2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面向量（附答案解析）

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面向量

一.选择题(共14小题)

1.已知|万|=3,3|=1,伍-2袱|=，6,则向量5的夹角为()

A.-B.-C.—D.—

6336

2.已知向量2=(9,6),5=(3,x),若3/区，则几何-3)=()

A.18B.24C.26D.28

3.在平行四边形中，已知两邻边满足40=248=2,且N/8C=工，E为5c的中

3

点，尸是C。中点，则瓦・万^=()

35

A.1B.-C.-D.3

24

4.已知7为非零平面向量，则下列说法正确的是()

A.(a-b)-c^a-(b-c)B.若&工=5々,则。=不

C.若2/区，贝！很=府D.|a-i|=|a|-|6|

5.在边长为3的等边M8C中，若丽=2反，贝IJ瓦•方=()

A.6-35/3B.-C.3D.6

3

6.已知向量万=(3,1),b=(2,2)(2eR),若G,则|G+B|=()

A.5B.572C.5#>D.10

7.已知向量2,行满足3ml=2|'=3,^\a+2b|=V14,则很夹角的余弦值为()

A.-B.-C.-D.-

2336

8.在RtAABC中,BC=1,斜边48=2,点户满足方=2定，则陷⑸=()

D.B

A.--B.-c.生

2222

9.设4,B,C为平面内不共线的三点，则“(方+元)，8心”是万|=|7q|"()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

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10.已知向量3=(3,2),6=(2加-1,3),若,与b共线，则实数加=()

117

A.—B.5C.-D.1

42

II.已知向量万，b,c,满足I，|=|e1=1,\b\=/j,a-c=^,若G+B=44；le/?),则2=(

)

A.3B.-2C.3或-2D.-3或2

12.已知向量年=(1,」),5=(-1,0),3=(£左).若G-2月与5垂直，则实数左=()

A.B.-3C.1D.3

13.若向量)=(1,2),b-a=(3,4),则展另=()

A.5B.11C.16D.18

14.已知向量万=(1,2),很=(4,4),若&J.B,则向量23+不与。的夹角。等于()

A.-B.-C.—D.—

4334

二.填空题(共5小题)

15.已知向量比B满足|口=23=(1,2伪,m+5|=M,则扇3的夹角为.

16.已知向量2=(-3,3),b=(m,l),且贝U"?=.

17.已知平面向量2=(1,2),6=(1,-1),若Z-/IB与3+B垂直，贝lj2=.

18.已知2=(2,/),6=(1,3),若相5=5,则向量珠与B的夹角是.

19.在四边形48C。中，AC=(4,-2),BD=(2,m),AC1BD,则该四边形的面积是

三.解答题(共4小题)

20.在A/48c中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,S为A43C的面积，S=立就.

2

(1)求cos(力+?)；

(2)若”且，ABBC>0,求根8。周长的取值范围.

2

21.已知向量H与1的夹角为120。，①|=3,|司=2.

(1)求(24+5)•m-2万)的值;

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(2)求|2,+b|的值.

22.在平行四边形NBCQ中，|而|=5,|而|=7,|而|=8,求：

(1)~AB~AD；

(2)\AC\.

23.设向量2=(-1,2),ft=(1,-1),c=(4,-5).

(I)求m+25|；

(H)若己=44+〃B、2、口wR,求力+〃的值；

(III)若方=1+5,BC=a-2b,CD=4a-2b,求证：A,C,。三点共线.

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2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：平面向量

参考答案与试题解析

一.选择题(共14小题)

1.已知|叫=3,\b\=l,\a-2b\=y/l9,则向量五,B的夹角为()

A""c424门57r

A.—B.—C.——D.一

6336

【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算

【分析】根据题意，设向量万，B的夹角为，，由数量积的计算公式可得

(a-2b)2=a2+462-4a-ft=13-12cos6>=19,求出cos<9的值，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，设向量万，B的夹角为。，

若|2|=3,\a-2b\=^9,则有伍-2彼)2=东+4庐-4展B=13—12COS6»=19,

解可得cos6=--,

2

又由0..O„71>则夕=：

3

故选：C.

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

2.已知向量M=(9,6),b=(3,x),若2/区，则兀@_司=()

A.18B.24C.26D.28

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【分析】由向量平行的性质可求出x的值，从而可得很，再利用向量的坐标运算及数量积的

坐标运算求解即可.

【解答】解：向量。=(9,6),B=(3,x),若2/区，

则9x-6x3=0,解得x=2,

所以B=(3,2),则。-5=(6,4),

所以九①-5)=3x6+2x4=26.

故选：C.

【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量平行的性质，考查运算求解能力，

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属于基础题.

3.在平行四边形Z8C。中，已知两邻边满足45=2/8=2,且N/8C=工，E为3C的中

3

点，尸是C。中点，则后•#=()

35

A.1B.-C.-D.3

24

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【分析】利用平面向量的线性运算，^AE=AB+-AD,AF=AD+-AB,再用向量的

22

数量积公式，即可求解.

【解答】解：-.■AE=AB+BE,AF=AD+DF,

•••E为8c的中点，尸是CD中点，四边形/8CD为平行四边形，

BE=-AD,DF=-HB,'AE=^4B+-7D,AF=AD+-1B,

2222

AEAF=(AB+-AD)(Ab+-AB)=ABAD+-AD2+-AB2+-ABAD=-ABAD+-AD2+-~AB

22224422

vZABC=-,四边形为平行四边形，

3

ZBAD=—,

3

AD=2AB=2,

AEAF=-AB'AD+-AD2+-AB2=-x2xlx(—!-)+-X22+-X12=-,

42242224

故选：C.

【点评】本题考查了向量的数量积，以及向量线性运算，需要学生熟练使用公式，属于基础

题.

4.已知,，瓦万为非零平面向量，则下列说法正确的是()

A.(a-b)-c=a-(b-c')B.若小1=5々，则。=石

c.若万/区，则9€??,很=府D.

【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；向量数乘和线性运算

【分析】根据平面向量共线定理和数量积的定义，依次分析选项，综合即可得答案.

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【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于/,根据平面向量数量积的定义知伍与5共线，展(51)与G共线，所以选项/错

误；

对于8,a-c=b-c^\,&与月不一定相等，如1_L很和另_Ld时它们的数量积为0,a,B不

相等，所以选项8错误；

对于C,根据平面向量的共线定理知，若//区，则m/leA,使6=24,所以选项C正确；

对于。，根据平面向量数量积的定义知，ab=|a|x|i|xcos<a,»>,所以|3石|*,|5|-|^|,

选项。错误.

故选：C.

【点评】本题考查了平面向量共线定理和数量积的定义应用问题，也考查了推理与判断能力，

是基础题.

5.在边长为3的等边M8C中，若丽=2反，则亚•丽=()

O

A.6-373B.-C.3D.6

3

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【分析】由已知结合向量的线性表示先求出而，然后结合向量数量积的定义即可求解.

【解答】解：因为丽=2友，

~Ab=AB+~BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AC-]--AB1

3333

,......»1-22■—■■■■12I

则/。==-x9+-x3x3x—=6.

33332

故选：D.

【点评】本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积，属于基础题.

6.已知向量a=(3,l),b=(2,A)(A&R),若m,则m+4|=()

A.5B.5&C.5GD.10

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【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

【分析】利用向量垂直的性质列方程，求出4=-6,利用向量坐标运算法则求出

5+^=(5,-5),由此能求出|。+3].

【解答】解：向量N=(3,l),B=(2,/l)(4eA),alb,

a-b=3x2+lx2=0,

解得2=—6,

a+b=(5,-5)，

则伍+/|=J25+25=5五.

故选：B.

【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量坐标运算法则等基础知识，

考查运算求解能力，是基础题.

7.已知向量G,B满足3|万|=2历|=3,若|1+2司=E，则2,3夹角的余弦值为()

1clc2r5

AA.—B.一C.—D.—

2336

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；数量积表示两个向量的夹角

【分析】根据题意，设G，在的夹角为。，结合数量积的计算公式，将|1+2印=内变形可

得东+4,石+4户=14,求出cos®的值,即可得答案.

【解答】解：根据题意，设,，石的夹角为。，

若3同=2日|=3,则|刈=1,巾|=：,

^|a+2S|=V14,则必+4限在+41=14,即l+6cos6+9=14,

解可得cos6=—,

3

故选：C.

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

8.在RtAABC中，BC=l,斜边48=2,点P满足数=2定，则定•方=()

A.-1B.1C.3D.&

2222

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

第7页共16页

【分析】根据条件可得ZC=b，以C为坐标原点，CB,C/分别为X轴，y轴建立直角

坐标系，将数量积的运算转化为坐标运算求解即可.

【解答】解：因为在RtAABC中，BC=\,斜边”=2,

所以AC=>/3,

以C为坐标原点，CB,C/分别为x轴，y轴建立直角坐标系，

所以有4(0,®5(1,0),C(0,0),

设尸(xJ),

因为点P满足方=2定，

所以（1,-5=2（-x,-y）,

解得x=-■-,y=^~,

2"2

所以尸（_g,当），

所以定=g,-当），9=（g

..141

所以斤.方=----=-一，

442

【点评】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题.

9.设4,8,C为平面内不共线的三点，则“(在+配)而”是而|=|就()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

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C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【考点】充分条件、必要条件、充要条件：平面向量数量积的性质及其运算

【分析】设8c的中点为。，利用向量加法的平行四边形法则，把问题转化为而，况是

|=|就|的什么条件，由两式等价得结论.

【解答】解：设8c的中点为。，则方+%=2近，

而(方+1?)_L胫O石J.豆心u>|刀|=|祝|,

u(AB+配)，启心”是“|AB|=|7C|"的充分必要条件.

故选：C.

【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.

10.已知向量3=(3,2),不=(2加-1,3),若。与B共线，则实数加=()

117

A.—B.5C.-D.1

42

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示

【分析】根据平面向量的共线定理列方程求出机的值.

【解答】解：因为向量方=(3,2),3=(2加一1,3),且2与B共线，

所以2(2加一1)一9=0,

解得加=11.

4

故选：A.

【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题.

11.已知向量Z,b,c,满足|2|=房|=1,\h\=yfl,小？=；，若。+B=，贝=(

)

A.3B.-2C.3或-2D.-3或2

【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【分析】根据条件可设刀=1=(1,0),OC=c=(^,g),OB=b=(x,y),因为彳+5=公，

故可得x=y=布,结合|印=近，计算可得2的值.

【解答】解：因为&•?=；,且满足

第9页共16页

所以〈万忑＞=60。，

依题意可设方=1=(1,0),OC=c=(y[),OB=b=(x,y),

因为1+5=43,

所以(x+1,v)=A(-^,*)，

i1^tx=--1,y=^-A,

22

因为|B|=J7,

所以/+_/=7,

所以(Z—1)2+(^^)2=7,

整理得A2-A-6=0,

解得2=3或-2,

故选：C.

【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算及其性质，属于基础题.

12.已知向量1=(1,6)石=(-1,0),3=(6用.若”2月与己垂直，则实数4=()

A.6B.-3C.1D.3

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运

算法则，计算求得上的值.

【解答】解：•.•向量3=(1,石)5=(-1,0族=(詹盼,

若石-29与己垂直，则伍-25)1=展d-2晨,

=(6+&)-2(-用0)=3万+麻=0,

二实数4=-3,

故选：B.

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的

运算法则，属于基础题.

13.若向量7=(1,2),A-5=(3,4),则万石=()

A.5B.11C.16D.18

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【考点】平面向量数量积的性质及其运算

【分析】利用已知条件求解向量石，然后求解向量的数量积即可.

【解答】解：向量1=(1,2),在-。=(3,4),

可得6=(4,6),

所以小5=1x4+2x6=16.

故选：C.

【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的坐标运算，是基础题.

14.已知向量d=(l,2),由=(4,2),若门B,则向量2G+B与。的夹角。等于()

A.-B.-C.—D.—

4334

【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算

【分析】根据题意，由于则万石=4+24=0,求出4的值，即可得23+石的坐标,

进而由向量夹角计算公式计算的可得答案.

【解答】解:根据题意,向量@=(1,2),b=(4,2),

若不_LB,则1•B=4+22=0,解可得/=-2,即B=(4,—2)9

则有21+5=(6,2),

故|2。+川="36+4=2加,旧=正，

(25+6)-3=6+4=10,

_(2>+小。_10_72

故cos<22+B,

一|23+不|同―2而x石-2

一九

则有<22+彼,a>=­；

4

故选：A.

【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

二.填空题(共5小题)

15.已知向量比5满足I码=23=(1,2①,|Q+B|=M，则由5的夹角为

【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的性质及其运算

第11页共16页

【分析】根据题意，设，》的夹角为。，求出I彼由数量积的运算性质可得

(a+h)2-a1+b'+2a-b=13+2x2x3xcos0=19,变形可得cos®的值，结合。的范围分析

可得答案.

【解答】解：根据题意，设，石的夹角为。，

月=(1,2近)，贝I」出|=JT7W=3,

若|3+不卜M，即(1+月)2=12+川+2］石=13+2x2x3xcos6»=19,

解可得：cos®=L,

2

又由0„0„7T,则e=工；

3

故答案为：

3

【点评】本题考查向量数量积的性质，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

16.已知向量方=(-3,3),6=(5,1),且@_1_(2@-5),则,一

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系

【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运

算法则，计算求得加的值..

【解答】解：•.•向量2=(-3,3),5=(九1),且2，(2"5)，

5-(25-i)=252-5-A=2x(9+9)-(-3m+3)=0,求得加=-11,

故答案为：-11.

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的

运算法则，属于基础题.

17.已知平面向量d=(l,2),,若彳-2囚与3+B垂直，则-=4.

【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系

【分析】求出4-2不与4+石，利用垂直关系，求解即可.

【解答】解：平面向量2=(1,2),b-(1,-1),

可得=+M+B=(2,1),

a-Ab与HB垂直,

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可得：2-2A+2+A=0,

解得4=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查向量数量积的求法与应用，向量垂直关系的应用，是基础题.

18.已知。=(2,f),5=(1,3),若曰石=5,则向量1与B的夹角是_工_.

4

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的坐标运算

【分析】利用向量数量积的坐标运算求出f=l,再利用夹角公式求解即可.

【解答】解：•・•)=(21),彼=(1,3),a-b=5,

2+3/=5>/./=1,

,/<a,i>G[0,TT],

:.<ab>=—

f49

故答案为：

4

【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，夹角公式，属于基础题.

19.在四边形/8C。中，1C=(4,~2),BD=(2,m),X_L而，则该四边形的面积是10.

【考点】三角形中的几何计算；平面向量数量积的性质及其运算

【分析】利用向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算求出加=4,即可求解.

【解答】解：%=(4,-2),BD=(2,m),ACLBD,

二.8—2阳=0,...加=4,

•••|就|=J16+4=2五,|前|=J4+16=2下,AC1JD,

.•.四边形的面积是1|JC|x|SO|=1x(2遥>=10,

故答案为：10.

【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，考查了四边形面积的求法,

属于中档题.

三.解答题(共4小题)

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20.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为“，h,C,S为A48C的面积，S=

⑴求cos（力+；

（2）若"正，ABBC＞0,求A48C周长的取值范围.

2

【考点】平面向量数量积的性质及其运算；正弦定理

【分析】（1）利用三角形的面积公式和平面向量的数量积得到tan/=G，A=~,再利用

3

三角函数恒等变换求解即可.

（2）先得到^八—万，再利用正弦定理得到6=sin8,c=sinC=sin（y^--B）,最后利

用三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质求解即可.

【解答】解：（1）在A/18c中，vS=-AC-AB,贝ij6csin4=扬ccosZ,

2

即tan4=JI,而/£（0,%），得4=工，

3

,A兀、,兀.A.兀\6百⑦也一灰

cos（A+—）=cosAcossinJsin一=—x-----------x——=-----------.

44422224

（2）由存反＞0,「.cos（4一B）〉0,・・.3为钝角,

又4=工，则工＜夕＜2〃，

323

由正弦定理得b=c=2=i,贝I]b=sin8,c=sinC=sin(—-B),

sin8sinC.43

sin—

3

贝lJb+c=sin6+sin(27r-6)=—sin5+—cos^=£sin(8+3,

A/iBC周长的取值范围为（"当1）.

【点评】本题考查了三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，正弦定理，三角函数恒等

变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，属于中档题.

21.已知向量3与B的夹角为120。，|万|=3,仍1=2.

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