甘肃省兰州市东方中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学理试题 Word版含答案

甘肃省兰州市2020-2021-1学期东方中学高二年级期中考试试题数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，那么一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形2．空间两个角的两边分别对应平行，且，则为（）A． B． C. D．或3．中，，那么满足条件的（）A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定4．下列说法正确的是（）A．直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线，直线，则 D．若直线，那么直线就平行于平面内的无数条直线5．的三边长分别为，则的值为（）A． B． C． D．6．正方体中，分别是中点，则直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．．7．已知的内角的对边分别为，且，则（）A． B． C． D．8．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱的长都为，则二面角的余弦值是（）A． B． C． D．9．中，角的对边分别为，，，，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定10．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②④11．已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）13．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．14．为钝角三角形；且为钝角，则与的大小关系为．15．三内角所对边的长分别为，设向量,，若，则角的大小为．16．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的体积为．三．解答题（共9小题）17．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．18．在中，角所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）求的值．19．的内角..的对边分别为．（1）求；（2）若，求．20．如图，在三棱柱中，分别是的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面．21．如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求的长；（3）求证：平面D．22．已知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角的对边分别为，且，若向量与向量共线，求的值．

甘肃省兰州市2020-2021-1学期东方中学高二年级期中考试试题数学（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，那么一定是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形【答案】B【解析】解：已知，则：，整理得：，则：，所以：．故选：B．2．空间两个角的两边分别对应平行，且，则为（）A． B． C. D．或【答案】B【解析】解：如图，空间两个角的两边对应平行，这两个角相等或互，或．故选：D．．3．中，，那么满足条件的（）A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定【答案】C【解析】解：已知中，，那么由正弦定理可得，解得，故B不存在，故选：C．4．下列说法正确的是（）A．直线平行于平面内的无数条直线，则 B．若直线在平面外，则 C．若直线，直线，则 D．若直线，那么直线就平行于平面内的无数条直线【答案】D【解析】解：直线虽与平面内的无数条直线平行，但有可能在平面内，不一定平行于，从而排除A．直线在平面外，包括两种情况：，或与相交，和不一定平行，从而排除B．直线，则只能说和无公共点，但可能在平面内，不一定平行于，从而排除C．，那么，或，与平面内的无数条直线平行．故选：D．5．的三边长分别为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由题意，，，故选：D．6．正方体中，分别是中点，则直线与所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】B．【解析】解：正方体中，分别是中点设正方体中棱长为，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，设直线与所成角为，则．∴直线与所成角的余弦值是．故选：B．7．已知的内角的对边分别为，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：已知等式利用正弦定理化简得：，即，，，为三角形的内角，．故选：C．8．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱的长都为，则二面角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由已知可得又由其余各棱长都为得正三角形，取得中点，连，则在平面中，过作的平行线交于点，则为二面角的平面角（三角形的中位线），（正三角形的高）（等腰，是斜边中点）故选：C．9．中，角的对边分别为，，，，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【解析】解：，由正弦定理，得到，，，，，为钝角，则一定是钝角三角形，故选：C．10．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【解析】解：在①中，由正方体性质得到平面与所在平面平行，平面，故①成立；②若下底面中心为，则，面，与面不平行，故②不成立；③过作与平行的直线，则与平面相交，与面不平行，故③不成立；④在④中，与平行，平面，故④成立．故选：B．11．已知锐角三角形的边长分别为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：三边长分别为，又为锐角三角形，当为最大边时，设所对的角为，则根据余弦定理得：，，解得；当为最大边时，设所对的角为，则根据余弦定理得：，，解得：，综上，实数的取值范围为．故选：B．12．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由正弦定理可得个等腰三角形的面积和为：由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：所以所求八边形的面积为：故选：A．二．填空题（共5小题）13．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．【答案】【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面底面的三棱锥，如图所示；过点作，垂足为，则，三棱锥的体积为；14．为钝角三角形；且为钝角，则与的大小关系为．【答案】【解析】解：为钝角三角形，且为钝角，故答案为：15．三内角所对边的长分别为，设向量,，若，则角的大小为．【答案】【解析】解：因为，得得：即由余弦定理所以故答案为：16．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的体积为．【答案】【解析】解：正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为，在中，，由勾股定理得，∴球的体积为．故答案为：．三．解答题（共9小题）17．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积比．【答案】略【解析】解：设圆柱底面半径为，则球的半径为，圆柱和圆锥的高均为，，18．在中，角所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）求的值．【答案】略【解析】解：（1）由余弦定理，代入数据可得，；（2）由正弦定理，解得19．的内角..的对边分别为．（1）求；（2）若，求．【答案】略【解析】解：（1）．由正弦定理知，， 由余弦定理得，，，故，（2），∴由正弦定理可得：,20．如图，在三棱柱中，分别是的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面．【答案】略【解析】证明：（1）分别为中点，，三棱柱中，， 四点共面；（2）分别为中点， 又分别为三棱柱侧面平行四边形对边中点，∴四边形为平行四边形，∴平面中有两条直线分别与平面中的两条直线平行∴平面平面．21．如图，在棱长为的正方体中，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求的长；（3）求证：平面D．【答案】略【解析】证明：（