2022年江苏省常州市中考数学冲刺全真模拟卷04（解析）

2022年中考数学冲刺全真模拟卷04（江苏常州专用）

试卷满分：130分考试时间：120分钟

一、选择题（共8小题：共16分）

1.（2020•天宁区校级模拟）下列计算正确的是（）

A.3x2-2x2=1B.^2+V3=V5C.a2*ai=a5D.x-i-y*-=x

【解答】解：A、3x2-2A2-%2,故此选项错误；

B、V2+V3,不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误；

C、。2.〃=〃，正确；

。、x+y4=W，故此选项错误；

yy2

故选：C.

2.（2020春♦五莲县期末）甲乙两名同学本学期参加了相同的5次数学考试，老师想判断这两位同

学的数学成绩谁更稳定，老师需比较这两人5次数学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【解答】解：由于方差和极差都能反映数据的波动大小，

故需比较这两人5次数学成绩的方差.

故选：D.

3.（2020春•舒兰市期末）如图，四边形488中，对角线AC,相交于点O,下列条件不能判

定这个四边形是平行四边形的是（）

A.AB//DC,AD//BCB.AB=DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DOD.AB//DC,AD=BC

【解答】解：A、由“AB"DC,AD//BC'可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边

形是平行四边形.故本选项不符合题意；

B、由“AB=DC,4Z）=BC”可知，四边形ABC。的两组对边相等，则该四边形是平行四边形.故

本选项不符合题意；

C、由“AO=C。，8。=。。”可知，四边形A8CQ的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四

边形.故本选项不符合题意；

D、由“AB〃OC,AD=BCn可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能

判定该四边形是平行四边形.故本选项符合题意；

故选：D.

4.（2020•石屏县一模）关于x的一元二次方程/+3X-1=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

【解答】解：：a=l,b=3,c=-1,

.•.△=/?2-4“C=32-4X1X（-1）=13>0,

.♦•方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

5.（2020秋•漂阳市期中）定义：一种对于三位数。历（其中在abc中，。在百位，匕在十位，c在个

位，氏c不完全相同）的“尸运算”：重排。儿的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和

最小三位数的差（允许百位数字为零），例如abc=463时，贝IJ

尸运算--------m云宣-------

463~———“297（643-346=297），廷,"693（972-279=693）

经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“厂运算”都会得到一个固定不变的值；类

比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为（）

A.4159B.6419C.5179D.6174

【解答】解：：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，且只要四个数

字不完全相同就符合题意，

•••设这个四位数字为1000,依次进行“户运算”得：

①1000-0001=0999；

②9990-0999=8991；

③9981-1899=8082；

④8820-0288=8532；

⑤8532-2358=6174；

⑥7641-1467=6174.

*,*,

，这个定值为6174.

故选：D.

6.（2020•盘龙区一模）一个圆锥的侧面展开图形是半径为8°处圆心角为120。的扇形，则此圆锥

的底面半径为（）

A.-cmB.-cmC.3cmD.—cm

【解答】解：设圆锥的底面半径为星如

根据题意得2口=12O-7T-8

180

解得r=--

故选：B.

7.(2020•潢川县一模)如图，一根长为5米的竹竿A8斜立于墙MN的右侧，底端8与墙角N的距

离为3米,当竹竿顶端A下滑x米时，底端B便随着向右滑行y米，反映y与x变化关系的大致

图象是()

【解答】解：在RtZ\ABN中，AB=5米，NB=3米，

根据勾股定理得：AN=JAB2一NB2=4米，

若A下滑x米，AN—(4-x)米，

根据勾股定理得：NB=J52-(4-X)2=3+y,

整理得：户J25-(4-x)2-3,

当x=0时，y=0；当x=4时，y=2,且不是直线变化的，

故选：A.

8.(2015•河北)如图，点A,B为定点，定直线/〃A8,尸是/上一动点，点M,N分别为B4,PB

的中点，对下列各值：

①线段MN的长；

②的周长；

③△PMN的面积；

④直线MMA8之间的距离;

©ZAPB的大小.

D.④⑤

【解答】解：：点A,8为定点，点M,N分别为B4,PB的中点，

是的中位线，

：.MN=-AB,

2

即线段MN的长度不变，故①错误；

PA.PB的长度随点P的移动而变化，

所以，△B4B的周长会随点尸的移动而变化，故②正确；

；MN的长度不变，点P到MN的距离等于I与AB的距离的一半，

...△PMN的面积不变，故③错误；

直线MMA8之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；

NAPB的大小点P的移动而变化，故⑤正确.

综上所述，会随点尸的移动而变化的是②⑤.

故选：B.

二、填空题（共10小题：共20分）

9.（2020秋•沙雅县期中）-2的倒数是-三，-3的绝对值是3.

3---------2------------

【解答】解：一？的倒数是：一三，-3的绝对值是：3.

32

故答案为：-三，3.

2

10.（2020•天宁区校级模拟）若代数式陋有意义，则，"的取值范围是加2-1，且加W1

m—1

【解答】解：由题意得：加+120,且〃2-1/0,

解得：加2-1,且加W1,

故答案为：机2-1,且加#1.

11.（2019秋•常州期末）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋

子中随机取出1个球是红球的概率是-.

【解答】解：•.♦不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，共有6个球，

，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是2=±

63

故答案为：

3

12.（2020•吴忠一模）如图，在5X4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点

都在这些小正方形的顶点上，则sin/BAC的值为—二.

5

【解答】解：如图，过点C作CCA8于点O,

则NACC=9（T,由勾股定理得:

AC=J32+42=5,

.".sinZBAC=—=-.

AC5

故答案为：士

5

13.（2013•湖州校级模拟）如图，在Rt^ABC中，/C=90°,AC=4,BC=2,。、E两点分别从

顶点C、A沿着AC边向点A、C运动，点D的速度为1个单位/秒，点E的速度为2个单位/秒.以

BD为直径作。尸，过点E作CB边的平行线I,问比四秒钟后直线I与。尸相切.

6~~,

【解答】解：作FGLCD于G,FHLBC于H,设/秒钟后直线/与。产相切.

ACD=t,AE=2tf

,-.CG=DG=^CD=^CH=BH*C=l,

VBC±AC,

:・GF〃BC,

♦；DF=BF,

•sg

・・・四边形C”FG是矩形，

."H=GC',

在RtADGF中，DF=VDG2+GF2=J（^）2+l2.

根据题意：2什J（：）2+12+：f=4,

解得八=U±叵（舍去），上UZ巫，

66

・・.Y秒钟后直线/与。尸相切.

故答案为嗜.

fc）

14.（2020秋•东莞市期末）如图，将AABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与

AC交于点G.若NB=70°,ZC=25°,则/CGC=65°.

【解答】解：；将绕点A旋转到△/1后尸的位置,

：.AB=AE,ZB=70°,

：.ZBAE=\S00-70°X2=40°,

AZMG=ZBAE=40°.

♦.•将AABC绕点A旋转到尸的位置，

，/\ABC^/\AEF,

，/F=NC=25°,

ZFGC=ZMG+ZF=40°+25°=65°.

故答案为：65.

15.（2019秋•静安区期末）在△ABC中，边BC、AC上的中线A。、BE相交于点G,AD=6,那么

AG=4.

【解答】解：：A。、BE为△ABC的中线，且AO与BE相交于点G,

，G点是三角形ABC的重心，

AG=-AD=-X6=4,

33

故答案为4.

16.（2020秋•东莞市校级期中）若点（-1,%），（2,力），（3,券）在反比例函数^=与&<0）

X

的图象上，则%,>2,丫3的大小关系是丫2V丫3〈丫1.

【解答】解：•.乂<0,

.•.在每个象限内，y随x值的增大而增大，

.,.当x=-1时，》>0,

；2<3,

.*.y2<j3<0,

故答案为：y2<yi<yt-

17.（2019秋•大安市期末）若抛物线y=N-2r+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右

平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为丫=平-1.

【解答】解：坐标系右移上移，得图象左移下移，得

y=（x+1）2-2（x+1）+3-3

化简，得

y—x2-1,

故答案是：y=炉-1.

18.（2012•南京校级二模）如图，菱形ABCD的边长是13,点。是两条对角线的交点，且OB=12.约

定：三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离.依据这个

约定，可知当。C的半径是2或16时，△ABZ）与。C的距离为3.

【解答】解：,••四边形ABCQ是菱形，

.•.8。是AC的垂直平分线，

,菱形4BCD的边长是13,且0B=12,

/-0A=yjAB2-OB2=“32—122=5,

:.OC=OA=5,

...当如图1所示时，

：△AB。中点。到。C的距离最小，

...△ABD与。C的距离为3,

0C=5,

...OC的半径=5-3=2；

如图2所示：

当菱形A8CD在。C内时，

•点8或点。到。C的距离最短，8=13,

.,.OC的半径=13+3=16.

故答案为：2或16.

三、解答题（共10小题：共84分）

19.（2018•山西）计算：

(1)(20)2-|-4|+3-»6+2°.

2

(2)_x_-2•__x__-_l__1

x-lx2-4x+4x-2

【解答】解：（1）原式=8-4+」x6+l

=8-4+2+1

=7.

⑵原式=三.气竽一意

x+1__£_

x-2x-2

x-2

20.（2020•建湖县三模）（1）解方程：x2-2x=7；

⑵解不等式组：仁4

【解答】解：（1）配方得：N-2x+l=7+l,即（x-1）2=8,

开方得：x-1=±2V2,

解得：%i=l+2V2,x2=1-2^/2;

⑵伊TN3①，

（4-（%+1）<5②

由①得x》2,

由②得x>-2,

则不等式组的解集为xN2.

21.（2020•江阴市模拟）某校“心灵信箱”的设立，为师、生之间的沟通开设了一个书面交流的渠

道.为了解九年级学生对“心灵信箱”开通两年来的使用情况，某课题组对该校九年级全体学生

进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.

两年来，你通过‘心灵信稿.给老师总共投递过几封信？

4没投过B、TtC、两封D、三封或以上

学生调查结果条形统计图

根据图表，解答以下问题:

(1)该校九年级学生共有30人；

(2)学生调查结果扇形统计图中，扇形D的圆心角度数是18°；

(3)请你补充条形统计图；

(4)根据调查结果可以推断：两年来，该校九年级学生通过“心灵信箱”投递出的信件总数至少

有365封.

【解答】解：(1)2254-45%=500,

故答案为：500；

(2)学生调查结果扇形统计图中，扇形。的圆心角度数是：360°X(1-45%-30%-20%)=

18°,

故答案为：18°；

(3)C中的人数为：500X20%=100,

补充完整的条形统计图如右图所示；

(4)500X30%X1+500X20%X2+500X(1-45%-30%-20%)X3=425(封)，

故答案为：425.

22.(2018•陕西)如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,

其中标有数字“1”的扇形的圆心角为120°,转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形

的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的

交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止).

(1)转动转盘一次，求转出的数字是-2的概率；

【解答】解：(D将标有数字1和3的扇形两等分可知转动转盘一次共有6种等可能结果，其中

转出的数字是-2的有2种结果，

所以转出的数字是-2的概率耳.

(2)列表如下:

-2-21133

-244-2-2-6-6

-244-2-2-6-6

1-2-21133

1-2-21133

3-6-63399

3-6-63399

由表可知共有36种等可能结果，其中数字之积为正数的有20种结果,

所以这两次分别转出的数字之积为正数的概率为江=--

369

23.(2019•龙华区二模)某商场按定价销售某种商品时，每件可获利100元；按定价的八折销售该

商品5件与将定价降低50元销售该商品6件所获利润相等.

(1)该商品进价、定价分别是多少？

(2)该商场用10000元的总金额购进该商品，并在五一节期间以定价的七折优惠全部售出，在每

售出一件该商品时，均捐献m元给社会福利事业.该商场为能获得不低于3000元的利润，求m

的最大值.

【解答】解：G)设该商品的进价为x元/件，则定价为(x+100)元/件，

依题意，得：5X[0.8(x+100)-x]=6X(x+lOO-50-x),

解得：x=100,

Ax+100=200.

答：该商品的进价为100元/件，定价为200元/件.

(2)购进商品的数量为10000+100=100(件).

依题意,得:(200X0.7-100-w)X100^3000,

解得：

答：机的最大值为10.

24.(2014•青岛)已知：如图，nABCQ中，。是的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于

点E.

(1)求证：AAOD^AEOC；

(2)连接AC,DE,当NB=NAEB=45°时，四边形ACEO是正方形？请说明理由.

【解答】证明：(1)・・,四边形ABCQ是平行四边形,

：.AD//BC.

：.ZD=ZOCEfZDAO=ZE.

・・・。是CD的中点，

・・・OC=OD,

在△ADO和△EC。中，

(ZD=NOCE

]Z.DAO=Z.CEO9

(D0=CO

：.^AOD^/XEOC(A45)；

(2)当N8=NAEB=45°时，四边形ACE。是正方形.

•・・/\AOD^/\EOCf

：.OA=OE.

又・・,oc=oo,

・・・四边形ACED是平行四边形.

VZB=ZAEB=45°,

：.AB=AE,NBAE=90°.

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD.

：.ZCOE=ZBAE=90°.

4CED是菱形.

U

:AB=AE9AB=CD,

：.AE=CD.

・••菱形ACEZ＞是正方形.

故答案为：45.

25.（2020春•南关区校级月考）图①、图②、图③、图④都是4X4的正方形网格，每个小正方形

的边长均为1,每个小正方形顶点叫做格点.图①中的△ABC的顶点都在格点上.

（1）沿BC边上的高将其剪成两个三角形，用这两个三角形在图②、图③、图④中各拼成一个平

行四边形，所拼得的三个平行四边形不能够完全重合.

（2）直接写出所拼得的平行四边形较长的对角线的长.

【解答】解：（1）如图.答案不唯一.

（2）所拼得的平行四边形较长的对角线的长依次是20、平、旧.

26.（2018•江岸区模拟）已知，RtAABC,/ACB=90°,点力为AB边上一点，以长为半径作

OA,连接0c.

（1）如图1,若NA=NBC£>,求证：与OA相切；

（2）如图2,过点。作AC的平行线交。A于另一点E,交BC于点F,连接BE、AE,若NAEB

=90°,ED=DF,求tan/AE£>的值.

B

B

【解答】证明：(1)VZACB=90°,

ZACD+ZBCD=90°,

・・・ZA=ZBCD,

：.ZA+ZACD=90Q,

AZADC=90°,即AOJ_OC,

・・・CO与。A相切；

(2)解：VZACB=90°,

/.ZABC+ZBAC=90°,

*：EF//AC,

：.ZBAC=ZEDAf

9：AE=AD,

：.ZEDA=ZAED,

：.ZBAC=ZAED9

・：NAED+/BEF=90°,

・・・NABC=/BEF,

■:/DFB=/EFB,

:•△EFBsXBFD

,EFBF

••—=—，

BFDF

,:ED=DF,

:・EF=2DF,

：.BF=V2DF,

tanZAED=tanAADE=tanZBDF=0.

27.（2020秋•天河区校级期末）已知抛物线y=-/+厩+c与x轴交于点A（加-2,0）和5（2优+1,

0）（点A在点8的左侧），与y轴相交于点C,顶点为P,对称轴为/：x=\.

(1)求抛物线解析式；

(2)直线y=Ax+2(ZWO)与抛物线相交于两点M(制，yi),N(尬，以)(xi<X2),当m-刈

最小时，求抛物线与直线的交点〃和N的坐标；

(3)首尾顺次连接点0、B、P、C构成多边形的周长为L若线段08在x轴上移动，求L最小

值时点。、8移动后的坐标及L的最小值.

【解答】解：(1):抛物线y=-f+foc+c与x轴交于点A(根-2,0)和B(2m+1,0),

・m-2+2m+l,

••11,

2

••/W=1,

・••点A(-1,0),8(3,0),

.•.抛物线的解析式为尸-(x+1)(X-3)=-x2+2x+3；

(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=

根据题意得，尸7j：2x+3,

(y=kx4-2

・*+(右2)x-1=0①，

.*.X1+X2=2-k,X\X2=-1,

222

/.(xi-X2)=(X1+X2)-4XIX2=(2-k)+4,

要使M-X2I最小,则(曲-戈2)2最小,

・•・(左-2)2+4最小，

即1=2时,M721最小，

・•・方程①可化为1=0,

•'•X=±1,

：.M(-1,0),?/(1,4)；

(3)由(1)知，抛物线的解析式为y=-3+2¥+3=-(X-1)2+4,

：.C(0,3),P(1,4),

:・CP=JM+(4-3)2=V2,

•：B(3,0),

・•・08=3,

如图，记03平移后对应的点分别为O\B\

：.OB=3,

设平移后点。'的坐标为(〃，0),

则B'(n+3,0),

以CP,8尸为两边邻边作平行四边形CPB'E,

则CE=BHE(〃+3-1,0-1),

即E(〃+2,-1),

过点C作直线使机〃x轴，作点0'关于直线机的对称点£)(〃，6),

O'C^DC,

'：L=CP+O'B'+O'C+B'P=y[2+3+DC+CE,

要使L最小，则DC+CE最小，

即点。，C,E在同一条直线上，OC+CE的最小值为。E,

VC(0,3),

设直线DE的解析式为y=k'x+3,

.(nk+3=6

+2)k'=-1

：.O'0),B'(-,0),D6),E(-,-I),

7777

DE—J(：+1)2+(6+1)2=^53>

最小值为衣+3+图.

28.(2020•河南一模)抛物线y=/+bx+c与无轴负半轴交于点A,与x轴正半轴交于点B,与y轴

交于点c.

(1)如图1,若OB=2OA=2OC

①求抛物线的解析式；

②若M是第一象限抛物线上一点，若cosNMAC=①，求M点坐标.

17

(2)如图2,直线防〃x轴与抛物线相交于£、尸两点，P为EF下方抛物线上一点，且尸(〃?,

-2).若NEPF=90°,则£产所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由.

【解答】角军：(1)①,・"=0时，y=x2+hx+c=c

：.C(0,c),O