人教b版选择性必修第一册2.2.1第2课时直线的方向向量法向量作业

2.2.1第2课时直线的方向向量、法向量课时对点练1．直线AB的方向向量为a＝(eq\r(3)－1,2)，则直线AB的斜率为()A.eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3)－1,2) D.eq\f(\r(3)＋1,2)★[答案]A★[解析]a＝(eq\r(3)－1,2)，∴k＝eq\f(2,\r(3)－1)＝eq\r(3)＋1.2．过点A(eq\r(2)，3)，B(0，－2)的直线的一个法向量为()A．(－5，－eq\r(2)) B．(－eq\r(2)，－5)C．(－5，eq\r(2)) D．(5，eq\r(2))★[答案]C★[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，－2)－(eq\r(2)，3)＝(－eq\r(2)，－5)为直线的一个方向向量，所以该直线的一个法向量v＝(－5，eq\r(2))．3．直线的倾斜角为120°，一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为()A．1－eq\r(3) B.eq\r(3)＋1C.eq\f(3＋\r(3),2) D．－eq\f(3＋\r(3),2)★[答案]D★[解析]k＝tan120°＝－eq\r(3)，∴直线的一个方向向量为a＝(1，－eq\r(3))．∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，∴m－eq\r(3)(m＋1)＝0，解得m＝－eq\f(3＋\r(3),2).4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在的直线的方向向量为a＝(－eq\r(3)，0)，则AC与AB所在直线的斜率之和为()A．－2eq\r(3)B．0C.eq\r(3)D．2eq\r(3)★[答案]B★[解析]a＝(－eq\r(3)，0)，∴BC所在直线的斜率为0.又△ABC为等边三角形，∴AB与AC所在直线的倾斜角一个为60°，另一个为120°，∴kAB＋kAC＝tan60°＋tan120°＝0.5．(多选)已知直线l过点A(4,2)，B(－1,2＋eq\r(3))，则直线l的方向向量可以是()A．(－5，eq\r(3)) B．(5，－eq\r(3))C．(eq\r(3)，5) D．(5eq\r(3)，－3)★[答案]ABD★[解析]直线l的一个方向向量为eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2＋eq\r(3))－(4,2)＝(－5，eq\r(3))，所以与eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量都能作为直线的方向向量，故选ABD.6．(多选)下列说法正确的是()A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为k＝eq\f(a＋1,a)C．若直线的法向量为v＝(x0，y0)，则a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的★[答案]ACD★[解析]由直线的方向向量、法向量的定义知A，C，D正确，选项B中当a＝0时，不成立，故选ACD.7．直线l的一个法向量为u＝(3，－eq\r(3))，则直线l的倾斜角为________．★[答案]eq\f(π,3)★[解析]直线l的法向量为u＝(3，－eq\r(3))，则直线l的一个方向向量a＝(－eq\r(3)，－3)，则斜率k＝eq\f(－3,－\r(3))＝eq\r(3).∴tanθ＝eq\r(3)，且θ∈[0，π)，故θ＝eq\f(π,3).8．已知直线的倾斜角为120°，一个方向向量为a＝(4，m)，则m＝________.★[答案]－4eq\r(3)★[解析]θ＝120°，∴k＝tan120°＝－eq\r(3).∴直线的一个方向向量为a0＝(1，－eq\r(3))，∵a∥a0，∴1×m－4×(－eq\r(3))＝0，∴m＝－4eq\r(3).9．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1)．(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角；(2)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2021)，求m的值．解(1)倾斜角θ为锐角，则k＝tanθ>0，又k＝eq\f(2m＋5－1,m＋3－2m－1)＝eq\f(2m＋4,－m＋4)>0，即(m＋2)(m－4)<0，解得－2<m<4.(2)直线MN的方向向量为a＝(0，－2021)，∴直线MN的斜率不存在．故过M，N两点的直线垂直于x轴．∴m＋3＝2m－1，即m＝4.10．已知a>0，b>0，且向量u＝(a,3)和v＝(1－b,2)都是直线l的法向量．求eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)的最小值．解∵u，v都是直线l的法向量，则u∥v，∴2a－3(1－b)＝0，即2a＋3b＝3，∴eq\f(1,3)(2a＋3b)＝1，且a>0，b>0.∴eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(3,b)))·eq\f(1,3)(2a＋3b)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋9＋\f(6b,a)＋\f(6a,b)))＝eq\f(13,3)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(13,3)＋2×2eq\r(\f(b,a)×\f(a,b))＝eq\f(25,3)，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(3,5)时，等号成立．∴当a＝b＝eq\f(3,5)时，eq\f(2,a)＋eq\f(3,b)最小为eq\f(25,3).11．已知直线PQ的斜率为－eq\r(3)，将直线PQ绕点P逆时针旋转120°，所得直线的一个方向向量为()A．(－eq\r(3)，1) B．(eq\r(3)，－1)C．(－1，eq\r(3)) D．(－eq\r(3)，－3)★[答案]D★[解析]kPQ＝－eq\r(3)，∴PQ的倾斜角为120°.绕点P逆时针旋转120°后所得直线的倾斜角为60°，∴k＝tan60°＝eq\r(3).∴所得直线的一个方向向量为a＝(1，eq\r(3))，∴与a共线的向量都是所得直线的方向向量，故选D.12．将直线l沿y轴负方向平移a(a>0)个单位长度，再沿x轴正方向平移(a＋1)个单位长度，得到直线l′，此时直线l′与l重合，若直线l的方向向量为a＝(2，－1)，则a的值为()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．4★[答案]B★[解析]设直线l上一点为A(m，n)，则平移后的坐标为A′(m＋a＋1，n－a)．∵A与A′都在直线l上，∴eq\o(AA′,\s\up6(→))＝(m＋a＋1，n－a)－(m，n)＝(a＋1，－a)为直线l的一个方向向量．∴eq\o(AA′,\s\up6(→))∥a，∴－2a＋(a＋1)＝0，∴a＝1.13．直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，则直线l的倾斜角的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))★[答案]D★[解析]直线l的法向量为v＝(1，a2＋1)，∴方向向量a＝(a2＋1，－1)，k＝eq\f(－1,a2＋1)＝－eq\f(1,a2＋1).又∵a2＋1≥1，∴0<eq\f(1,a2＋1)≤1.∴k∈[－1,0)，∴tanθ∈[－1,0)，且θ∈[0，π)，∴θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).14．已知点A(－3，－1)，B(1，a)，C(5，a2＋1)，若A，B，C不能构成一个三角形，则a的值为________．★[答案]0或2★[解析]∵A，B，C不能构成一个三角形，∴A，B，C三点共线．eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，a＋1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(8，a2＋2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，4(a2＋2)－8(a＋1)＝0，即a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当a＝0或a＝2时，A，B，C三点共线，不能构成三角形．15．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，若直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则直线l的斜率的取值范围为____________．★[答案][－3，－1]★[解析]直线l的方向向量为a＝(2x，－3y)，则k＝eq\f(－3y,2x)＝－eq\f(3,2)·eq\f(y,x)，∵eq\f(y,x)＝eq\f(－2x＋8,x)＝－2＋eq\f(8,x)，又∵2≤x≤3，∴eq\f(8,3)≤eq\f(8,x)≤4，∴eq\f(2,3)≤eq\f(y,x)≤2，∴－3≤－eq\f(3,2)·eq\f(y,x)≤－1，即k∈[－3，－1]．16．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图像上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.证明∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x3－x1，y3－y1)，∴(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，即(x2－x1)(xeq\o\al(3,3)－xeq\o\al(3,1))－(x3－x1)(xeq\o\al(3,2)－xeq\o\al(3,1))＝0.∴(x2－x1)(x3－x1)(xeq\o\al(2,3)＋x3x1＋xeq\o\al(2,1))－(x3－x1)(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1))＝0，即(x2－x1)(x3－x1)[(xeq\o\al(2,3)＋x3x1＋xeq\o\al(2,1))－(xeq\o\al(2,2)＋x2