新教材人教a版选择性必修第三册6.2.1-6.2.2第2课时排列的综合应用学案

第2课时排列的综合应用学习任务核心素养1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)通过排列知识解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养．类型1数字排列问题【例1】用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．[思路点拨]明确奇数和偶数的特点，注意“0”这个特殊元素，[解](1)第一步，排个位数，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种排法；第二步，排十万位，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种排法；第三步，排其他位，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种方法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝288个六位奇数．(2)法一(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))个；第二类，当个位不排0时，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))个．故符合题意的六位数共有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝504(个).法二(排除法)：0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．故符合题意的六位数共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))－2Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝504(个).(3)分三种情况，具体如下：(ⅰ)当千位上排1，3时，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))个．(ⅱ)当千位上排2时，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))个．(ⅲ)当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))个；形如41××的偶数有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))个；形如43××的偶数只有4310和4302这两个数．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋2Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))＋2＝110(个).1．(变设问)若例题中的条件不变，求能被5整除的五位数有多少个？[解]能被5整除的数字个位必须为0或5，若个位上是0，则有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))个；个位上是5，若不含0，则有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))个；若含0，但0不作首位，则0的位置有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种排法，其余各位有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))种排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝216个能被5整除的五位数．2．(变设问)本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项？[解]由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有3Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))个数，所以240135的项数是Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＋3Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＋1＝193，即240135是数列的第193项．,数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素．常用方法：主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”eq\a\vs4\al([跟进训练])1．用0，1，2，3，4五个数字，可组成多少个五位数？可组成多少个无重复数字的五位数？[解](1)各个数位上数字允许重复，故采用分步乘法计数原理，4×5×5×5×5＝2500个．(2)考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，其余四个位置，4个数字全排列为Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝96个；另外，也考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种填法，然后将其余4个数字在剩余四个位置上全排列为Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝96个．类型2排队、排节目问题排队问题【例2】有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法总数．(1)甲只能在中间或者两边位置；(2)男生必须排在一起；(3)男女各不相邻；(4)甲乙两人中间必须有3人．[解](1)根据题意，分2步进行分析：①甲只能在中间或者两边位置，则甲有3个位置可选，②将剩下的6人全排列，安排在剩下的6个位置，有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720种情况，则有3×720＝2160种不同的排法．(2)根据题意，分2步进行分析：①将3个男生看成一个整体，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种情况，②将男生整体与4名女生全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))种情况，则有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝720种不同的排法．(3)根据题意，分2步进行分析：①将4个女生全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))种情况，排好后，中间有3个空位可用，②将3个男生全排列，安排在3个空位中，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种情况，则有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝144种不同的排法．(4)根据题意，分3步进行分析：①将甲乙2人全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种情况，②排好后，在剩下的5人中任选3人，安排在甲乙两人之间，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种情况，③将排好的5人看成一个整体，与剩下的2人全排列，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种情况，则有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))×Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))＝720种不同的排法．排节目问题【例3】某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．[解](1)先排歌曲节目有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))种排法，再排其他节目有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))种排法，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝1440种排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目，有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排歌曲节目，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))种插入方法，所以共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝30240种排法．(3)两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2880种．,排队、排节目问题的解题策略(1)合理归类，要将题目大致归类，常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等，再针对每一类采用相应的方法解题．(2)恰当结合，排列问题的解决离不开两个计数原理的应用，解题过程中要恰当结合两个计数原理．(3)正难则反，这是一个基本的数学思想，巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．7名同学，站成一排：(1)甲站在最中间的排法共有多少种？(2)甲、乙两名同学相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？[解](1)先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列，共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720种排列方法．(2)先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2种方法，再与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720种方法，∴这样的排法一共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝1440种方法．(3)先将其余四个同学排好有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种方法，∴一共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝1440种．3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？[解]先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))·Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝604800(种).类型3排列问题的综合应用元素的“在”与“不在”问题【例4】3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中间也不站两端，则有________种不同的站法．2880[第一步，安排甲，在除中间，两端以外的4个位置上任选一个位置安排，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))种排法．第二步，安排其余6名，有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))种排法．由分步乘法计数原理知，共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝2880种不同排法．]固定顺序排列问题【例5】7人站成一排．(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时，有________种不同排法．(2)甲在乙的左边，有________种不同的排法．(1)840(2)2520[(1)法一：7人的所有排列方法有Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))种，其中甲、乙、丙的排序有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法共有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7)),Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)))＝840种．法二：(插空法)7人站定7个位置，只要把其余4人排好，剩下的3个空位，甲、乙、丙就按他们的顺序去站，只有一种站法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(7))＝7×6×5×4＝840种．(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等，而7人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有eq\f(1,2)Aeq\o\al(\s\up1(7),\s\do1(7))＝2520种．]分类讨论思想【例6】用1，3，6，7，8，9组成无重复数字的四位数，并由小到大排列，则第114个数是多少？[解]分以下几类：1×××型的四位数有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝60(个)；3×××型的四位数有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝60(个)；39××型的四位数有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝12(个).因此可得到千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于9的数共有60＋60－12＝108(个)，所以第114个数必是39××型，按由小到大的顺序分别是3916，3917，3918，3961，3967，3968，…，故由小到大排列第114个数是3968.若本例条件不变，问3796是第几个数？[解]由原题知千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于7的数共有60＋12×2＝84(个).因为3796在37××型的数中，按由小到大的顺序分别是3716，3718，3719，3761，3768，3769，3781，3786，3789，3791，3796，…，可见3796在这类数中占第11位，所以由小到大排列3796是第95个数．1．“在”与“不在”排列问题解题原则及方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先．(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底，不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误．2．固定顺序的排列问题的求解方法解这类问题采用的是分类法．n个不同元素的全排列有Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))种排法，m个元素的全排列有Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))种排法．因此Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n))种排法中，关于m个元素的不同分法有Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m))类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有eq\f(Aeq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(n)),Aeq\o\al(\s\up1(m),\s\do1(m)))种排法．eq\a\vs4\al([跟进训练])4．(1)有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有________种不同的安排方法．(2)4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端，有________种不同的站法．(1)300(2)504[(1)法一(分类法)：分两类．第1类，化学被选上，有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种不同的安排方法；第2类，化学不被选上，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))种不同的安排方法．故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＋Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))＝300种不同的安排方法．法二(分步法)：第1步，第四节有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))种排法；第2步，其余三节有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝300种不同的安排方法．法三(间接法)：从6门课程中选4门安排在上午，有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))种排法，而化学排第四节，有Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))种排法，故共有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6))－Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))＝300种不同的安排方法．(2)4名男生和2名女生站成一排共有Aeq\o\al(\s\up1(6),\s\do1(6))＝720种站法，其中男生甲站最左端有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))＝120种站法，女生乙站最右端有Aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))种站法，男生甲站最左端且女生乙站最右端有Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝24种站法，故满足条件的共有720－120－120＋24＝504种站法．]1．6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为()A．18 B．72C．36 D．144D[6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为Aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4))＝144.]2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．36 B．30C．40 D．60A[奇数的个位数字为1，3或5，所以个位数字的排法有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))种，十位数字和百位数字的排法种数有Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))种，故奇数有Aeq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝3×4×3＝36个