2022年甘肃省武威高考数学四诊试卷（文科）（附答案详解）

2022年甘肃省武威十八中高考数学四诊试卷(文科)

1.设全集U=R,A={x}x2-x-6<0},B={x\y=ln(l-x)},则力D(CuB)=()

A.[1,3)B.(1,3]C.(1,3)D.(-2,1]

2.设复数z的共挽复数为N且满足z-2==,i为虚数单位，则复数z的虚部是()

1—1

A.-B.2C.--D.-2

22

3.已知函数/'(x)=log2。+,16-4巴则函数/(%)的定义域为()

A.(—oo,4]B.(―8,2]C.(0,2]D.(0,4]

4.“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长.

某同学为了测量澜飞湖两侧C,。两点间的距离，除了观测点C,。外，他又选了

两个观测点P1，P2,且Pj2=a,已经测得两个角NP1P2D=a,4P2P1D=B,由于

条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中

一组，就可以求出C,。间距离的有组()

①NDPiC和/OCR；②2c和NP[CP2；③ZP]。。和40cpi

A.0B.1C.2D.3

5.设向量方=(0,2),b=(2,2),则()

A.\a\=\b\B.(a-b)//b

C.五与方的夹角为：D.(a-b)la

6.已知双曲线三一三=l(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a=()

A.5B.6C.8D.9

7.在等比数列{%}中，a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值等于()

A.1B.--C.1或一三

22

8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥表面上的点M、N、

P、。在三视图上对应的点分别为A、B、C、D,且A、B、

C、。均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1,

则儿何体MNPQ的体积为()

9.已知角a的顶点与原点。合，始边与x轴的非负半轴重合，若它的终边经过点

A（L-3W"tan（a+9=（）

A.-B.--C.1D.-1

22

10.2021年电影春节档票房再创新高，其中电影《唐人街探案3》和《你好，李焕英》

是今年春节档电影中最火爆的两部电影，这两部电影都是2月12日（大年初一）首

映，根据猫眼票房数据得到如统计图，该图统计了从2月12日到2月18日共计7

天的累计票房（单位：亿元），则下列说法中错误的是（）

85.71

90单位：亿元78.23

8068.43―一0，

70

60

5057.31

4045.43..”''

30356937.33

2030.233337-----

1030.71，"…r

L25.8731.57

2，，8.37.一，-

_16吗———27.29

89：二

5.9315.87

2.91

苴18日

1202月13日2月14日2月15日2月16日2月17日2

-唐人街探案3你好，李焕英-•一总票房

A.这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过2.5亿元

B.这7天两部电影的累计票房的差的绝对值先逐步扩大后逐步缩小

C.这7天电影《你好，李焕英》的当日票房占比逐渐增大

D.这7天中有4天电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%

2

11.已知数列｛a”｝中，ar=1,Sn=|n-^-n,设垢=―-—,则数列｛九｝的前〃项和

22%即+1

为（）

A/B.C=D.上

371+1371+1371-23n—2

12.已知球。的半径为R,A,B,C三点在球。的球面上，球心。到平面ABC的距离

为AB=AC=3,^BAC=120°,则球。的表面积为（）

A.4871B.167rC.64TTD.36兀

,x+2yW2,

13.已知实数x,y满足约束条件xWy,一'，则z=3x+y的最大值等于.

,x+2>0,

14.已知向量为=（1,2）,b=（-3,4）.c=（2,-1）,若010—B）,则4=.

15.已知双曲线言-《=1上的点P到点（6,0）的距离为9,则点尸到点（一6,0）的距离为

1620

16.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两

个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米）,

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上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的外接球的表面积为平方

分米.

17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a",c,且a=7,b=3,而•而=-y；

（1）求△ABC的面积S；

（2）求角4的平分线AD的长.

18.“冰雪为媒，共赴冬奥之约”！第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日于

20日在北京举行，共有91个国家的代表团参加.各国运动员在赛场上全力以赴、

奋勇争先，为我们带来了一场冰与雪的视觉盛宴.本届奥运会前，为了分析各参赛

国实力与国家所在地区（欧洲/其它）之间的关系，某体育爱好者统计了近年相关冰雪

运动赛事（奥运会、世锦寒等）中一些国家斩获金牌的次数，得到如图茎叶图.

（1）计算并比较茎叶图中“欧洲地区"国家和“其它地区”国家获金牌的平均次数

（记为五、石）和方差（记为*、sl，保留一位小数），判断是否能由此充分地得出结

论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”，说明你的理由.

（2）记图中斩获金牌次数大于70的国家为“冰雪运动强国”，请按照图中数据补全

2X2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与

该国家所在地区（欧洲/其它）有关（假设该样本可以反映总体情况）.

n(adfc)2其中几

附：K2=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)'"T

欧洲地区其它地区

479

8052346

963779

64375

6421S01

297

P(K2>ko)0.100.050.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

非''冰雪运动强

“冰雪运动强国”合计

「丁’

欧洲国家

其它国家

合计

19.在如图1所示的梯形ABC。中，已知4D〃8C,AB1BC,AD=^BC=1,E为BC

的中点，将△DEC沿£>E折起，得到的如图2所示的四棱锥G-ABED,且如。1BE.

(1)证明：平面QDE_L平面ABED；

(2)若AC】=V6,求点E到平面4G。的距离.

20.已知椭圆C：A+《=l(a>b>0)的左、右焦点分别为居、F2,离心率为冬M

为C上一点，△M&F2面积的最大值为3g.

(1)求C的标准方程；

(2)设动直线/过尸2且与C交于A、B两点，过Fi作直线/的平行线匕交C于R、N

两点，记△RF2Z的面积为Si，4NFaB的面积为52,试问：Si+S2是否存在最大值？

若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.

21.函数/'(x)=+/_]nx(e为自然对数的底数)，。为常数，曲线/(%)在x=1处的

切线方程为(e+l)x—y=0

(团)求实数a的值；

(团)证明：/(%)的最小值大于：+ln2

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜产)(加为参数)，以坐标原

点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为pcos(0+

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(2)已知点P(2,0),若直线/与曲线C交于A,B两点,求||P川—的值.

23.已知函数/(x)=|x+1|

(1)求不等式/(x)<|2x+1|-1的解集;

(2)关于x的不等式/(x-2)+/(x-3)<a的解集不是空集,求实数a的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查描述法、区间的定义，以及一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及

交集、补集的运算.

可以求出集合4,B,然后进行交集、补集的运算即可.

【解答】

解：4={%]-2<x<3},B=(x\x<1},

CuB={x|x>1},AD(CuB)=[1,3).

故选：A.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

设2=。+儿但/€/?),z=a-bi,则z—2=2bi,然后利用复数代数形式的乘除运算

化简生，再由复数相等的充要条件即可得到b的值，则答案可求.

1-1

【解答】

解：设z=a+bWR),z=a-bi,则z-5=2bi.

l+i_(l+Y_2i即2bi=ifb=：.

d-(l-i)(l+i)-~2

则复数Z的虚部是：

故选：A.

3.【答案】C

【解析】解：由题意得：

d#"解得：°<"2,

故函数的定义域是(0,2],

故选：C.

根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可.

本题考查了对数函数的性质，考查二次根式的性质，是一道基础题.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了三角形的解法与应用问题，也考查了运算求解能力与推理判断能力，是中档

题.

由题意结合三角形内角和定理以及正线、余弦定理，逐一分析三个条件即可得出结论.

【解答】

解：在AP1P2。中，已知Pi「2=a，乙P1P2D=a,乙P2P1D=0,

由解三角形知识可得Pi。，及ZP1DP2.

①中，给出4DP1C和4DCP1，由一空七=一2夫,

11smzDPiCsin乙DCPi

可得C£>=°P「si弁",故由①可求得CQ；

sinzDCPi

②中，给出NP1P2c和NP1CP2,由亮号=3量7，

sinz■尸id?sinz>〃i尸2c

得pC_PLsin—iP2P

19

'-sin乙P1cp2

由NP1P2c和ZP[CP2，可得NP2P1C,减去口可得N0P1C,

在△DPiC中，由余弦定理可得CD,故由②可求得CD；

③中条件已知NPiDC和NDCPi，利用三角形内角和定理，可化为与①等价问题，也可求

得CD.

所以可求出C,。间距离的有3组.

故选：D.

5.【答案】D

【解析】解：向量a=(0,2),b=(2,2),

所以I方|=2,|/)|=V22+22=2V2,|a||K|,选项A错误;

因为石=(一2,0),且一2x2-2x0=-4H0,

所以0—办与石不平行，选项3错误：

▼-7*ab0x24-2x2V2

又COS<Q,b>=—r-=

|a|x|&|o2X2V22

所以五与E的夹角为％选项c错误；

4

由0—b)•云=—2x0+0x2=0,

所以五，选项。正确.

故选：D.

根据平面向量的坐标表示与数量积运算，分别对选项中的命题判断正误即可.

本题考查了平面向量的坐标表示与数量积运算问题，是基础题.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

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本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.

由双曲线方程求得双曲线的实轴与虚轴长，再由题意列关于4的方程求解.

【解答】

解：双曲线三一三=l(a>4)的实轴长是虚轴长是2k^,

由题意可得，2/a+4=6'a—4,解得Q=5.

故选：A.

7.【答案】C

【解析】解：•・•在等比数列｛an｝中，的=7,S3=21,

.•.『可=7上2犷化简得2q2—q—l=0,

+axq+%q=21

解得q=1或一点

故选：C.

根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出公比q的值.

本题考查等比数列的通项公式，以及方程思想,若利用等比数列的前n项和公式遗忘q=

1的情况，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意，三视图的直观图如图：该三棱锥表面上

的点M、N、P、Q在三视图上对应的点分别为

A、B、C、D,几何体MNPQ如图：

几何体的体积为：ix|x2x2xf=i

故选：c.

画出三视图的直观图，利用已知条件求解几何体的体积即可.

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题

的关键，是中档题.

9【答案】B

【解析】解：因为角a的顶点与原点。合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过

点力(1,一3),

所以tana——3,

匚「1、1八，.九、tana+1-3+11

所以tan(a+-)=-------=---=

'4y1-tana1-(-3)2

故选：B.

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tana的值，进而根据两角和的正切公式即可

求解.

本题主要考查任意角的三角函数的定义与两角和的正切，考查学生的数学运算能力和逻

辑推理素养，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：对于A,由折线图可知，这7天电影《你好，李焕英》每天的票房都超过

2.5亿元，故A正确，

对于8,由折线图y轴方向的间隔差可知，7这天两部电影的累计票房的差的绝对值先

逐步扩大后逐步缩小，故B正确，

对于c,估算可得，故这7天电影《你好，李焕

173145S#57oo7ooo

英》的当日票房占比逐渐增大，故C正确，

对于C,电影《唐人街探案3》的当日票房占比超过50%仅有3天，故力错误.

故选：D.

根据已知条件，结合折线图中的数据信息以及变化趋势，即可依次求解.

本题考查了频率分布折线图的应用，需要学生具备数形结合的能力，属于基础题.

11.【答案】A

【解析】解：由题意，当n22时，

22

an=Sn-Sn_i=|n-|n-[|(n-I)-1(n-1)]=3n-2,

当？1=1时，=1也符合上式.

A=3n—2,neN*.

Tn=b1^b2+,・・+%

一（1----------

3i3n+1

3n4-1

故选：A.

本题先根据公式a.=＞可计算出数列｛斯｝的通项公式；然后计算出数列

｛%｝的通项公式，然后运用裂项相消法求出前"项和〃，即可得出正确选项.

本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前"项和.考查了转化思想，逻

辑思维能力和数学运算能力.本题属中档题.

12.【答案】4

第8页，共15页

【解析】解："AB=AC=3,Z.BAC=120",

.♦.在△ABC中由余弦定理可得BC=V9+9-2x3x3xcosl200=373,

设44BC的外接小圆半径为r,则由正弦定理可得2r=-^―=等=6,

sxn£BACV3

2

•••r=3,又球心。到平面ABC的距离为：R,r=^R,

=3,•••R=2V3,

•••球O的表面积为4兀R2=4兀x12=487r.

故选：A.

先由余弦定理求出BC,再由正弦定理求出△ABC的外接小圆半径r,再由球心。到平

面ABC的距离为可得r=^R,从而求出R,最后代入球的表面积公式即可求解.

本题考查正弦定理，余弦定理，球的表面积公式，属基础题.

13.【答案】|

【解析】解：由约束条件作出可行域如图，

联立工力=2,解得吗|)，

由z=3x+y,得y=-3x+z,由图可知，当直线y=-3%+z过A时，

直线在)，轴上的截距最大，Z有最大值为：3x|+|=|.

故答案为：

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最

优解的坐标代入目标函数得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

14.【答案】一：

【解析】解：向量五=(1,2),b=(-3,4),c=(A,-l),

(a-c)l(a—b),

(a-c)=(1-2,3),(a-b)=(4,-2),

(a-c)1(a-b)=(1-A)x4+3x(-2)=0,

求得4=-|，

故答案为：一点

由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得4的值.

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题.

15.【答案】17

【解析】解：双曲线]一t=1,可知a=4,c=6,

1620

焦点坐标(±6,0),双曲线马一号=1上的点尸到点(6,0)的距离为9,2a+c=14>9,

所以P在双曲线的右支上，

由双曲线的定义可知：则点尸到点(一6,0)的距离为：2a+9=17.

故答案为：17.

利用双曲线的定义的转化求解即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线定义的应用，是基础题.

16.【答案】337r

【解析】解：设该方斗的高为〃，

由于一个方斗的容积为28升，上底边长为4分米，下底边长为2分米，

如图所示：

所以V=[.(42+22+V42x22),h=28,解得九=3.

设方斗的外接球的半径为广，球心到边长为4的下底面的距离为x,到边长为2的上底

面的距离为3

所以(2应产+/=(鱼)2+(3-乃2,

解得％=p

所以球的半径为丁=](2位)2+($2=后.

所以S=47r(后A=337T.

故答案为:337r.

第10页，共15页

首先求出台体的高，进一步求出完结球的半径，进一步求出球的表面积.

本题考查的知识要点：台体的体积公式的应用，外接球的球体的体积的公式的应用，主

要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题.

17.【答案】解：（1）因为尼•丽=一?，所以abcos（兀一C）=一日，即abcosC=弓，

又a=7,b=3,所以cosC=L,

14

因为。£（0,乃），所以sinC=，）一cos2c=等,

所以S=-absinC=工x7x3x—=

22144

⑵由余弦定理得，c2=a2+b2-2abcosC=494-9-2x7x3x^=25,所以c=5,

所以8‘4=甘=后，

因为4€（0,兀）,所以4=等

因为S=S4ABD+SAACD=^C-AD-sin^+^b-AD•sin?,

所以改=L5.A。.sin巳+'3•40•sin二，

42323

解得4。=唱

o

【解析】（1）利用平面向量数量积化简尼•演=-小可求得cosC=*,进而知sinC的

值，再由S=gabsinC,得解；

（2）先由余弦定理求出c=5,再利用余弦定理求得cosA的值，然后根据S=SMBD+

S^ACD,并利用三角形的面积公式，得解•

本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形的面积公式，平面向量数量积是解题的

关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】解:（1）由茎叶图中数据，得五=75,焉=65,si=鼻£上式/一看尸x139.3,

2

si=［温（演-x2）»194.9,

可以得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其他国家”，

因为五〉E，s*<sg,这足以说明欧洲国家的实力更强劲、发挥更稳定.

⑵由题意得2x2列联表如下：

冰雪运动强国非冰雪运动强国合计

欧洲国家8311

其它国家41014

合计121325

由独立性检验，《2的观测值K2=25X(8X10-3X4)2之4丑管＜5.024,

11X14X13X12

所以没有97.5%的把握认为一个国家是否为“冰雪运动强国”与该国家所在地区(欧洲/

其它)有关.

【解析】(1)根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解，再结合平均数和方差

的意义，即可得出结论“欧洲国家的冰雪运动实力强于其它国家”.

(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解.

本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题.

19.【答案】解：(1)vAD=\BC,AD//BC,AB1

BC,E为BC的中点，

二四边形ABED是矩形，BE1DE,

•••C]D±BE,CyDr\DE=D,BE_1"平面GDE,

•••BEu平面ABED.•.平面&DE_L平面/BED.

(2)vAD//BE,：.ADJL平面C/E,二AD1JD,

在4ADC1中，3=yjAC^-AD2=V5,

在梯形A8CD中，vDE1EC,：-DE=

y/CD2-EC2=2,

连接AE,设点E到平面AG。的距离为d,

则-RD=9*Gx1x遥)d=?d,

^1-AD£=|X(1X1X2)X1=|)

由得d=^

635

【解析】(1)通过证明BE，平面CiDE来证明平面GDE_L平面ABED；

(2)结合等体积法求得点E到平面AG。的距离.

本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查面面垂直的判定与性质、

点到平面的距离、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)设椭圆C的半焦距为c,

由题意，可知△M&F2面积的最大值为历，

(be=3次

所以,£=包,解得a=2g,b=V3,c=3,

la2=b2+c2

所以椭圆的方程为《+?=1.

(2)当直线/的斜率存在时，设直线/方程为y=k(x-3),(fc*0),4孙力),B(x2,y2),

(y=k(x-3)

联立,二，得(1+412)%2一24/£2%+36卜2-12=0,

(石+T-

第12页，共15页

所以△=48(1+fc2)>0恒成立,

36k2-12

所以1]+&=币位，/打二77次

由2'〃，，可知S^RFzA=S△QF®SANF?B=

所以SI+S2=s&F1F2A+S&F1F2B-2l&Fzl，|力一力I

=3|/C|.|X1-X2|=3\k\-怨:詈=12V3x

所以Si+S2=12V3x点W12V3x矗=6,(当且仅当产=3时取等号)，

即1+*=3,上=±争1寸，S1+S2取得最大值，最大值为6,

当直线/的斜率不存在时，不妨设做3,苧)，8(3,—务R(-3,坐,N(—3,-务

则S]+$2=3V3<6,

综上，当k=±4时，S1+S2取得最大值，最大值为6.

【解析】(1)将离心率，△尸2面积的最大值用小b,c表示出来，结合“，"c之间

的关系，联立求解，解得a,b,c的值，从而求出椭圆C的标准方程.

(2)分两种情况：直线/的斜率存在和直线/的斜率不存在，求Si+S2,结合基本不等式，

即可得出答案.

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档

题.

21.【答案】解：(回)对/'0)求导可得/0)=。蜻+2¥—3所以/''(1)=ae+l.

由曲线/(%)在％=1处的切线方程为(e+l)x—y—0可知ae+1=e+1,故a=1.

(团)证明：由(团)知/Q)=ex4-%2-Inx,得/'(%)=ex4-2%-

令g(x)=fr(%)=e"+2x-：，

求导易知g'(x)=e*+2+点>0,所以/'(%)在(0,+8)上单调递增，

注意到f(i)=eZ4-i-4<0/(}=e"-2>0,

所以由零点存在性定理可知存在沏GG，},使得尸(&)=0,

即e*。+2x——=0,即e*。=——2x.

0XQXQ0

当0<xV%o时，/(%)单调递减；当%时，f(%)单调递增，

xlnx2

于是/(X)Nf(%o)=eo+%o-o=­-2x0+%o-lnx0=(x0-l)+--lnx0一