

（2）根据根与系数的关系先求出加+〃=二，mn=一一，然后将一+一进行变形求解即可；

22mn

3111

（3）根据根与系数的关系先求出s+r=‘，st=—,然后求出s-r的值，然后将一一-进行变形求解即

22st

可.

【小问1详解】

解：,.,一元二次方程2x2-3x-l=0的两个根为xi,