新教材人教b版选择性必修第二册3.1.1第1课时基本计数原理学案

第三章排列、组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1基本计数原理第1课时基本计数原理课标解读课标要求素养要求1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.正确理解“完成一件事”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类"或“分步".3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题、解决涂色、组数、抽取（分配）等一些综合问题1.逻辑推理——能用归纳法推出两个计数原理，能合理分类或分步解决涂色、组数、抽取（分配）等一些综合问题.2.数学运算——借助两个计数原理，计算一些实际问题的完成方法种数自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=①m要点二分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=②m自主思考1.从A地到B地，共有两类不同的方案，方案1中为公路路线，共有4条，方案2中为火车路线，共有2条，那么从A地到B地有几种办法？答案：提示2种办法：公路路线、火车路线.2.如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条.现从A村经B村去C村，那么从A村沿北边道路到B村后，任务是否完成？答案：提示没有，只是完成了第一步.名师点睛1.两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果（最后一步除外），任何一步都不能独立完成这件事，只有每一步都完成了，这件事才能完成区别二各类办法之间是互斥的、并列的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复联系两个计数原理都是用来计算做一件事情的不同方法种数2.分类的条件分类时要满足两个条件：①类与类之间要互斥（保证不重复）；②总数要完备（保证不遗漏），也就是要确定一个合理的分类标准.3.分步的要求分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.4.解含有特殊对象、特殊位置的计数问题的方法解含有特殊对象、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊对象、确定特殊位置，再考虑其他对象、其他位置，体现出解题过程中的主次思想.互动探究·关键能力探究点一分类加法计数原理的应用精讲精练例（1）如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递，求单位时间内传递的最大信息量；（2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？答案：（1）传递信息的路径可分四类：第一类，路径为A→C→E→B，单位时间内传递的最大信息量是3；第二类，路径为A→C→F→B，单位时间内传递的最大信息量是4；第三类，路径为A→D→G→B，单位时间内传递的最大信息量是6；第四类，路径为A→D→H→B，单位时间内传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递的最大信息量是3+4+6+6=19.（2）解法一：按十位数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个.解法二：按个位数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9的情况分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1+2+3+4+5+6+7+8=36个.解题感悟利用分类加法计数原理计数时的解题步骤提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事.迁移应用1.某学生在书店发现了2本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()种种种种答案：C解析：分两类：买1本书或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2+1=3种.故选C.2.三个袋子中分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个.若从三个袋子中任取1个小球，则有种不同的取法.答案：15解析：有三类不同的取法：第一类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第二类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第三类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法.其中，从任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6+5+4=15种.探究点二分步乘法计数原理的应用精讲精练例一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上都有0~9这十个数字，这4个拨号盘从左到右可以组成多少个四位号码（各位上的数字允许重复）？答案：按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1=10第二步，有10种拨号方式，所以m2=10第三步，有10种拨号方式，所以m3=10第四步，有10种拨号方式，所以m4根据分步乘法计数原理，共可以组成10×10×10×10=10000个四位号码.解题感悟1.应用分步乘法计数原理时，完成一件事要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，每个步骤缺一不可.2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路：（1）分步：将完成一件事的过程分成若干步；（2）计数：求出每一步中的方法数；（3）结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果.迁移应用1.从-2，-1，0，1，2，3这六个数中任选3个不重复的数作为函数y=ax2+bx+c中a,b,c答案：100解析：由题意知a不能为0，故a的值有5种选法，b的值也有5种选法，c的值有4种选法.由分步乘法计数原理得，可组成抛物线5×5×4=100（条）.2.张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债.定期储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种.问：张涛共有多少种不同的理财方式？答案：由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成.第一步，将一部分钱用来定期储蓄，有2种理财方式；第二步，用另一部分钱购买国债，有3种理财方式.由分步乘法计数原理，得共有2×3=6种不同的理财方式.探究点三两个计数原理的综合应用精讲精练例（1）（2020河南商丘模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物玩偶各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学喜欢每一个吉祥物，如果让三位同学都选取到各自喜欢的礼物，则不同的选法有()种种种种（2）在某校举行的羽毛球单打比赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止.若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有()种种种种答案：（1）B（2）D解析：（1）若甲同学选择牛的吉祥物玩偶，则乙有2种选择，丙有10种选择，不同的选法有1×2×10=20种；若甲同学选择马的吉祥物玩偶，则乙有3种选择，丙有10种选择，不同的选法有1×3×10=30种.故共有20+30=50种选法.（2）分三种情况：恰好打3局（一人赢3局），有2种情形；恰好打4局（一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢），共有2×3=6种情形；恰好打5局（一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢），共有2×4×32=12种情形，则所有可能出现的情形共有2+6+12=20种解题感悟1.当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法.2.分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.3.混合问题一般是先分类再分步.迁移应用1.高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的半身裙、2件不同样式的连衣裙.现需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣搭配方式有种.答案：14解析：穿衣搭配方式分两类：第一类：不选连衣裙有4×3=12种搭配方式.第二类：选连衣裙有2种搭配方式.由分类加法计数原理知，共有12+2=14种搭配方式.2.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？答案：依题意得，既会英语，又会日语的有7+3-9=1人，6人只会英语，2人只会日语.有两类选法：第一类：从只会英语的6人中选一人，有6种选法，此时选会日语的人有2+1=3种选法，由分步乘法计数原理可得N1=6×3=18第二类：从既会英语，又会日语的人中选一人，只有1种选法，此时选会日语的人有2种选法，由分步乘法计数原理可得N2=1×2=2综上可知，共有18+2=20种不同的选法.评价检测·素养提升课堂检测1.某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从这两类课程中选修一门，则不同的选法共有()种种种种答案：C解析：选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同方法，从B类课程中选1门有4种不同方法，∴不同选法共有3+4=7种.2.有5列火车要停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1条轨道上，则5列火车不同的停法共有()种种种种答案：A解析：先排第1条轨道，有4种停法，第2，3，4，5条轨道各有4，3，2，1种停法，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1=96种停法.3.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax+By=0中A，B的值，画方程对应的直线，则形成的不同直线有()条条条条答案：A解析：第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中A=1,B=2与A=2,B=4时，原方程是相同的方程；A=2,B=1与A=4,B=2时，原方程是相同的方程，故共有5×4-2=18条不同直线.4.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是平面上的点，a,b∈M（1）P(a,b)可表示平面上的多少个不同的点？（2）P(a,b)可表示多少个坐标轴上的点？答案：（1）完成这件事分为两个步骤：a的取法有6种，b的取法有6种，由分步乘法计数原理知，P点的个数为6×6=36.（2）可以分为三类：①x轴上的点（不含原点）有5个；②y轴上的点（不含原点）有5个；③既在x轴，又在y轴上的点，即原点也适合，有1个.根据分类加法计数原理，共有5+5+1=11个坐标轴上的点.素养演练逻辑推理——分类讨论求解排数与排队问题1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()个个个个答案：B解析：审：两个关键词：偶数、比40000大.联：偶数联想到末位应为偶数；比40000大则意味着首位不小于4.解：首位为5，末位为0：比40000大的偶数有4×3×2=24个；首位为5，末位为2：比40000大的偶数有4×3×2=24个；首位为5，末位为①4：比40000大的偶数有4×3×2=24个；首位为4，末位为0：比40000大的偶数有4×3×2=24个；首位为4，末位为②2：比40000大的偶数有4×3×2=24个.由分类加法计数原理，得共有24+24+24+24+24+24=120个.故选B思：（1）弄清完成一