飞越北极-数学建模

PAGE10PAGE10数学模型与数学软件综合训练《数学模型与数学软件综合训练》论文训练题目：飞越北极学生学号：姓名：计通院信息与计算科学专业指导教师：（理学院）

目录TOC\o"1-6"\h\z\u一前言 2二飞越北极 31论文摘要 32问题重述与分析 33假设与模型 43.1模型的假设 43.2数据的说明 43.3模型的建立与求解 54模型评价与推广 7三总结 8四参考文献 9五附录 9一前言极地航路是指穿越极地区域的飞行，东航在中美之间的直飞，便选取北极上空的航路，常规的中美间跨太平洋上空的航路基本是通过一定弧度、围绕地球的同纬度飞行，而极地航路则是沿经线的竖直方向飞行，因此可以避免由此引起的中间经停。近几年中美之间航空客、货运市场的不断增大，穿越北极上空的极地航路成为解决这一问题最经济、最有效的方法。据东航有关负责人透露，东航不久将开通上海直飞纽约、芝加哥、西雅图的航班。美西北航空公司负责人表示，“我们目前每周有四班到底特律的航班都是跨越极地飞行，使用的是波音747。如今这条航线确实特别具有市场竞争力，使得我们每班飞机的乘坐率上升了不少。”而且选择这条航线不仅能为乘客节约旅途时间，不用经受途中经停之苦，而且对普通乘客来说，从极地经过，还可以欣赏极地别具一格的景色，是趟不错的“极地之旅”。要完成极地航路飞行，航空公司必须具备相当的实力。因为极地航路具有一些常规航路所没有的困难：磁场强烈，对航空器通讯导航设施有一定影响；常年低温使上空大气层温度达到零下60—70摄氏度，比常规航路上的大气温度低10—20摄氏度，使用普通航空燃油也可能造成一定影响。极地磁场的变化、地面导航设备的稀少也会对通讯造成干扰越北极开通北京—纽约—北京的往返直飞航班，在我国航空公司还是首次。20年前国航就开通了北京飞纽约的航班，1998年国航与美西北航实行代码共享后，航线由美西北航执行。从9月27日起，由国航继续飞这条航线。这对于国航连接北美、包括加拿大有关地区到中国北京的航路，为广大中外旅客提供方便快捷的空中通道，具有十分重要的意义。经北极航路直飞纽约，为旅客提供了多方面的便利。1981年1月，国航开通的跨太平洋经停旧金山到纽约航线，以及后来经停安克雷奇到纽约的航班，旅途都长达17个小时。此次国航将要开通的北极航线，北京—纽约，纽约至北京，单程仅需13小时，比过去减少了3个多小时的飞行时间。由于北京至纽约航线是直飞，免除了过去中途经停的诸多不便，减轻了旅客旅途的劳顿，给人以一登飞机，就将要到家的感觉。北极上空气流平缓，颠簸较少，也提高了旅客乘机的舒适度。另外，这条航线飞机较少，不存在其他航路空中通道拥挤的状况，同时也为航空公司节省了燃油，降低了飞行成本。国航经由北极航路执行正式航班，在国内航空公司中还属首家。北纬78度以北为北极飞行区域，由于气候寒冷，过去曾被视为飞行禁区。随着科学技术的发展，现在飞越北极已不再危险，目前世界上有20多家航空公司经营着北极航线，每周有40有多个航班在北极上空穿梭。这条航路，多年来已经成为连接欧亚、美亚大陆的快捷空中通道。国航北极航路直飞纽约验证飞行的成功，表明国航有能力完成由北极航路直航纽约的飞行任务，展示了国航在飞行技术、运行管理、安全保障等方面的新水平，对国航成长和发展来说是一个重要的里程碑。北京航空航天大学飞行力学专家方振平教授认为：从经济角度讲，因为成本的降低和航线的选择有直接关系，极地飞行缩短了航程，节约燃油费用和起降费用，大大提高了效益降低了成本。将来每位乘客的机票价都可能降下来，对航空公司来说，极地航线的开辟，将提高中国民航在国际上的价格竞争力。从安全角度讲，航程的缩短应该能提高安全系数，过去去美国我们要跨越太平洋，一方面是远，另一方面气流也大，而极地飞行与之相比应该更安全，因为极地飞行能减少高空风的影响。从技术角度讲，极地飞行克服了北极强烈地磁影响，跨越了一个技术门槛，是中国民航史上的一个里程碑。最后还要指出，这条航线因为是直飞，不必转机，比过去方便了不少。应该说当极地飞行成为中国民航的普通航线后，中美之间有了一条既安全又便捷又经济的通道。二飞越北极1论文摘要本文将“飞行时间节约4小时”的问题，在飞行速度恒定的条件下，转化为计算飞机航程的问题。通过采用计算机模型绘出的飞机飞行航线，建立了两个数学模型;并且通过对模型的分析，采用MATLAB编程计算球面距离。对于模型1，采用立体几何知识求球面距离的方法，得出从北京直接到底特律的时间为10.18734h，而按飞机的原航线则至少需14.17793h，所以至少节省时间为3.19059h。对于模型2，采用参数方程得出纬度与经度之间的函数关系，然后用积分方法求得球面距离，最后求出节省时间为4.12891h。因此，通过对飞行航线和球体的分析可证明“飞越北极，可节省时间为4小时”的命题。关键词：数学模型；球面距离；时间2问题重述与分析2000年6月，扬子晚报发布消息："中美航线下月可飞越北极，北京至底特律可节省4小时"，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极，此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间，旅客可直接从休斯敦，丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计，如飞越北极，底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油，实际节省的时间不止此数。假设：飞机飞行高度约为10公里，飞行速度约为每小时980公里；从北京至底特律原来的航线飞经以下10处：A1(北纬31度，东经122度)； A2(北纬36度，东经140度)；A3(北纬53度，西经165度)； A4(北纬62度，西经150度);A5(北纬59度，西经140度)； A6(北纬55度，西经135度)；A7(北纬50度，西经130度)； A8(北纬47度，西经125度)；A8(北纬47度，西经122度)； A10(北纬42度，西经87度)。请对"北京至底特律的飞行时间可节省4小时"从数学上作出一个合理的解释，分两种情况讨论：（1）设地球是半径为6371千米的球体；（2）设地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。分析：根据飞行时间(T)=，V是已知恒定的，所以T主要取决于S，于是问题的关键在于如何求得S。飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地的球面距离之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。3假设与模型3.1模型的假设1.不考虑地球的自传。2.飞机每经相邻两地的航程，均以曲面上两点间最短距离进行计算。3.飞机飞行中途不需降落加油，同时忽略升降时间。4.开辟新航线后，飞机由北京经过北极上空直飞底特律。5.在整个飞行途中飞机未遭遇到任何障碍物，各地的天气情况均良好且稳定，空气气流对飞机的阻力不变。6.飞机飞行的高度和速度大小相对于地球表面始终不变。7.飞机的航向是正对目的地的，重力对飞机的影响处处相同。8.飞机是直上直下的，按两地间的最优弧飞行。3.2数据的说明在以下计算中，北京是坐标用A0(400，1160)，底特律的坐标用A11(430，830)，飞机原航线途中符号约定如下表所示。α—纬度β—经度α1—圆O1所在平面的纬度，即∠OBO1r1—O1纬度圆的半径α2—圆O2所在平面的纬度，即∠OAO2r2—O2纬度圆的半径θ—A、B两地的经度差，即∠BO1CL—A、D对应的球面距离γ—A、B对应的圆心角V—飞机的飞行速度T—飞机飞行L所需时间t—飞机飞越北极至底特律所需时间t′—飞机按原来航线至底特律所需时间Δt—飞行节省时间R—飞机到地心的距离表一3.3模型的建立与求解模型Ⅰ：地球是半径为6371千米的球体。具体模型如图１所示。由已知条件可知，根据飞行时间(T)=，V是已知恒定的，所以T主要取决于S，于是问题的关键在于如何求得S。飞机飞行的最优弧我们可以理解为就是两点之间的球面距离，所以原航线的路程就是每两个路经之地的球面距离之和，新航线的路程就是北京与底特律的球面距离。当地球是一半径为6371km的球体时，球面上任意两点之间的球面距离L可以根据公式L=来计算，所以必须知道两点所对应的圆心角度数γ与飞机到地心的距离R。R的计算飞机到地心的距离由地球半径与飞行高度两部组成，即R=6371+10=6381(km)（2）γ的计算利用立体几何知识求γ图1模型1－球体作点A到圆O1上的射影点C在△BO1C中用余弦定理可得：|BC|2=r21+r22-2r1r2在△ABC中用勾股定理可得：|AB|2=r21+r22-2r1r2cosβ+R2(sinα2-sinα1)2在△AOB中用余弦定理可得：|AB|2=2R2(1-cosγ)其中r1=Rcosα1，r2=Rcosα2，最后求得：γ=arccos(sinα1sinα2+cosα1cosα2cosθ)（3）T的计算T=（1）式（4）t与t′的计算把已知条件代入(1)中，可得：用MATLAB语言编程得到了t′=14.7793(h)〈见附录1〉(5)可节省的时间计算Δt=t′-t=3.9059(h)模型Ⅱ：地球是一旋转椭球体，赤道半径为6378千米，子午线短半轴为6357千米。具体模型如图２所示。解法Ⅰ：当地球是一旋转椭球体时，设球心O到球面上任意一点的长度为ρ，则这一点的参数方程可表示为：与椭球体方程联立得：（a=6388，b=6367）设A1、A2的坐标为(x1，y1，z1)、(x2，y2，z2)，记过A1、A2，O的平面方程为：Ax+By+z=0(2)将A1、A2的坐标代入(2)式得：利用MATLAB软件计算得：Ai，Bi(见附录)。由曲线方程L：可得α与β的关系Acosαsinβ+Bcosαcosβ=－sinα，利用MATLAB软件进一步计算得α与β的关系，所以L的长度为：即可节省时间为：Δt=(L-L1)/V通过计算机模拟，可以求出Δt=4.12891h〈见附录2、3〉。同时，根据各所经的地点的空间坐标绘出飞机航线。〈见附录4〉4模型评价与推广上述模型的建立与求解依据立体几何、参数方程和定积分的原理和方法，MATLAB算法科学，符合实际，结果精确合理，模型的参数作适当的修改后，可用于航空控制系统。模型1中因地球是一球体，所以优点显而易见，计算步骤少，方法简单。相比之下，模型2的计算过程就繁琐复杂得多了，但模型2却比模型1更切合实际。由于在模型1、模型2中，均不考虑地球自转等多种因素对飞机的影响，所以结果会产生一定误差，建模中引进了参数方程的定积分求解比较精确地求出了时间T。三总结从7月3号开始，我全身心地投入学习、备战数学模型与数学软件综合训练。学习的地点主要是在B馆机房中，整个过程下来，我最大的几点体会：合作意识，相互协作，互补不足；友情是良好合作的催化剂；学习的能力，个人的成长；合理的时间安排；正确的论文格式；算法的设计。我的题目是：飞越北极。在前期的准备中，我一头扎进了图书馆，一连看了好几本关于数学建模的书，通过网络，从互联网上获得了很多很多优秀的数学模型。短短两周里，我的学习态度有了很大的转变，初中过后，很少这样有激情地学过东西，这是第一次。我从理论数学看到应用数学，从优化问题看到模糊理论，更在老师，同学的帮助下，看懂了那篇matlab的程序，终于明白了模拟飞越北极节省时间的核心思想。

数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性．并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，它是一门将数学综合应用到实际中解决实际问题的学科。建立模型就是对于现实中的原型．为了某个特定目的，作出一些必要的简化和假设。运后适当的数学工具得到一个数学结构、它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。现实生活中处处都有数学，处处都存在着数模的思想，关键是我们缺乏一双发现数学知识的眼睛，缺乏实践操作的动手能力。数学建模课程虽开设的时间较少，然而其主要思想都已通过王教授那生动的讲述深入我的脑海，加上二次的亲自动手建模，那种用数学的眼光看待问题，分析问题、提出问题、查找资料和自学等各方面的能力都有了长足的提高。通过这次有意义建模活动，使我对学习，创新和研究有了新的理解和认识。这是我第一次感受到数学的无处不在，无所不能。我觉得数学建模能为学生提供自主学习、自主探索、自主提出问题、自主解决问题的机会，培养学生的数学观念、科学态度和合作精神，激发学生的学习兴趣，培养学生认真求实、崇尚真理、追求完美、讲究效益、联系实际的学习态度和学习习惯。它能提高学生应用所学的数学知识解决实际问题的能力，从过去强调数学知识的“有用、可用”，到使学生所学知识的“想用、能用和会用”，让学生更多自主的实践，把学习知识、应用知识、探索发现、使用计算机、培养良好的科学态度与思维品质更好地结合起来，使学生在问题解决的过程中得到学数学、用数学的实际体验，加深对数学的理解。最大的感悟就是，当时的学习不再是被动了，不再是为了应付那无聊的考试了，我是为了解决问题而学习的（而且是自己非常想弄清楚的问题）。在我看来，这才叫真正的学习。“一次建模，终生受益”。我衷心感谢数学建模课程，更由衷感谢老师的谆谆教导。四参考文献[1]梁国业，数学建模，北京市：冶金工业出版社，2004年。[2]廖健平，MATLAB实用教程，北京：中国水利水电出版社，2008年。[3]包晔，江慧宏，周华莎，“飞越北极”的时间节省模型，第13卷第4期：200１年。[4]钟绍军，骆风银，飞越北极的数学模型，，2010-7-2。[5]罗万成，大学生数学建模案例精选，/matrix/，2007年。[6]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材4，/matrix/2009/0806,2001年。五附录附录1a=[40.25531365362595550474742]a=a*pi/180b=[3136536259555047474242]b=b*pi/180c=[5.54185515105553353]c=c*pi/180s=0fori=1:11x(i)=sin(a(i))*sin(b(i));y(i)=cos(a(i))*cos(b(i))*cos(c(i));t(i)=acos(x(i)+y(i))*6381/980;s=s+t(i)end附录2functionz(n1,c1,c2)t2=[5840153040455055589396]*pi/180;t1=[63.5458401530404550555893]*pi/180;c1=[40.25531365362595550474742]*pi/180;c2=[3136536259555047474242]*pi/180;w=cos(c1)*cos(c2)*sin(t1)-cos(c1)*sin(t2)*cos(c2)*cos(t1);q1=sin(c2)*cos(c1)*cos(t1)-sin(c1)*cos(c2)*cos(t2);q2=sin(c2)*cos(c1)sin(t1)-sin(c1)*cos(c2)*sin(t2);A=q1/wB=q2/wsymsn1n2ps2=solve('p^2*(cos(n1)/6388)^2+(sin(n1)/(6367)^2)=1','p');s1=solve('A*cos(n1)*sin(n2)+B*cos(n2)*cos(n1)=-sin(n1)','n2');symsxyzxxyyzzx=p*cos(n1)*sin(s1);y=p*cos(s1)*cos(n1);z=p*sin(n1);xx=diff(x,'n1');y