2020中考数学典例精做专题13 抛物线与压轴题 (教师版)

二抛线等三形．如图，直线

与x、轴分别交于点、，对称轴为

的抛物线经过B、C点，x的另一个交点为A顶点为D、是该抛物线上的一个动点，过点PBDBC于F、G设点的坐标为．求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；

轴于点，别交线段求证：当

；；为等腰三角形时，求t的．【答案】

，坐为；

证明见解析；

证明见解析；

t的值为或．分三种情况讨论：Ⅰ若

则

；Ⅱ若Ⅲ若

则则

；；分别解方程可得.解：

直线

与x轴y轴交点坐标分别为

，．抛物线的对称轴为点A坐为

，设所求抛物线的函数关系式为

，1

把点

代入，得，解得．所求抛物线的函数关系式为：，．该抛物线的顶点D的坐标为．，．易得直线DB所应的函数关系式为．设点P坐标为，则，，，．，即．过点D作

轴，垂足为点H如图．分三种情况讨论：Ⅰ若

则，整理得，解得，Ⅱ若

舍去．则，整理得，2

解得，，

．这种情况不存在．．如图，平面直坐标系中，抛物线y=ax22与x轴于点AB（点A在点的侧y轴交于点（0﹣2，tan∠．（1求A、两的坐标（2求抛物线的解析式；（3点M、N分是线段BC、AB上动点，点M从出以秒

个单位的速度向点C运动，同时点N从A发以每秒2个单位的速度向点B运，当点MN中一点到达终点时，两点同停止运动点M作MP⊥x轴点抛线于点P点N的动时间为s为少时是等腰三角形？【答案）（，02

﹣x﹣2）t=1时是腰三角形．【解析0OC=2据∠BCO=可得点A坐标；

=2得OB=4得出点B坐由OB=4OA（2将点A、B坐标代入抛物线解析式求得、的值，从而得出答案；（3由题意知AN=2tt根据∠∠知

=

，求得OE=OB﹣﹣，从而得出﹣（4﹣t）+（﹣t）+2，分点N在点左和右侧两种情况，表示出NE的，利用3

NE=PE列程求解可得答案（2将点A（﹣1B（4，0代入2﹣2，得：，解得：，∴抛物线解析式为

﹣x﹣2；（3设点M、点N的动时间为t（AN=2tt，∵PE⊥x轴∴PE∥，∴∠∠，则tan∠∠BCO即

，∴

=

，即

=

，则，∴﹣﹣，∴﹣[（4t2（﹣t﹣2]=（﹣t+（4﹣t），①点在E左时，即1+2t＜4﹣t，解得t＜，此时NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣3t∵△等腰三角形，∴PE=NE，4

最大最大即﹣（4﹣）

+（﹣t）+2=5﹣，整理，得：2

﹣，解得：t=1或t=10（舍．如图，已知二次函数+bx+c的象与x轴交于A（﹣，0B（，）两点，与y轴交于点（，﹣3（1求这个二次函数的表达式；（2若P是四象限内这个二次函数的图象上任意一，⊥轴点H，与交点M连接．①求线段PM的大值；②PCM是为腰的等腰三角形时，求点P坐标．【答案）次函数的表达式y=x﹣﹣）PM；②（，﹣4）或（，

﹣15

1212312123②当PM=PC时n）+n﹣2n3+3，解得=0（不符合题意舍=2，

﹣2n﹣3=-3（，-3当PM=MC时n2+3n）2=n2+﹣3+32解得=0（不符合题意舍=3+

（不符合题意，舍

，

﹣2n﹣3=2-4

，（

，

综上所述：（2，﹣3）或三抛线直三形

，2

．如图，直线

与抛物线

相交于

和，点P是段AB上于A、的动点，过点作

轴于点，抛线于点．求抛物线的解析式；是否存在这样的点使线段的有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理6

由；连接AC直接写出

为直角三角形时点P的标．【答案）或P的标为

）当

时，线段最且为）

为直角三角形时，点(3)当PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情，需要分类讨论，分别求解．解：

在直线

上，，，，

在抛物线

上，，解得抛物线的解析式为设动点的标为，，

，；，则C点坐标为，

，7

当

，时，线段最且为；设直线AM解析式为：，则：，解得，直线AM解析式为：，又抛物线的解析式为：，联立

式，解得：

或

与点A重，舍去，当

，即点、M点合，时，，；8

若点为角顶点，则

．抛物线的对称轴为直线

，，如图，作点

关于对称轴

的对称点，则点C在物线上，且当时，，

，

，点、综上所述，

均在线段上为直角三角形时，P的坐标为

或．如图，在平面直角坐标系中，直线

与x轴于点与y轴交于C点抛物线经过、C点，与y轴的另一个交点为点AP为线段BC上个动点与点B点重合．求抛物线的解析式；设抛物线的对称轴与x轴于点D连结CD、，当

为直角三角形时，求点P的标；过点作

轴，交抛物线于点，如图，求

的最小值．9

【答案】

抛物线的解析式为；

点的标为

或；的最小值为．解：

直线

与x交于B点与轴于C点点B的标为抛物线

，点的标经过、C两，，解得：

，抛物线的解析式为

．抛物线的解析式为

，抛物线的对称轴为直线

，点的标为

．设点

的坐标为

过点

作

轴于

Q，则点10

．当

时，如图3，，∽，，即，

，综上所述，点的标为

或连接AE，交于F，在

的内部作，BH与AE交点H，点P，11

垂足为，连接PE如图5所．，，．点与、点A与B均于直线

对称，，

，，，当且仅当点与重时，等号成立．，，对称轴为直线，且点A的标为，，即的最小值为．

，，的最小值为5．已知，抛物线求抛物线的解析式；

经过点

和．在抛物线的对称轴上，是否存在点，存在，请说明理由；

的值最小？如果存在，请求出点P的标，如果不设点M抛物线的对称轴上，当

是直角三角形时，求点M的标．12

【答案

的值最小时P坐标为的坐标为、、

或

解：

将、

代入

中，得：，解得：抛物线的解析式为

，

．连接交物线对称轴于点，时

取最小值，如图所示．当解得：

时，有，，

，点的标为

．抛物线的解析式为

，抛物线的对称轴为直线

．设直线的析式为

，13

将得：

、

代入，解得：

中，，直线的析式为当时，

，

．当

的值最小时，点P坐标为

．综上所述：当

是直角三角形时，点M的坐标为、、

或．已知：如图，抛物线与标轴分别交于点A（，6（，﹣2，0是线段上抛物线上的一个动点．（1求抛物线的解析式；（2当点P动到什么位置时PAB的积有最大值？14

（3过点P的垂线，交线段点D再过点P做PE∥x轴抛线于点E连结，请问是否存在点PPDE为腰直角三角形？若存在，求出点的标；若不存在，说明理由．【答案）物线解析式为y=﹣x

+2x+6）t=3时的积有最大值）点P（4解）抛线过点（6，（﹣2∴设抛物线解析式为（x6x+2将点A，6代入，得：，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为﹣（﹣6x+2）﹣

；15

∴∴∴﹣MN=﹣+2t+6﹣（﹣）=﹣

6+t﹣﹣t2

+3t，PABPAN=•AG+PN•BM=（AG+BM）=•OB=（t2

+3t=﹣t2

=﹣（t﹣3）2

，∴当t=3时的积有最大值；（3如图216

四抛线图的积11．如图，已知二次函数的图象经过点

、

和原点

为二次函数图象上的一个动点，过点作x轴垂线，垂足为

，并与直线OA交点C．求直线和次函数的解析式；当点P在线OA的方时，当的最大时，求点的坐标；当

时，求点P坐标．17

【答案】，；；．解：，，，

轴，P在，，

上，在

上，，①

，当

时，的最大，；②当当

时，则有

时，即，，解得，

舍去，．．如图，已知抛物线

过点，，，点为D18

求抛物线的解析式；设点，

的值最小时，求m的；若P是物线上位于直线AC上的一个动点，求

的面积的最大值．【答案）））

配方，得作点于直线

，顶点D的标为的对称点，图19

则，可求出直线

，得，的函数关系式为

，当则

在直线

上时，．

的值最小，．如图，在平面直角坐标系中，顶点(41)的抛物线交轴点，交x轴，点(点在C的侧)已知C点标(，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)连结，过点B作段AB的线交抛物线于点D，如果以点C为心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线与⊙C的位置关系并加以证明；20

1212(3)已知点是物线上的一个动点，且位于A两之间．问：当点运动到什么位置时的面积最大？求的最大面积．【答案(1)y＝－x

＋－3(2)直线BDC相离．证明见解析(3)P点位置是(，)的最大面积是

（3）根据抛物线解析式设点P的标为x，-x2+2x-3点P作∥y轴直线AC于，出直线AC解析式并表示出点Q的标然后求出PQ的，再根据三角形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题确定出点的坐标，再求出纵坐标，即可得解．解：(1)y＝－x

＋2x(2)补全图形如图1判断：直线BD与C离．证明：令－

(x－＋10则＝2，x＝6.∴点(，．又∵抛物线交y轴点A，A点标(0－，∴AB＝＝设⊙C与对称轴l相于点，则⊙的径＝2作CEBD于E，则∠BEC∠AOB90°.∵∠＝90°∴∠CBE－∠ABO，21

又∵∠BAO－∠ABO，∴∠BAO＝∠，∴△AOB∽△BEC∴＝，∴＝，∴CE＝＞，∴直线BD与⊙C离.(3)如图，过点P作行于y轴的直线交AC于点Q，．如图①，在平面直角坐标系xOy中抛物线+bx+3经点A(-1，、B(3两点，且与y轴于点C（1求抛物线的表达式；（2如图②，用宽为4个位长度的直尺垂直于x轴并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q点（点在Q的侧接PQ在线段PQ上抛物线有一动点D连接、①若点的坐标为，面积的最大值，并求此时点D的标；②直尺在平移过程中DPQ面是有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.22

【答案）物线y=-x

+2x+3）①点D（PQD面的最大值为详解）A（，0B（3，）代入y=ax+bx+3，得：，解得：

，∴抛物线的表达式为2

．（2）当点P的坐标为-时，点的坐