北师大版选择性必修第一册第3章4.3第1课时空间中的角作业

4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系第1课时空间中的角必备知识基础练1.(2021山东泰安肥城高二上学期期中)若两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),则直线l1与l2的夹角为()A.30° B.60° C.120° D.150°2.(2021山西吕梁贺昌中学高二上学期期中)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=A1A=2,M,N分别是BB1和B1C1的中点,则直线AM与CN所成角的余弦值等于()A.52 B.5C.25 D.3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AA1=3,AB=AC=BC=2,则AA1与平面AB1C1所成角的大小为()A.30° B.45°C.60° D.90°4.已知正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角为()A.30° B.45° C.60° D.90°5.(多选题)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1,CF=87,则(A.BD⊥ECB.BF∥平面ADEC.二面角E-BD-F的平面角的余弦值为1D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为56.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.?7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的平面角的余弦值为.?8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1上的点,CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.(1)证明:AF⊥平面A1ED;(2)求二面角A1-ED-F的平面角的正弦值.关键能力提升练9.如图,在三棱锥C-OAB中,OA⊥OB,OC⊥平面OAB,OA=6,OB=OC=8,CE=14CB,D,F分别为AB,BC的中点,则异面直线DF与OE所成角的余弦值为(A.1010 B.6C.3030 D.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1上靠近点B1的四等分点,则直线AC1与平面EFD1所成角的正弦值为()A.2613 B.22613 C.211.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,E为侧棱BB1上的一点,且B1EB1B=13,则直线AE与平面A.255 B.1010 C.312.(2021山东师范大学附属中学高二月考)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,点P在A1B1上,且满足A1P=λA1B1,当直线PN与平面ABC所成的角取得最大值时,A.12 B.22 C.3213.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则异面直线AC与PD所成角的余弦值为.14.(2021福建龙岩高二上学期联考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=AA1,且C1D与底面A1B1C1D1所成角为60°,则直线C1D与平面CB1D1所成角的正弦值为.?15.如图,梯形ABCD中,AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90°,沿对角线AC将△ABC折起,使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.(1)求证:AB⊥平面BCD;(2)求异面直线BC与AD所成的角;(3)求二面角B-AD-C的平面角的余弦值.学科素养创新练16.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=22,PA=2.(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD所成锐二面角的平面角为45°?如果存在,求出BM与平面MAC所成角的大小;如果不存在,请说明理由.答案：1.B由题意,两异面直线l1与l2的一个方向向量分别是n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1),可得|n1|=2,|n2|=2,n1·n2=-1,设异面直线l1与l2所成的角为θ,则cosθ=|cos<n1,n2>|=|n又因为0°<θ≤90°,所以θ=60°,即直线l1与l2的夹角为60°.故选B.2.D取AC的中点O,过点O作OO1∥AA1,交A1C1于点O1,连接OB,以OB,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,-1,0),M(3,0,1),C(0,1,0),C1(0,1,2),B1(3,0,2),N32,12所以AM=(3,1,1),CN=32,-12,2,设直线AM与CN所成角为θ,则cosθ=|cos<AM,CN>|=故选D.3.A4.B5.BC以点A为坐标原点,AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F1,2,87,所以BD=(-1,1,0),EC=(1,2,-2),因为BD·EC=1则BD与EC不垂直,故选项A错误;因为AB=(1,0,0)为平面ADE的法向量,又因为BF=0,2,87,则BF·AB=0,又因为直线BF?平面所以BF∥平面ADE,故选项B正确;由题意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2),设平面BDF的一个法向量为m=(a,b,c),则m令b=1,则a=1,c=-74故m=1,1,-74,设平面BDE的一个法向量为n=(x,y,z),则n令z=1,则x=y=2,故n=(2,2,1),故cos<m,n>=m·二面角E-BD-F的平面角为锐角,因此其余弦值为13故选项C正确;设直线CE与平面BDE所成的角为θ,则sinθ=|cos<CE,n>|=|CE故选项D错误.故选BC.6.925如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系由已知得A1(4,0,0),B(4,4,3),B1(4,4,0),C(0,4,3).∴A1B=(0,4,3),B1C∴cos<A1B,7.28.(1)证明以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),设AB=1,依题意得D(0,2,0),F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,易得AF=(1,2,1),EA1=-1,-32,4,ED=-1,12,0又因为EA1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED.(2)解设平面EFD的一个法向量为u=(x,y,z),则u又因为EF=0,12,1,ED=-1,由(1)可知,AF为平面A1ED的一个法向量,于是cos<u,AF>=u·AF|u||AF|=23所以二面角A1-ED-F的平面角的正弦值为539.B10.D以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则E(1,2,0),F32,2,2,D1(0,0,2),∴EF=12,0设平面EFD1的法向量n=(x,y,z),则n·EF=0,n·D1F=0,即12x+2z=0,32x+2y=0,取x=4,得n=11.B以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,A1(2,0,3),E(2,2,2),D1(0,0,3),A(2,0,0),∴A1E=(0,2,-1),D1E=(2,2,-1),EA=(0,-设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则A即2y-z=0,2x∴cos<n,EA>=n·EA|设直线AE与平面A1ED1所成角大小为θ,则sinθ=|cos<n,EA>|=310所以cosθ=1-12.A如图,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则N12,12,∴PN=易得平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),设直线PN与平面ABC所成的角为θ,则sinθ=|cos<PN,n>|=|PN∴当λ=12时,sinθ=255,此时角θ最大.13.24取AC的中点O,连接OP,OB因为PA=PC,所以AC⊥OP.因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以OP⊥平面ABC,所以OP⊥OB.又因为AB=BC,所以AC⊥OB.于是以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(22,0,0),C(-22,0,0),P(0,0,22),D(2,所以AC=(-42,0,0),PD=(2,6,-2设AC与PD所成角为θ,所以cosθ=|cos<AC,PD>|=故异面直线AC与PD所成角的余弦值为2414.155由题意得∠DC1D1即为C1D与底面A1B1C1D1所成的角,∴∠DC1D1=60°∵AB=C1D1=1,∴DD1=3.以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),C1(0,1,3),C(0,1,0),B1(3,1,3),D1(0,0,3),则DC1=(0,1,3),CB1=(3,0,3),CD1设平面CB1D1的一个法向量为n=(x,y,z),则n令x=1,则y=-3,z=-1,即n=(1,-3,-1),设直线C1D与平面CB1D1所成的角为θ,则sinθ=|cos<DC1,n>|=DC1·n|DC1||n|15.(1)证明在梯形ABCD中,易得AC=DC=2,又AD=2,∴AC2+DC2=AD2,∴AC⊥DC.由题意得BO⊥平面ACD,AC?平面ACD,∴BO⊥AC,又AB=CB,∴O为AC的中点.取AD的中点E,连接OE,则AC⊥OE.以O为坐标原点,OA,OE,OB所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则A22,0,0,B0,0,22,C-22,0,0,D-22,2,0,∴AB=-22∴AB·CD=0,∴AB⊥又AB⊥BC,BC∩CD=C,∴AB⊥平面BCD.(2)解由(1)可得BC=-22,0,-22,AD=∴cosθ=|cos<AD,BC>|=∴θ=60°,即异面直线BC与AD所成的角为60°.(3)解易知平面ACD的一个法向量为OB=设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z),则n取z=1,则x=y=1,∴n=(1,1,1).则cos<OB,n>=OB·易知二面角B-AD-C的平面角为锐角,∴余弦值为3316.(1)证明取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).∵点N为PC的中点,∴N(0,0,1),∴DN=(1,0,1).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0),可得n=(0,1,0),∴DN·n=0.又DN?平面PAB,∴DN∥平面PAB.(2)解由(1)知AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2).设直线AC与PD所成的角为θ,则cosθ=cos<AC,PD>=(3)解存在.设M(x,y,z),且PM=λP