一阶可分离变量型微分方程

关于一阶可分离变量型微分方程第1页，共27页，2023年，2月20日，星期二一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的通解.分离变量法第2页，共27页，2023年，2月20日，星期二例1

求解微分方程解分离变量两端积分例题又两端积分第3页，共27页，2023年，2月20日，星期二通解为解第4页，共27页，2023年，2月20日，星期二解由题设条件衰变规律第5页，共27页，2023年，2月20日，星期二第6页，共27页，2023年，2月20日，星期二例4

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度第7页，共27页，2023年，2月20日，星期二设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:第8页，共27页，2023年，2月20日，星期二即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为第9页，共27页，2023年，2月20日，星期二思考题为所求通解.

求解微分方程也是解.第10页，共27页，2023年，2月20日，星期二练习题第11页，共27页，2023年，2月20日，星期二第12页，共27页，2023年，2月20日，星期二练习题答案第13页，共27页，2023年，2月20日，星期二

1、齐次方程P230

的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义可化为分离变量的微分方程---齐次方程第14页，共27页，2023年，2月20日，星期二例1

求解微分方程微分方程的解为解第15页，共27页，2023年，2月20日，星期二例2

求解微分方程解微分方程的解为第16页，共27页，2023年，2月20日，星期二例3

抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图A入射角余角=反射角余角由夹角正切公式第17页，共27页，2023年，2月20日，星期二分离变量积分得得微分方程平方化简得抛物线第18页，共27页，2023年，2月20日，星期二2、可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义(2)有唯一一组解(h,k).(1)(2)求通解第19页，共27页，2023年，2月20日，星期二可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.求通解,代回z=ax+by第20页，共27页，2023年，2月20日，星期二解代入原方程得分离变量、积分得得原方程的通解方程变为第21页，共27页，2023年，2月20日，星期二通解为解利用变量代换求微分方程的解第22页，共27页，2023年，2月20日，星期二解代入原方程原方程的通解为第23页，共27页，2023年，2月20日，星期二思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.第24页，共27页，2023年，2月20日，星期二练习题第25页，共27页，