新教材人教a版选择性必修第一册1.4.2用空间向量研究距离夹角问题2

空间向量的应用第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.核心素养：数学推理、数学运算.学习目标一两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中

的二面角称为平面α与平面β的夹角.不大于90°新知学习二空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2

所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_____直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝_____________＝______两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______|cos〈u，n〉|1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（）D解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，即时巩固2.已知向量m，n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝

，则l与α所成的角为（）A.30° B.60° C.150° D.120°解析设l与α所成的角为θ，B3.已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，则平面α与β的夹角为____.一、两条异面直线所成的角例1如图，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝

，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.典例剖析建立如图所示的空间直角坐标系，反思感悟求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解.(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则

与

可分别为a，b的方向向量，则cosθ＝

.跟踪训练如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，二、直线与平面所成的角

(1)证明：CM⊥SN；证明设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，因此CM⊥SN.(2)求SN与平面CMN所成角的大小.设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，取y＝1，得a＝(2,1，－2).设SN与平面CMN所成的角为θ，反思感悟反思感悟利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)设线面角为θ，则sinθ＝

.跟踪训练如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.解以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，令a＝1可得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ，三、两个平面的夹角例3如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥平面ABCD；证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设棱长为2，因为∠CBA＝60°，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，反思感悟求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.跟踪训练如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.解如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，四空间向量和实际问题例4如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值.解由题意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，反思感悟利用空间向量解决实际问题(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题.(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养.1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为（）A随堂小测

B解析设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）C解析如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝1，4.若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为（）D解析设α与l所成的角为θ，5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）A解析不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，6.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.解析设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).7.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________.解析如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于________.解析如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z).取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).9.在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝____.解析平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，10.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝

，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_____.解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).11.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点.(1)求直线A1C与DE所成角的余弦值；解以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；解连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上.又四边形B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线，故