八年级数学下册《三角形的证明》单元测试卷(附答案解析)

第页八年级数学下册《三角形的证明》单元测试卷(附答案解析)一、单选题（每题3分，共30分）1．若等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．40° B．70° C．80° D．100°2．等腰三角形的两边长分别为6和14，则这个等腰三角形的底边长是（）A．6 B．6或14 C．14 D．343．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AD=3，BC=8，则AB的长为（）A．5 B．4 C．3 D．14．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一组锐角对应相等 B．两组锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C6．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=（）

A．28° B．59° C．60° D．62°7．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC平点D，AE∥BD交CB的延长线于点E。若∠E=35°，则∠BAC的度数为()A．40° B．45° C．60° D．70°8．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°9．已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则BD的长度为（）A．32cm B．2cm C．52cm10．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E.过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF，①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=25；⑤∠CAF=∠CFB．其中正确的结论有(A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题（每题3分，共30分）11．面积为48的等腰三角形底边上的高为6，则腰长为．12．如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB=46°，则∠A=°．13．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=度．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于点D，若BD=12，则AC=．16．如图，在等腰△ABC中，AC=BC=5，AB=6，D，E分别为AB，AC边上的点，将边AD沿DE折叠，使点A落在CD上的点F处.当点F与点C重合时，AD=.17．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于.18．如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为cm．19．如图，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上，AD=5，BE=4，则AB的长为.20．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点D是边BC的中点，直线MN是AB的垂直平分线，点E是MN上的一个动点，则△BDE周长的最小值是．三、解答题（共6题，共60分）21．利用尺规作图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法．）22．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求证：BE=CF.23．如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AB、AC的垂直平分线分别与BC交于D、E，求∠EAD的度数。24．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC边的垂直平分线PE相交于点P，过点P作AB，AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M，N，求证：BM＝CN．25．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠FAD＝∠E．26．如图，Rt△ABC，AC⊥CB，AC=15，AB=25，点D为斜边上动点.

（1）如图，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE；（2）如图，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD.

参考答案与解析1．【答案】B【知识点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180°故答案为：B．

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，可以求出底角的度数。2．【答案】A【知识点】等腰三角形的性质【解析】【解答】①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、14，不能组成三角形，②6是底边时，三角形的三边分别为6、14、14，能组成三角形，∴三角形的底边长为6，故答案为：A．

【分析】分两种情况，再结合三角形三边的关系及等腰三角形的性质求解即可。3．【答案】A【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，∴BD＝CD＝12∵AD＝3，BD＝4，AD⊥BC，∴AB＝AD故答案为：A．

【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD＝CD＝124．【答案】D【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

【解答】A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；

B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误；

C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误；

D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，

故选：D．

【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；直角三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．5．【答案】D【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，同理，B，C均为直角三角形，D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．【分析】由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．6．【答案】B【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【分析】根据∠C=90°AD=AC，求证△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE=12【解答】∵在△ABC中，∠C=90°，

AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，

∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE=∠DAE=12∠CAB，

∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，

∴∠CAB=90°-28°=62°，

∵∠AEC=90°-12​∠CAB=90°-31°=59°．7．【答案】A【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AE∥BD，

∴∠CBD=∠E=35°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBD=35°×2=70°，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC=70°，

∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70×2=40°，

故答案为：A.

【分析】由平行线的性质求出∠CBD，再根据角平分线的定义求出∠ABC，然后利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用三角形内角和定理即可求出结果.8．【答案】B【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，故答案为：B．

【分析】先根据垂直平分线的性质得到∠A＝∠ACD，再根据角平分线的性质得到∠ACB＝2∠ACD＝100°，最后利用三角形的内角和计算即可。9．【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB于点E∵∠ACB=90°，AD平分∠CAB，AC=3cm,BC=4cm∴CD=ED,AB=在ΔACD和ΔAED中，AD=AD∴ΔACD≅ΔAED(HL)∴AE=AC=3cm∴BE=AB−AE=5−3=2(cm)设BD=x，则ED=CD=BC−BD=4−x在RtΔBDE中，BE2解得x=故答案为：C.【分析】如图（见解析），过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD=ED，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE=AC，最后在RtΔBDE中，利用勾股定理即可得.10．【答案】B【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；勾股定理【解析】【解答】解：①不符合题意.∵CD=DB，∴AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC=BC，显然与已知矛盾，故不符合题意．②符合题意.易证△DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2．③符合题意.∵AC=BC，∠ACD=∠CBF，CD=BF，∴△ACD≌△CBF，∴∠CAD=∠BCF，∵∠BCF+∠ACF=90∴∠CAD+∠ACF=90∴AD⊥CF．④符合题意.在Rt△ACD中，AD=AC2+⑤符合题意.∵△ACD≌△CBF，∴AD=CF=AF，∴∠CAF=∠FCA，∵AC//BF，∴∠CFB=∠FCA=∠CAF．故答案为：B．【分析】利用角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理和平行线的性质对每个结论一一判断即可作答。11．【答案】10【知识点】等腰三角形的性质【解析】【解答】解：如图所示：△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，则12即12∴BC＝16，∴BD＝12∴AB＝AD2+B故答案为：10．【分析】先求出BC＝16，再求出BD=8，最后利用勾股定理计算求解即可。12．【答案】67【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=46°，∴∠A=12（180°-∠ACB故答案为：67．

【分析】由等腰三角形的性质可得CD垂直AB，角ACD等于23度，进而可求解。13．【答案】AC=DE【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：AC=DE，理由是：∵AB⊥DC，∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．故答案为：AC=DE．【分析】先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．14．【答案】45【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠CAD=∠FBD∠BDF=∠ADC∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．故答案为：45．【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．15．【答案】6【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：连接AD，∵DE垂直平分AB，∴AD=BD=12，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°，又∠C=90°，∴AC=12故答案为：6．

【分析】连接AD，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=12，∠ADC=∠DAB+∠B=30°，再利用含30°角的性质可得AC=1216．【答案】25【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理【解析】【解答】解：如图，过C作CH⊥AB于H，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴CD=AD，

∵AC=BC，

∴AH=HB=3，

∴HD=AD-3,

∵CH=AC2−AH2=52−32=4,

∵CD2=CH2+HD2，

设AD=x,

∴x2=42+(x-3)2,

解得x=2517．【答案】8【知识点】线段垂直平分线的性质【解析】【解答】解：因为AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，所以AD=DB，AE=CE.△ADE的周长为AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8.故答案为8.【分析】利用线段垂直平分线的性质可知AD=BD，AE=EC，由此可得到△ADE的周长等于BC的长.18．【答案】13【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠MAC，∵CE⊥AD，CM⊥AB，∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，在Rt△AEC和Rt△AMC中，AC=AC，CE=CM，∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），∴AE＝AM＝4cm，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠MBC，在△EDC和△MBC中，∠DEC=∠CMB∠EDC=∠MBC∴△EDC≌△MBC（AAS），∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），故答案为：13．【分析】如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，由角平分线的性质可得∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，证明Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），可得AE＝AM＝4cm，再根据AAS证明△EDC≌△MBC，可得ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，根据四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC，即可求解.19．【答案】9【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【解析】【解答】如图,过C点作CF⊥AB于F∴∠AFC=∠BFC=90°,(垂直的定义)∵AC平分∠DAB，∴CF=CD.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)∴Rt△ACF≌Rt△ACD(HL)∴AF=AD.同理可证BF=BE.∵AB=AF+BF,.∴AB=AD+BE=5+4=9【分析】过C点作CF⊥AB于F，利用角平分线的性质和三角形全等的判定与性质即可解答20．【答案】14【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：连接AD，AE，∵MN是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC是等腰三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE≥BD+AD，当A、E、D三点共线时，△BDE的周长最小，∵AB=AC=10，BC=12，即BD=6，∴AD=AB∴△BDE的周长最小值为BD+AD=6+8=14，∴△BDE的周长最小值为14，故答案为：14．【分析】连接AD，AE，由MN是AB的垂直平分线可得AE=BE，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DE+AE，由于BD时定值，可知当DE+AE最小时，△BDE的周长最小，当A、E、D三点共线时，DE+AE最小且等于AD的长，利用勾股定理求出AD的长，继而得解.21．【答案】解：如图，点P为所作．【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【分析】先作出∠AOB的平分线和CD的中垂线，两线的交点即为所作的点P．22．【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

DE=DFBD=CD，

∴△BED≌△CFD（HL），

∴【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质【解析】【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，然后利用直角三角形的斜边直角边定理证明△BED≌△CFD，即可解决问题.23．【答案】解：∵AB，AC的垂直平分线MD和EN分别与BC交于D，E

∴DA=DB，AE=CE，

∴∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，

∴∠BAD+∠EAC=∠ABD+∠ECA=180°-∠BAC=100°，

又∵∠BAD+∠EAC=∠BAE+∠EAD+∠DAC+∠EAD=∠BAC+∠EAD=80°+∠EAD=100°，

∴∠EAD=100°-80°=20°，

【知识点】角的运算；线段垂直平分线的性质【解析】【分析】根据垂直平分线的性质得出∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠ECA，结合∠BAC=80°推出180°-∠BAC=100°，然后根据角的和差关系得出80°+∠EAD=100°，即可求出∠EAD的度数.24．【答案】解：连接PC，PB，

∵AP平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC，

∴PM=PN，∠BMP=∠PNC=90°

∵PE垂直平分BC，

∴BP=CP

在Rt△BPM和Rt△CPN中

PM=PNBP=CP

∴Rt△BPM≌Rt△CPN（HL）

∴BM=CN【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质【解析】【分析】连接PC，PB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得PM=PN，利用线段垂直平分线的性质可证得BP=CP；再利用HL证明Rt△BPM≌Rt△CPN，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.25．【答案】（1）解：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF=∠BCA，∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF（2）解：∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一个外角，∴∠DCA=∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF，∵∠CAF=∠EAC，∴∠FAD