2020版广西数学复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精考点规范练7函数的奇偶性与周期性考点规范练A册第5页

一、基础巩固1.函数f(x)=1x-x的图象关于(A。y轴对称 B。直线y=—x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称答案C解析∵f(—x)=—1x+x=-1x-x=-f(x）,且定义域为（-∞，0）∪（0∴f（x)为奇函数.∴f(x）的图象关于坐标原点对称.2。下列函数中,既是偶函数,又在区间(—∞,0)内单调递增的是(）A.y=x2 B.y=2|x｜C。y=log21|x| D。答案C解析函数y=x2在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=2｜x｜在区间（-∞，0)内是减函数；函数y=log21|x|=-log2｜x｜是偶函数，且在区间（-∞,0)内是增函数;函数y=sinx不是偶函数.3.已知函数f(x)=x4+1,A.f（x）是偶函数 B.f（x）是增函数C。f（x）是周期函数 D。f（x）的值域为[—1，+∞)答案D解析因为y=x4+1（x〉0）的值域为（1，+∞），且y=cos2x(x≤0）的值域为[—1,1］，所以f（x）的值域为（1,+∞)∪[—1，1]=[—1，+∞）.故选D。4。已知函数y=f（x)+x是偶函数，且f(2）=1,则f(-2）=()A。1 B.5 C。-1 D。-5答案B解析令g（x）=f(x)+x,由题意可得g（-2）=g（2)=f(2)+2=3。又g（-2）=f(-2）-2，故f(-2）=g（—2）+2=5.5.已知奇函数f（x）的定义域为R，若f(x+1）为偶函数，且f（1)=2,则f(4)+f(5)的值为（）A.2 B。1 C。-1 D.-2答案A解析∵f（x+1)为偶函数，f（x)是奇函数，∴f（-x+1）=f（x+1），f（x）=—f（-x），f（0）=0,∴f(x+1)=f（—x+1）=-f(x—1）,∴f（x+2)=-f（x）,f（x+4）=f（x+2+2）=—f（x+2)=f（x)，则f(4)=f（0）=0，f(5)=f(1）=2，∴f（4)+f（5）=0+2=2,故选A.6。已知函数f（x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+2)=f（x）.若当x∈［0,1)时,f(x）=2x—2,则f(log124A。0 B。1 C。2 D。-2答案A解析因为函数f(x）是定义在R上的奇函数，所以f（log1242）=f(—log2252又f(x+2)=f（x）,所以f52=f12=所以f(log12427.已知定义域为R的函数f（x）在区间(8,+∞）内为减函数，且函数y=f（x+8)为偶函数,则（)A.f（6)>f(7） B.f(6)〉f(9)C。f(7）>f（9） D。f（7）〉f(10）答案D解析由y=f(x+8）为偶函数，知函数f(x)的图象关于直线x=8对称。又f（x)在区间(8,+∞)内为减函数,故f(x)在区间（—∞，8）内为增函数。可画出f（x）的草图(图略），知f（7）〉f（10）.8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x。若f(2-a2）>f（a),则实数a的取值范围是（)A.（-∞,—1)∪（2，+∞) B.(-1，2)C.(-2，1) D。（—∞,-2）∪(1，+∞)答案C解析因为f(x)是奇函数,所以当x〈0时,f（x）=-x2+2x。作出f(x）的大致图象如图中实线部分，结合图象可知f(x）是R上的增函数。由f(2—a2)>f（a）,得2-a2>a,即-2〈a〈1，选C.9.偶函数y=f（x)的图象关于直线x=2对称,f（3)=3,则f(-1）=。

答案3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(x）=f（4—x),f(-x)=f（4+x）。又f(—x)=f（x)，所以f（x）=f（4+x）,则f(—1)=f（4-1）=f(3)=3。10。已知定义在R上的奇函数y=f（x）在区间（0,+∞)内单调递增,且f12=0,则f（x）〉0的解集为.答案x解析由奇函数y=f（x）在区间（0，+∞)内单调递增,且f12=0,可知函数y=f（x）在区间（—∞，0）内单调递增,且f-12=0.由f(x）〉0,可得x>12或—11.已知f（x）是R上的奇函数,f(1）=2，且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x）+f(3)成立，则f（2017)=.

答案2解析因为f（x)是R上的奇函数，所以f（0)=0。又对任意x∈R都有f（x+6)=f（x）+f（3),所以当x=—3时,有f（3）=f（—3)+f（3)=0，所以f(-3)=0，f(3）=0，所以f（x+6)=f（x），周期为6。故f（2017)=f（1)=2.12.已知奇函数f（x）的定义域为[-2，2]，且在区间［-2,0]上单调递减,则满足f（1—m）+f（1—m2）〈0的实数m的取值范围为.

答案[-1，1)解析∵f(x)的定义域为［—2,2］,∴-2≤1-m≤2,-2≤1-m2又f(x)为奇函数,且在[—2,0]上单调递减，∴f（x)在［-2，2］上单调递减,∴f（1-m）<-f（1—m2）=f(m2-1).∴1-m>m2-1,解得—2〈m〈1.②综上①②可知，-1≤m<1,即实数m的取值范围是[-1,1）。二、能力提升13。定义在R上的偶函数f(x）满足：对任意的x1，x2∈（—∞，0）（x1≠x2)，都有f(x1)-fA。f（0。32)<f(20.3)<f(log25） B.f（log25)〈f（20。3)〈f(0。32）C。f（log25)〈f（0.32）<f（20.3） D.f（0.32）<f(log25)〈f(20。3）答案A解析∵对任意x1,x2∈(—∞，0）,且x1≠x2，都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0，又f（x）是R上的偶函数,∴f(x）在（0，+∞)内是增函数.∵0〈0.32〈20。3<log25,∴f(0.32)〈f(20。3）<f（log25)。故选A.14。已知函数y=f(x-1)+x2是定义在R上的奇函数，若f（—2)=1,则f（0)=()A。—3 B。-2 C。-1 D。0答案A解析令g(x)=f（x-1）+x2.因为g（x)是定义在R上的奇函数，所以g（-1）=-g（1），即f（-2）+1=—[f（0)+1］,得f(0）=—3.15.已知函数f(x）是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R，都有f(x+2)=f（x）。当0≤x≤1时,f(x）=x2。若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在区间[0，2]上恰有两个不同的公共点，则实数a的值是(）A.0 B。0或—1C.—14或-12 D.0或答案D解析因为f（x+2）=f（x）,所以函数f（x)的周期T=2.因为当0≤x≤1时，f（x)=x2，且f（x）是偶函数,所以可画出函数y=f（x)在一个周期[0,2］上的图象如图所示。显然a=0时,y=x与y=x2在区间[0，2]上恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与抛物线y=x2（0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.由题意知x2=x+a，即x2-x-a=0.故Δ=1+4a=0，即a=—14综上可知,a=0或a=-1416。已知函数f(x）是定义在R上的偶函数,且f（x+2）=f（x)，当x∈［0，1］时,f（x）=3x.若12<a<34,则关于x的方程ax+3a—f(x)=0在区间［—3,2]上不相等的实数根的个数为答案5解析∵f(x+2)=f(x），∴函数f（x）是周期为2的函数.若x∈[-1，0]，则-x∈［0，1］，此时f(-x）=-3x.由f(x)是偶函数，可知f（x)=f（—x）=—3x.由ax+3a-f（x)=0，得a（x+3）=f(x)。设g（x）=a（x+3），分别作出函数f（x)，g(x)在区间[—3，2］上的图象如图。因为12<a〈34,且当a=12和a=34时,对应的直线为图中的两条虚线，所以由图象知两个函数的图象有5个不同的交点,17。(2018河南安阳模拟)已知定义在R上的奇函数f（x)满足f（x-4)=-f(x）,且在区间［0，2]上是增函数。若方程f（x)=m(m>0)在区间[—8，8］上有四个不同的根x1，x2,x3,x4，则x1+x2+x3+x4=。

答案-8解析∵f(x）为奇函数且f(x-4)=-f（x),∴f（x—4）=-f(4—x）=—f(x),即f(x)=f（4-x)且f（x-8)=-f（x—4）=f（x），即y=f(x)的图象关于直线x=2对称，且是周期为8的周期函数。∵f(x）在[0，2］上是增函数,∴f(x)在［—2，2］上是增函数，在[2,6]上是减函数。据此可画出y=f（x）图象的草图(如图)：其图象也关于直线x=-6对称，∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=—8.三、高考预测18.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4)=-f(x）,且在区间[0,2］上是增函数,则()A.f（-25）<f（11)〈f(80） B。f（80)<f(11）<f(-25）C。f（11）<f(80）〈f（—25） D.f(—25)<f(80）〈f（11）答案D解析∵f(x）满足f(x—4）=-f(x),∴f(x）=f（x+8)。∴函数f(x）是以8为周期的周期函数。∴f(—25)=f(—1)，f(80）=f（0