2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案空间向量其运算强化训练

第三课时空间向量及其运算加强训练一、复习目标：1、认识空间向量的观点，认识空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、掌握空间向量的数目积及其坐标表示，能运用向量的数目积判断向量的共线与垂直；4、经过本课加强训练，使学生进一步娴熟理解和掌握上述观点和运算方法，提升学生的灵巧和综合运用能力。二、重难点：空间向量及其运算的综合运用。三、教课方法：讲练联合，探析概括。四、教课过程（一）、基础自测（分组训练、共同沟通）有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若

MP=xMA

+yMB

，则

P、M、A、B共面；④若

P、M、A、B共面，则

MP

=xMA+yMB

.此中真命题的个数是（B）。D.4以下命题中是真命题的是(D)。分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向同样或相反若向量AB，CD知足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CDD.若两个非零向量AB与CD知足AB+CD=0，则AB∥CD3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则（C）。A.x=1,y=1B.x=1，y=-122C.x=1，y=-3D.x=-1，y=36262已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2），点Q在直线OP上运动，当QA·QB取最小值时，点Q的坐标是.答案4,4,83335.在四周体O-ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则OE=(用a,b,c表示).答案1a+1b+1c244（二）、典例探析例1、如下图，在平行六面体ABCD-ABCD中，设AA1=a，1111AB=b，AD=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（1）AP；（2）A1N；（3）MP+NC1.解（1）∵P是CD的中点，∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+1D1C1=a+c+1AB=a+c+1b.11222（2）∵N是BC的中点，∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+1BC=-a+b+1AD=-a+b+1c.222（3）∵M是AA的中点，∴MP=MA+AP=1A1A+AP=-1a+(a+c+1b)=1a+1b+c，122222又NC1=NC+CC1=1BC+AA1=1AD+AA1=1c+a，∴222MP+NC1=(1a+1b+c)+(a+1c)=3a+1b+3c.222222例2、如下图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.1）求证：MN⊥AB，MN⊥CD；（2）求MN的长；3）求异面直线AN与CM夹角的余弦值.（1）证明设AB=p,AC=q，AD=r.由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.1（AC+AD）-1AB=1（q+r-p），MN=AN-AM=222MN·AB=1（q+r-p）·p=1（q·p+r·p-p2）=1（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.222MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.（2）解由（1）可知MN=1（q+r-p）∴|MN|2=MN2=1（q+r-p）224=1［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］=1[a2+a2+a2+2（a2-a2-a2）]44222=1×2a2=a2.∴|MN|=2a,∴MN的长为2a.4222(3)解设向量AN与MC的夹角为.∵AN=1(AC+AD)=1(q+r),MC=AC-AM=q-1p,222AN·MC=1（q+r）·（q-1p）=1（q2-1q·p+r·q-1r·p）22222=1(a2-1a2·cos60°+a2·cos60°-1a2·cos60°)=1（a2-a2+a2-a2）=a2.22224242又∵|AN|=|MC|=3a，2∴AN·MC=|AN|·|MC|·cos=3a·3a·cos=a2.∴cos=2，2223∴向量AN与MC的夹角的余弦值为2，进而异面直线AN与CM夹角的余弦值为2.33例3、（1）求与向量a=(2,-1,2)共线且知足方程a·x=-18的向量x的坐标；（2）已知A、B、C三点坐标分别为（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P的坐标使得AP=1（AB-AC）；2（3）已知a=（3，5，-4），b=（2，1，8），求：①a·b；②a与b夹角的余弦值；③确立，的值使得a+b与z轴垂直，且（a+b）·（a+b）=53.解（1）∵x与a共线，故可设x=ka，由a·x=-18得a·ka=k|a|2=k（414）2=9k，∴9k=-18，故k=-2.x=-2a=（-4，2，-4）.2）设P（x，y，z），则AP=（x-2，y+1，z-2），AB=（2，6，-3），AC=（-4，3，1），∵AP=1（AB-AC）.2∴（x-2，y+1，z-2）=1［（2，6，-3）-（-4，3，1）］=1（6，3，-4）=(3，3，-2)222x23y13，解得2z22

x51y2z0

P点坐标为(5，1，0).23）①a·b=（3，5，-4）·（2，1，8）=3×2+5×1-4×8=-21.②∵|a|=3252(4)2=52,|b|=221282=69,ab21=-7138.∴a与b夹角的余弦值为-7138.∴cos〈a,b〉=ab=6952230230③取z轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）.依题意aba0即32,5,480,0,10abab5332,5,485,6,4534801故解得1.2918532（三）、加强训练：如下图，正四周体V—ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.1）求证：AO、BO、CO两两垂直；2）求〈DM,AO〉.(1)证明设VA=a,VB=b,VC=c,正四周体的棱长为1,则VD=1(a+b+c),AO=1(b+c-5a),36BO=1(a+c-5b),CO=1(a+b-5c)66AO·BO=1（b+c-5a）·（a+c-5b）=1（18a·b-9|a|2）36361=（18×1×1·cos60°-9）=0.∴AO⊥BO，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO，AO、BO、CO两两垂直.（2）解DM=DV+VM=-1（a+b+c）+1c=1(-2a-2b+c).∴3262|DM|=12a2bc=1，62|AO|=1b22，DM·AO=1（-2a-2b+c）·1（b+c-5a）=1，c5a=626641∴cos〈DM,AO〉=4=2，∵〈DM,AO〉∈(0,),∴〈DM,AO〉=45°.12222（四）、小结：本节主要有空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量近似，拥有近似的运算法例.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因此运算的方法和运算规律结论没变。不同点仅是向量在不同空间拥有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不同样，但实质是一致的，即对应坐标成比率，且比值为，关于中点公式要熟记。（五）、作业部署：复资P129页中4、5、8、9增补：1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E、F分别是BC、AD的中点，则AE·AF的值为（C）A.a2B.1a2C.1a2D.3a22442、已知A（4，1，3），B（2，-5，1），C为线段AB上一点，且AC=1，则C点的坐标为AB3(C)A.(715B.8，3，2)107D.，，)(C.(，1，)222333(573，，)2223、如下图，平行六面体ABCD—ABCD中，以极点A为端点的三条棱长度都为1，且两1111两夹角为60°.(1)求AC1的长；（2）求BD1与AC夹角的余弦值.解记AB=a，AD=b，AA1=c，则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,a·b=b·c=c·a=1.2（1）|AC1|2=（a+b+c）2=a2+b2+c2