《解直角三角形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《直三形全复与固提）知讲【习标了解锐三函的念能正应用sinA、cosA、、表示角角中边比记忆30°45°、°的弦余、切余的角数，能由个殊的角数说这角度.能够正地用算，已锐求它的角数，已三函值出应锐；解角角中与的系角与的系边角关，运勾定、角角形两个角余直三形边中等斜的半以锐三角数直三形并用直角角的关识决单实问.通过锐三函的习进步识数，会数变与应思；通过解角角的习体数在决实问中作.【识】【点理要一直三形性（）直三形两锐互.（）直三形直边平和等斜的方（勾定如直三形两角长别

a，

，边为

，么

a22

（）直三形边的线于斜的半要二锐三函正弦、弦正、切定如图在Rt△ABC中∠C=90，如锐A确定∠的对与边比是A的正弦记sinA∠的邻与边比是A的余弦记cosA∠的对与边比是A的正切记tanA∠的邻与边比是A的余切记cotA要诠：

∠的边斜∠的边斜∠的边∠的边∠的边∠的边正、弦正、切是一直三形定的其质两线的值，只一数，大只锐的小关而所直三形大无关、cosA、cotA是一整符，表∠A四个三函值书时惯省符

“”但能成sinA对用三大字表一角，三函中号∠不省略应成sinBAC而能出sinBAC.2A表(，不写2三函有还以示成锐角三函的义

等锐∠的弦、弦正、切叫∠A的角角数要诠：函值取范对锐A的一确的sinA有一定的与对所sinA是∠的函.样cosA、cotA也∠的函，中A是变，sinA、、tanA、分别对的数其中变量A的取值围0°＜∠＜90°函值取范是0＜sinA＜，0cosA＜1，tanA＞0＞0.．锐三函之的系余三函关：正互公”如A+°，那：；cosA=sinB；tanA=cotB,cotA=tanB.同三函关：sin2Acos；sincosAA.sinA°、°、°角三函值∠

°45°60°在角角中如一角于30°那它对直边等斜的半.°、45°°角三函值和含30°60°角直三形含45°角直三形本章重之，几计题基工.要三解角角在角角中由知素出知素过，做直三角．解角角的据直三形各素间一相关，如：角关：锐互，∠∠B=90；

边关：股理即边关：角角数即

；sin

a,cosAtancc

ab

,cot

babsinBBcc要诠：

ba,cota解角角，能现情归起只下两情：已两边一角和一边两角)已一边一锐(一角和锐斜和锐)两情的共之有条因此直三形解条是至已一边解角角形常类及法两边

已条两角(，

解步由求A∠B=90°∠，由求A，△ABC斜，直边如c，∠°－A一边一

一角和锐

锐、边(∠，锐、边(∠，

∠B=90°∠，，∠B=90∠，，角斜、角如c∠A)

∠B=90°∠，，要四解角角的用解角角的识用广，关是实问转为学型，于某实问中数关化为角角中边关是决际用题关键解这问的般程弄清题名、语意，仰、角坡度坡、向等念然根题画几何形建数模.将已知件化几图中边角它之间关，实问转为直三形问题根直三形(通作线造角角)元(、)间关解关直三形.得数问的案检验案否合际义得实问的.常见应问类角俯：

坡：角:.方角要诠：．用直三形知解实问的本法：把际题象数问(直三形)就要舍实事的体容，事及们联转为形点线角)及形之的小位关．借生常以课中些念如俯、角倾角坡、角)的意，有于实问抽为学题当要解三形是角角时应当作，斜角形直三形求．．锐三函的用用似角边比计具一性，用所形的角，而角数计是直三形解问，以直三形先虑角数可使程简。如射定不直用但用角三函值等行换很单∵∴∵∴∵

∴【型题类一锐三函．在△ABC中∠＝90°若各长都大原的2倍则A的切()．．扩2倍B．小2倍．大4倍D不【路拨锐三函的是之的值跟的短关.【案D；【析根

cot

A的临边对边

A的临边知cot的值∠的大有，的比有．对边当边度扩为来2倍时其

A的临边对边

的值变故D.【结华锐三函的小与角大有，与在直三形大无.举反：DE【式已，图中CE，BDBC5C

，cosA及tanA．A

E

B【案易点BCDE四共，ADE∽ABC

ADBD,tanA=ABBCAD2121类二特角三函值已a3，

，以a、c为边长三形积于)．．6B7C．D．9【路拨利非数和于0的性，出、c值再用股定的定判三形直角角，而出角的积【案A0,【析根题知1b0,2

解c5.所a3b4c＝，

a2

，构的角为角角，∠C90°所

S

12

ab

．【结华本考非数性，股理逆理.

举反：【式计：【案原=

33

32

23类三解角角．如所，等eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠＝°AC＝，D是AC上一点若

15

，AD的为)．A2B

．

．1【案A；【析如用

15

是题解因要法造角角，⊥AB于点．∵ABC为等腰角角，∠A45°∴AE＝．设DE＝x则AE＝x由

DBA

5

知BE＝5x，∴＝6x，勾定知AC+BC2＝2，∴2+62＝，∴

2

，∴＝

2

＝

2

．【结华在角角中若知边宜用股理出第边再锐三函值若知一和，先另角再过角角数出有知素和知素等求．所在元不直三形，应它化直三形去转化途及法多如作辅线造角角，找知角角中边角代要求元等类四锐三函与它识综．如所，角ABC中，∠＝90°，AB＝

5

，sin＝

55

，为边BC一点PD，PD交于点，连AP，求AC，的；设PC的长为xAD的长y求y与x之的数系．

【路拨在RtABC中，由AB＝，sinB＝

55

，得AC＝2，由股理BC．由PD可【案解】

PCCD11，从而出x，则ADxBCAC2在Rt△ABC中由

55

，AB

得AC＝，勾股理BC＝．∵PD∥AB，△ABC△DPC∴

ACDC1BCPC

．∵PCx则

DC

1x则ADx22即y=

12-x2

【结华本综考了直三形相三形知识举反：【式如图P是形ABCD的AD边上动，于E，PFBD

于，AB

，

．求PEPF的．PEPFsin∠.【案如，sin∠1=PAPD由形ABCD知1=∠2则PE=PAsin∠1PF=PDsin∠

CD=AC

，所PE+PF=∠1+PDsin（PA+PD）∠1=类五三函与际题

3124=5（•保县拟如，某场灯AB被一缆CD固定CD与地成夹角且CB=5米（）钢CD的长度精到0.1米）（）AD=2米，灯顶E距A处1.6米且EAB=120°则的端E距地多米（考据，sin40°=0.64，cos40°=）

【案解】解1在Rt中∴≈6.7

，（）Rt中，，∴BD=5tan40°=4.2．过作AB的垂，足为，在Rt中，AE=1.6﹣120°=60°，．答钢CD的长为6.7米，灯顶E距地7米．【结华构直三形把际题化解角角问题举反：【式小想道洲大瀑黄树季峰成瀑的落。图他用角站C处得＝68°再BC方向走80m到D处测∠，落AB(角高忽不，结精到1m)【案解∵∠ACB＝68°∠D＝34°∠ACB是△ACD的角∴∠CAD＝∠ACB－∠D＝68°∴∠CAD＝∠D∴AC＝＝80在Rt中，＝AC×sin68°≈74(m).答落AB为74m.

攀花如所港B位港O正方120km处，岛C位港O北偏60°的向一游从口O出，OA方向北西30°）以vkm/h的度离口O同一快从口出发沿偏30°的方以的速度向岛C在岛C用1h加装补给资，即按来速给船去（）艇港B到小C需多时？（）快从岛C到与船遇恰用1h，v的及遇与港O的离【案解】解1∵，∠COB=30°∴．在Rt中，∵OB=120∴BC=OB=60∴艇港B到岛C的间：（时（）C作CD⊥OA，足，相处点E则OC=OB•cos30°=60，CD=OC=30，OD=OC•cos30°=90，∴DE=90﹣．∵CE=60，2+DE2，∴）+（﹣3v）22，∴v=20或40∴v=20km/h时，当v=40km/h时OE=3×40=120km【结华此考了直三形应﹣向问，理解向的定，出BCO=90°是题关.举反：【式某滨场西向海线近看直如图．救员在A的望上察面况发其北向B处人出求信．立沿AB方径前救，同通正海线巡的生乙乙上C处海径向B处去甲乙海10秒后到岸上D处再处游．CD＝40米，在C的偏35°向甲、的泳度是2/．问先达B？请明由(考据sin55°，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)

乙乙【案解由意∠BCD＝55°∠BDC∵tan＝

BDCD∴BD＝CD∠BCD＝40×tan55°≈57.2cos∠BCD＝

CDBC∴BC＝

CD40＝BCDcos55

≈70.2∴t＝甲

70.210秒，t＝2

35.1

秒∴t＞t，甲乙答乙到B处

年学考拟卷一选题．如所的何的视是）．B．CD．一大行边按图式割九小行边且只标为和的个平四形菱形在足件所分中若道个平四形n小平四形周，一能出个大行边的，n的小是（）B.3C.4D.5．如，（a2a）是比函反例数解式）

（＜）与⊙O的个点图阴部的积5π则B.C.D.．已函：yx②y的数（）．1个B2个

1x

（＜；y﹣x+3④＝x+x（x，其，随x的大增．3个D．个．如，△中点PQ分在BC，AC上AQPQ，PR＝PS，PRAB于点R，PS⊥于S则下结错是

△BPR≌QPS＝ARC.QPAB∠BAP＝CAP．如，△ABC中BA=BC，CQ是△的条线M是BP的一个点则列段长于最小的（）．．．．．把物

2

向平2个单位度再上平2个位度所到抛线(．

2

B．

2Cy=(x+2)

2-2D．

2

．如，AD为等△的，EF分为段、AC上的动，且AE＝，当＋取得最值，∠AFB＝．112.5°B．105°．90°D．82.5°．甲乙位学尺作过线l外点C作线l垂”，一两同学以C圆，适长为径弧交线l于，E两点如图第步同作DCE的分所的线乙学的垂．下说法确是）．只甲画正．甲乙画都确

．只乙画正．甲乙画都正．如图将ABC绕C顺针转36°，点B对应为E点A的应点点D，此点E恰落边上，接AD，＝，AC＝2则AB的度（）

．5

．1C

．

32．如图函数

yx

的象交点

则不等

xax

的集（）

x

32

x

32

2．不等组的最整解（）．﹣

．﹣C．0D1二填题．如图菱ABCD的边长12cm，A＝60°，P从A出发沿线AB→BD做匀运，Q从同时发线DC→CB→BA做速动．知P，Q运动的度别2cm/和2.5cm/秒经12秒，、Q分别到MN两时点P、Q再别M、同时原返，P的度变点Q的度为vcm/秒，过3秒，P、Q分到E、两点，若BEF与△AMN相，v的为___．．如图在面角标中等直角角的角边OA在x轴上点A第象，OA11＝，点A为直顶，0A一角作腰直三形OAA，以为直角点OA为角作111222等直三形OAA…此律则A的坐是____232019

．如图在

ABC

中90，点分别在AC,BC边上

BDCDDE

，145，，则BC的是_________．2．在直坐系，知线

y

1x33

经点

M

，物y=ax2-x+2(a≠0)与段有个同交，a的取值范是．．计算

的果_．．分解式2x=_____________．三解题．如图△ABC中，AB＝AC，是ABC的平线点FAC的中点连FD并延长点E使FD＝DE连BFCE和BE．（）证BE＝；（）断证四形BECF的形；（）△添一条，四形BECF是矩（空可不说理）．求方x

2﹣﹣20的根x，x（＞x，求x1212

2的．12定义平直坐系图G上点x，的坐与横标的y称为P点“标”记Zp，而形G上有的坐差中最值为形G的特值．（）点A（31的坐差为；②抛线

y

x

的特值；

（）二函

y

(

的特值为点B

(m

，

与C分是二函的象轴轴交，点B点C的坐差相等①接出

用的式表）②此次数表式．定义长比：（为正数的形为n矩形下，们过叠方折一形如a所．操1将方ABEF沿点A直折，使叠的B落对线AE上点G处折为AH．操2将FE沿过点G的直折使F点E分落边AF上折痕CD则边ABCD为矩．（）明四形ABCD为矩形；（）M是AB上一点①图，O是角AC中，点N边BC上，ON，连MN．求tanOMN的；②，N在BC上，△DMN的长小，

CN

的；③接CM，BR⊥，足R若2，则DR的最值．．先化，求：

x

)

，中x3．．如图在边为1的正形成网图，知O及ABC的顶点为格的点（）△绕点B顺针转90°得eq\o\ac(△,到)ABC请在格画eq\o\ac(△,出)BC；1111（）点O为位中，△放大原的倍得eq\o\ac(△,到)A'B'C'请网中eq\o\ac(△,出)A'B'C'．．先化，求：

x

x÷(1)

，中＝．

【考案***一选题题123456789101112答ABDCABABCA二填题．1或3或6

B﹣2

1009，2

1009

）．．

9102

或

143．2．

x2三解题1详解（2四形BECF是矩，由见析【析【析（）据腰角的质到BD=CD，据动设的性即得结；（）据行边的定理可到结；（）据边角的质到

BD

11DFDEAC22

，是到论【解（）明∵＝AC，是△ABC的平线∴BDCD，∵FDDE，∠＝CDF，∴BDE△CDFSAS∴BECF；（）：边BECF是行边，理：BD＝CD＝FD，∴边BECF是平四形（）AB时四形BECF是矩，∵ABBC＝AC，∴BDCD＝

1，DF＝＝AC，2∴BCEF，∴边BECF是矩．【睛

本考了形判，等角的定性，行边的判和质正的别形解的关．．6【析【析根方x

2

﹣2x20的x，，得到12

xx1

，

x2.

则x

xx11

，据与数关即求.【解解方x

2

﹣2x20的x，，12∴

，x2.x121x2xxx21

【睛考一二方解概以根系的系掌根系的关是题关.1①；抛线

y

2

x

的特值为42①；y

．【析【析①“标”定可求点A(3,1)“标”②可找出y-x关x的函关式再用配法可出的最值,而得抛线y=-x

的“征”①用次数象点的标征求点C的坐,“标”定结点B与点C的“标差相,可出m的值;②点B坐利待系法找出之间关,出y-x关的数系式再用次数性结二函

≠0)的特值为-即可出于b的元次程,解之可出的值进可得c的,问解;【解解1①，答案：②

y

2

，∵

，∴x时，取最值最值4．∴物

y

2

x

的特值为4．（）-c②①知点B的标，0)．将B

(

，

代

y

2

bx

，：

∴

cc12

（去∵次数

y(c0)

的特值为∴

y

2

的大为∴

44

，解：，∴

c

，∴次数解式y

．【睛此考了次数合需利到标，征等系知识1见析（），2.【析【析（）判出DAG=45°，进而判出边ABCD是形再出：AD的，可出论；（）如，先判出边BQOP是矩形进得

OPAOCOACAB

，判出Rt△QONRt△POM，而断

OQ2OMBC

，可出论②M关直BC对称的P，△的周最，断

CNDCBP

，出AB=CD=a．而出（2-1）a即得结；③求，判出点是BC为直的上即得结．【解证（）正形ABEF的长a，∵AE是方ABEF的角，∴，由叠质知AG=AB=a，∠∠ADC=90°，则边ABCD为矩，∴是等直三形∴

AD

a2

，∴

AB:

a2

2:1

．∴边ABCD为矩形（）解如，OPAB，⊥BC垂分别P，Q

∵边ABCD是矩，∠B=90°∴边BQOP是矩．∴，∥BC，∥．∴

OPCOACAB

．∵为AC中点，∴OP=

1BC，AB．2∵，∴QON=∠POM∴Rt∽Rt△POM．∴

OQ2OMOPBC

．∴

OMN

OM

2

．②：图c作M关于直BC对称点P，连DP交BC于点N连MNeq\o\ac(△,则)的周长最，∵DCAP，∴

CNDCBP

，设AM=AD=a，则AB=CD=2a．∴BP=BM=AB-AM=（2）．∴

CNCD22(2

，③备图∵边ABCD为矩形AB=22，∴，∵BRCM，∴R在BC为直径圆，BC中为I，∴CI=

12

，

2∴DR最=CD2

2

CI

2

故案：【睛此相形合，要查新义相三形判和质，股理矩的质判，用对性垂段短定最值解题关．．6＋【析【析原利完平公，项乘多式则算去号并得最结，x的代计即可求值【解解原＝

2

6x92x＋x2

9＝

2

，当x3时，原＝2x

4x=6＋3．【睛此考了式混运化求，练握算则解题关．1见析（）解.【析【析（）接用转换性得对点位进得答；（）接用似形性进得对应位进得答．【解解1如所：eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC，为求11（）图示△，即为所．【睛此主考了似换及转换正得对点置解题键．

1x

；.

【析【析原括中项分利同母式加法计，时用除法变，分到简果把的值入算可出．【解原＝

(xx＝

xx(2x＝

1x

，当＝3时原＝

13

＝．【睛此考了式化求，练握算则解题关．

年学考拟卷一选题．如，线

y

与

y

横标，则于x的等n

的数为）.．

．．

．

．如，△中∠B的分为，DE∥交BC于E，AB＝9＝，长为）

185

165

145

125．某的品原为12000元m

2

，过续次价，价9200元/2，平每次价百率x则据意列程为）．（﹣2x）＝9200

．（1x2

＝9200．（1+2x）＝

．9200）＝12000．某去完了市化积8210000m2，8210000用科记法示为）．821×10

2

．82.1×10

5

．8.21×10

6

7为实垃分”换位门某宅区垃箱设为

ABC

三。广宇附近好

ABC三垃箱一，宇姐家的圾应为A,B两，果宇两垃圾机放其的两垃箱，实对投的率（）．

13

．

．

19

．

16．如，张图1的为a宽为（ab长形片按2的式置阴部的积S，1空部的积S，S＝2S，ab满足）22

＝

32

b

＝2bC.a

＝．下运正的（）．

．a

2

2

a

4．

a)3

．

a42a．如，是⊙的直，是⊙上一，⊥BC于点D，AC＝，OD的长（）B.1.5C.2D.2.5．有、两不的箱容分为a升b升且各装一水若甲的全入箱后乙还以续20升才满若乙中水入甲，满箱，箱还1升，则，b之间的量系()．ba+15B．ba+20Cba+30．＝a+40．如图将线cy1

kx

（＞0）绕点O逆针转得曲，为直线y＝3x上点2为曲c上一，＝PO且PAO的面积6，直线yx交线c于点B则OB的长）21．26

．5C3

．

52

3．下列算确是（a﹣b2

＝2

﹣2

．a10÷a

＝5（2a3）＝8a6b．若关x的不式

xx

．2•3a＝6无,k的可是）．－

．0

．1D．

二填题在形ABCD中，，AB，E为上一点，沿折使点D落在D处若点

C

、B、D

为腰角时则DE的长_____________.．已知校生科创社”员的龄人情如表示年（）人

那“技新团成年的位是_岁．已知比函的象过（m6和﹣23则m的为．．计算

．．分解式ax

．分解式

__________三解题．我们定在面角标中条抛线且有个点，们这条物为共点物线，个点“点．（）断物y＝

2

与y＝﹣2

是共抛线吗如是直写“点坐；果是，明由（）物＝2﹣2x与yx﹣2mx﹣是“点物”且共”轴上求物＝2﹣2mx﹣的数系式（）物L：y﹣2+2x+1的图象如所，与：y﹣2x+mx是“点物”；1①m的；②P是x轴负半上点设物L、L的“点为Q作P关点Q的称P，PP为12对线正形PMP′N，点M点N落在抛线L上时，直写点P的坐．1．求方x

2﹣﹣20的根x，x（＞x，求x1212

2的．12．如图在面角标中O为标点，ABO的AB垂直x轴垂为点，反例数y

＝

kx

＞0)的图经AO的中C，AB于点，且AD3设A的标(，4)则C的标；若D的标(，n)．①反例数y

kx

的达；②经CD两的线对的函解式在2)的条下设是线CD上的点(与D重)过E且平轴直l与比函的象于F求OEF面的大值．“足运”列中体必项目为某校行足运”标试将绩10分、分8分、7分对定A，B，，D四个等．班据试绩制下计图请答列题该级总数m补条统图该“球球测的平成是少现备等为A的个人(2男2女中机取个去加赛请列或画状的法求恰抽一一的率．某市开演比活，校参加拔学的绩A、、、D四个等进统，制如不整统表扇统图成等

频

频（）m、的；（）“等级所应扇圆角度；（）知绩级A的4名生有1名生3名生现中机选2名生表校加

市赛求恰选一生一生概“球运”中体必项之兰市学为解年九级生球球掌情随机取分年学足运的试绩为个本按A，，，D四等进统，成如下完的计．（）次共取几九级生（）全形计；（）扇统图，C对的形圆角几？（）校年有名学，估足运测成达级学有少人图半弧AB中径

M是上点MBP为一点PCAB交

AB

于连AC和CM，A

、P两点间距为cm，、C两点的离cm，C、M1两间距为ycm.小根学函的验分对数y、y随自量的变而化的律21行探：下是东探过，补完：（）照表自量的进取、图测，别到

y，12

与的几组应；

/cm1/cm2

（）同平直坐系

xOy

中描补后表各数所应点x，

y1

（，

y

2

并

画函

1

，

2

的象（）合数象解问：当AC时线的取值围；②当AMC是等三形，段AP的约.【考案***一选题题123456789101112答DDBCDBDCCA二填题

D．

或

．．-1．．a（（）．

三解题1是0，2y

（）m的值为0或，②P（﹣，0或（50或（，0）【析【析（）方x

＝x

2

得x＝0（）为个物的点x轴，y0代L1中求得点标分代L2中求m的，

得物的析．（）两物为点物时只一个点运判式零求的②点坐标a0通Q点坐标获P'坐，为PP'为方，用K型等型立等关，而出M和N的标将MN分代解式获a的，而出点的坐．【解解1是002＝﹣x∴＝（）y＝2﹣＝0解x＝，＝212当＝0时，≠0∴00不共当＝2时，44m﹣30解m

14∴＝

x

12

x（）若个物是共抛线则程x2+2x+1﹣2x

2

+mx有两个等实根即2（﹣mx+10有个等实数∴＝2m2﹣＝0解m0或＝∴的为0或．②（30或P﹣，）（13，）设Pa0当＝0时，Q﹣，﹣）∴P'﹣2a﹣）∵PM，∠＝B∠AMP＝∠BP'M∴APM△BMP'（）设（x，yNab解

22解n∴得（1﹣﹣aN﹣，﹣1分代L解析可1＝﹣，＝﹣131当＝4时，Q12∴P'2a，）∵PM，∠＝B∠AMP＝∠BP'M∴APM△BMP'（）设（m，nNxy解4解xy∴得（﹣，﹣，N31+a分代L解析可1＝﹣，＝11舍）1∴（30或P﹣，）（13，）【睛本考了等型抛线交问，度中难在3②需根正形立K型等，从获参a的，一很的轴题．6【析【析根方x﹣2x﹣20的x，，得到12

x1

，即x11

22.

则1

x212

12

，据与数关即求.【解解方x﹣2x﹣20的x，，12

xx，2.11

∴

x2

xx1

x

【睛考一二方解概以根系的系掌根系的关是题关.．(1)C(22)；(2)反例数解式y

x

1；直CD的解析为y＝﹣x+3(3)m3时，S2△OEF

最，大为

14

【析【析（）用点标式可出论（）先定点A坐标进得出C坐，点CD坐代反例数即得结论②，求点C，D坐，用定数即得结；（）出E坐标进表出F坐，可立积的数系即得结．【解∵C是OA的中，A(44)，，0)，∴

42

，∴C(2，；故案(，2)；①AD＝3D(4，n)∴A(4，n+3)∵C是OA的点n∴C(2，，2∵C，n)在曲

上∴

kkn

，∴，k∴比函解式y

x

；②①，＝，∴C(2，，D(41)，设线的析为yax+b，∴

，

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)∴

，∴线的析为y﹣

12

；如，(2)知直CD的解式y＝

12

，设，﹣

12

，由2)知，，，D(41)，∴＜＜，∵EFy轴双线y

x

于，4∴F(m，)1∴EF﹣m+3﹣，2m1411∴＝﹣m+3﹣)×m＝(﹣m2﹣4)＝﹣3)2+，22