高考数学第4章三角函数解三角形第5节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换教学案文

第2课时简单的三角恒等变换(对应学生用书第74页)⊙考点1三角函数式的化简1．三角函数式的化简要按照“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．421(1)化简：2cosx－2cosx＋2＝________.π2π2tanxsin－＋x44π10ππ(2)已知cosθ＋4＝10，θ∈0，2，则sin2θ－3＝________.ππ5π(3)已知α为第二象限角，且tanα＋tan12＝2tanαtan12－2，则sinα＋6＝________.14－3331014cos4x－4cos2x＋12(1)2cos2x(2)10(3)－10[(1)原式＝π＝sin－xπ422×π·cos4－xcos4－x2cos2x－12ππ4sin4－xcos4－x22＝cos2x＝cos2x＝1cos2x.π2cos2x22sin2－2x1＋cos2θ＋π2θ＋π212θ＋π(2)由题意可得，cosθ＝＝2＝410，cos2＝－sin244－，即sin2θ＝.55π10π由于cosθ＋＝10＞0，θ∈0，，42π0，π所以0＜θ＜4，2θ∈2，依据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝3，5由两角差的正弦公式，可得2πππsinθ－＝sin2θcos3－cos2θsin33＝4×1－3×3＝4－33.525210π由已知可得tanα＋12＝－2，∵α为第二象限角，α＋π25π5∴sin12＝5，cosα＋＝－5，125ππ则sinα＋6＝－sinα－6＝－sinα＋ππ12－4ππππ310＝cosα＋12sin4－sinα＋12cos4＝－10.]化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用．⊙考点2三角函数的求值给角求值[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝________.6[原式＝2sin50°＋sin10cos10°＋3sin10°80°＝°··2sincos10°132cos10°＋2sin10°·2cos10°＝22[sin50°·cos2sin50°＋2sin10°·cos10°10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.]该类问题中给出的角一般都不是特别角，需要经过三角恒等变换将其变成特殊角，或许可以正负相消，或许可以约分相消，最后获得详细的值．给值求值πα437π(1)(2019·益阳模拟)已知cosα－＋sin＝5，则sinα＋＝66________.(2)已知cosπ317π7π，则sin2α＋2sin2α的值为________．＋α＝，12＜α＜41－tanα45428π43(1)－5(2)－75[(1)由cosα－6＋sinα＝5，3143可得2cosα＋2sinα＋sinα＝5，3343即2sinα＋2cosα＝5，43所以3sinα＋6＝5，4即sinα＋6＝5，7πα＋π4所以sinα＋＝－sin6＝－5.6(2)sin2α＋2sin2α＝2sinαcosα＋2sin2α1－tanαsinα1－cosα2sinαcosαcosα＋sinα＝cosα－sinα1＋tanαπ＝sin2α1－tanα＝sin2α·tan4＋α.17π7π5ππ＜2π，由12＜α＜4得3＜α＋4又cosπ＋α＝3，45π4π4所以sin4＋α＝－5，tan4＋α＝－3.cosα＝cosππ2，sinα＝－72，sin27.＋α－4＝－1010α＝254sin2α＋2sin2α7428所以1－tanα＝25×－3＝－75.]给值求值的重点是经过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．(2)注意π＋x与π－x互余，sin2π＋x＝cos2x，cos2πx的灵444－x＝sin24活应用．给值求角5310，则α＋β的值为( )(1)设α，β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－1053π5πA.4B.47π5π7πC.4D.4或411(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tanβ＝－7，则2α－β的值为________．35310(1)C(2)－4π[(1)∵α，β为钝角，sinα＝5，cosβ＝－10，∴cos25，sin10α＝－5β＝10，2cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝2＞0.3π又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈2，2π，α＋β＝7π.4(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]11tanα－β＋tanβ2－71＝＝1＝＞0，1－tanα－βtanβ131＋2×7π0＜α＜2.12tanα2×3又∵tan23α＝2α＝＝＞0，1－tan1241－3π∴0＜2α＜2，31∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ＝4＋7＝1.1＋tan2αtanβ311－4×7πtanβ＝－7＜0，∴2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，3π∴2α－β＝－4.]经过求角的某种三角函数值来求角，在选用函数时，有以下原则：①已知正切函数值，则选正切函数．π②已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是0，2，则选正、余弦(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ皆可；若角的范围是－，22，则选正弦较好．提示：求解此类问题时，必定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围．1.(2019·安徽六安二模)若sin2α＝510，sin(β－α)＝，且510π3πα∈4，π，β∈π，2，则α＋β的值是()A.7πB.9π44C.5π7πD.5π9π4或44或4π515πA[由于α∈4，π，且0＜sin2α＝5＜2，所以2α∈6，π，5ππ225所以α∈12，2，cos2α＝－1－sin2α＝－5.3ππ13π由于β∈π，2，所以β－α∈2，12，10π又sin(β－α)＝10＞0，所以β－α∈2，π，2310所以cos(β－α)＝－1－sinβ－α＝－10.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)253105102＝－5×－10－5×10＝2.5ππ3π17π7π又α∈12，2，β∈π，2，所以α＋β∈12，2π，所以α＋β＝4.应选A.]2．已知α∈0，π，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则2sinα＋π4α＋1＝________.sin2α＋cos226π228[∵α∈0，2，且2sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，π又∵α∈0，2，sinα＋cosα＞0，2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝2α＝3，sin，1313sinπα＋4sin2α＋cos2α＋12sinα＋cosα2262sinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝4cosα＝8.]⊙考点3三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的应用策略进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变构造，特别是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单一性、最值与对称性．(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；π2π2(2)求函数y＝fx＋fx＋＋的值域．124[解](1)由于f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对随意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.3π又θ∈[0,2π)，所以θ＝2或θ＝2.π2π2(2)y＝fx＋＋f12x＋4ππ＝sin2xπ2xπ1－cos2x＋61－cos2x＋2＋＋＝2＋212＋sin4＝1－133π.23cos2x－sin2x＝1－cos2x＋3222所以，所求函数的值域是331－2，1＋.2(1)求三角函数分析式y＝sin(＋)(＞0，ω＞0)时要注意φ的取值范AωxφA围．依据二倍角公式进行计算时，假如波及开方，则要注意开方后三角函数值的符号．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π的值；3求f(x)的最小正周期及单一递加区间．2π32π1[解](1)由sin3＝2，cos3＝－2，得f2π321