人教b版选择性必修第一册1.2.3直线与平面的夹角课件

直线与平面的夹角学习目标1.能用向量语言表述直线与平面的夹角.2.能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究1.直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直,则称这条直线与这个平面所成的角为

.(2)如果一条直线与一个平面平行或直线在平面内,则称这条直线与这个平面所成的角为

.90°0°(3)平面的斜线与它在平面内的射影所成的

,称为这条斜线与平面所成的角.①如图所示,设AO是平面α的一条斜线段,O为斜足,A′为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线,A′M⊥OM.记∠AOA′=θ1,∠A′OM=θ2,∠AOM=θ,则cosθ=cosθ1cosθ2.②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.③空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的,直线与平面所成的角也称为它们的夹角.锐角特别地,cosθ=

,sinθ=

.sin<v,n>|cos<v,n>|拓展总结(1)∠BAC在平面α内,过该角的顶点A引平面α的斜线AP,PM⊥α于M,则∠PAB=∠PAC⇔∠MAB=∠MAC.(2)P是平面α外一点,PP′⊥α于P′,过P作平面α的斜线段PA1,PA2,且A1,A2为斜足,斜线段PA1,PA2在平面α内的射影为P′A1,P′A2.PA1,PA2与平面α的所成的角为θ1,θ2,则PA1=PA2⇔P′A1=P′A2⇔θ1=θ2,PA1>PA2⇔P′A1>P′A2⇔θ1<θ2.师生互动·合作探究探究点一直线与平面夹角概念的理解与应用[例1]若直角三角形的斜边与平面α平行,两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2,则(

)2θ1+cos2θ2>1 2θ1+cos2θ2<12θ1+cos2θ2≥1 2θ1+cos2θ2≤1解析:由题,θ1+θ2≤90°(当且仅当三角形所在平面与α垂直时,取等号),即θ1≤90°-θ2,sinθ1≤sin(90°-θ2)=cosθ2,所以sin2θ1+sin2θ2≤cos2θ2+sin2θ2=1,即sin2θ1+sin2θ2≤1(当且仅当三角形所在平面与α垂直时,取等号),所以cos2θ1+cos2θ2≥1.故选C.针对训练:如图,已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,D是棱BC上的动点,记PD与平面ABC所成的角为α,与直线BC所成的角为β,则α与β的大小关系为(

)A.α>β B.α=βC.α<β D.不能确定探究点二直线与平面夹角的求法(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.针对训练:如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥底面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.方法总结用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量的有关知识求解线面角.探究点三最值与范围问题针对训练:(2021·广西南宁期中)如图,在四面体V-ABC中,已知VA⊥平面VBC,VA与平面ABC所成的角为45°,D是BC上一动点,设直线VD与平面ABC所成的角为θ,则(

)A.θ≤60° B.θ≥30°C.θ≤45° D.θ≤75°解析:显然当△VAD是等腰直角三角形,且BC⊥AD,G是AD中点时,满足题设条件,易知此时θ=∠VDG=45°,图中DC和DB可以足够长,当D′从D向C运动或从D向B运动的过程中,∠VD′G越来越小,所以θ≤45°.故选C.方法总结求最值与范围问题常用的方法:(1)找到动点的运动轨迹,分析动点在何位置时取最大值和最小值.(2)设参