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文档简介
专题6.1三角形的初步知识二十大必考点【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1三角形的三边关系的运用】 1【考点2根据三角形的中线求面积或长度】 2【考点3与三角形内角和有关的计算问题】 3【考点4三角形的外角性质的运用】 5【考点5利用全等图形求网格中的角度和】 7【考点6将已知图形分割成几个全等的图形】 8【考点7添加条件使三角形全等】 9【考点8灵活选用判定方法证明全等】 10【考点9尺规作图与全等的综合运用】 11【考点10证明全等的常见辅助线的作法】 12【考点11证一条线段等于两条线段的和(差)】 14【考点12全等中的倍长中线模型】 15【考点13全等中的旋转模型】 17【考点14全等中的垂线模型】 18【考点15全等中的其他模型】 21【考点16全等三角形的动点问题】 22【考点17尺规作图作角平分线】 23【考点18角平分线的判定与性质的综合求值】 25【考点19角平分线的判定与性质的综合证明】 26【考点20角平分线的实际应用】 28【考点1三角形的三边关系的运用】【例1】(2022·全国·八年级课时练习)已知a,b,c是一个三角形的三边长,化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|.【变式1-1】(2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习)下列各组三条线段中,不是三角形三边长的是(
)A.2cm,2cm,3cm B.3cm,8cm,10cmC.三条线段之比为1:2:3 D.3a,5a,4a(a>0)【变式1-2】(2022·全国·八年级专题练习)已知:如图,点D是△ABC内一点.求证:(1)BD+CD<AB+AC;(2)AD+BD+CD<AB+BC+AC.【变式1-3】(2022·全国·八年级专题练习)一个三角形的3边长分别是xcm、3x−3cm,x+2cm,它的周长不超过39cm.则xA.53<x<5 B.5<x≤8 C.53【考点2根据三角形的中线求面积或长度】【例2】(2022·山东·新泰市羊流镇初级中学七年级阶段练习)如图,在△ABC中,已知点D、E分别为边BC、AD上的中点,且SΔABC=4cm2,则A.2cm2 B.1cm2 C.0.5cm2【变式2-1】(2022·山东·宁阳县第十一中学七年级阶段练习)如图,△ABC中,AB=10,AC=8,点D是BC边上的中点,连接AD,若△ACD的周长为20,则△ABD的周长是__________.【变式2-2】(2022·四川·麓山师大一中七年级期中)如图,在△ABC中D、F为BC上的点,且F为CD的中点,CD=2BD,连接AD,E是AD的中点,连接BE、EF、EC,若S△DEF=3,则【变式2-3】(2022·江苏·宜兴外国语学校七年级阶段练习)设△ABC的面积为a,如图①将边BC、AC分别2等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图②将边BC、AC分别3等份,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;……,依此类推,若S5=311则a的值为(
A.1 B.2 C.6 D.3【考点3与三角形内角和有关的计算问题】【例3】(2022·江苏·涟水县麻垛中学七年级阶段练习)【认识概念】如图1,在△ABC中,若∠BAD=∠DAE=∠EAC,则AD,AE叫做∠BAC的“三分线”.其中,AD是“近AB三分线”,AE是“远AB三分线”.【理解应用】(1)在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,若∠A的三分线AD与∠B的角平分线(2)如图2,在△ABC中,BO、CO分别是∠ABC的近AB三分线和∠ACB近AC三分线,若BO⊥CO,求∠A的度数;【拓展应用】(3)如图3,在△ABC中,BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线,且∠A=m°,直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q,请直接写出∠1﹣∠2的度数(用含【变式3-1】(2022·广东韶关实验中学七年级期中)如图,AB∥CD,点E是AB上一点,连结CE.(1)如图1,若CE平分∠ACD,过点E作EM⊥CE交CD于点M,试说明∠A=2∠CME;(2)如图2,若AF平分∠CAB,CF平分∠DCE,且∠F=70°,求∠ACE的度数.(3)如图3,过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M,MN⊥CM交AB于点N,CH⊥AB,垂足为H.若∠ACH=12∠ECH请直接写出∠MNB与∠A【变式3-2】(2022·江苏南通·七年级期末)在△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,点E是射线AB上的动点(不与点D重合),过点E作EF∥BC交直线CD于点F,∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点(1)如图1,点E在线段AD上运动.①若∠B=60°,∠ACB=30°,则∠EGC=______°;②若∠A=80°,求∠EGC的度数;(2)若点E在射线DB上运动时,探究∠EGC与∠A之间的数量关系,请直接写出答案.【变式3-3】(2022·全国·八年级课时练习)如图1,三角形ABC中,∠A=58°,∠B=90°,∠C=32°.点E是BC边上的定点,点D在AC边上运动.沿DE折叠三角形CDE,点C落在点G处.(1)如图2,若DE//AB,求∠ADG的度数.(2)如图3,若EG//AB,求∠ADG的度数.(3)当三角形DEG的三边与三角形ABC的三边有一组边平行时,直接写出∠CDG的度数【考点4三角形的外角性质的运用】【例4】(2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习)如图,在△ABC中,D是BC延长线上一点,∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2;……;∠A2021BC和∠A2021CD的平分线交于点【变式4-1】(2022·新疆·阿瓦提县拜什艾日克镇中学八年级阶段练习)如图,一副具有30°和45°角的直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是(
)A.40° B.45° C.65° D.75°【变式4-2】(2022·江苏泰州·七年级期中)已知:如图1,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°,∠ABE,(1)求∠ABE+∠ADF的度数;(2)直线l1,l2分别经点B,D,且①如图2,若l1∥l②若l1与l2相交于点M,设
∠C=α,∠BMD=β,试探究【变式4-3】(2022·江苏·阜宁县实验初级中学七年级阶段练习)【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;【简单应用】(2)阅读下面的内容,并解决后面的问题:如图2,AP、CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数;解:∵AP、CP分别平分∠BAD,∠BCD∴∠1=∠2,∠3=∠4由(1)的结论得:∠P+∠3=∠1+∠B①+②,得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D∴∠P=12(∠B+∠D①【问题探究】如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,请猜想∠P的度数,并说明理由.②【拓展延伸】在图4中,若设∠C=α,∠B=β,∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为:(用α、β表示∠【考点5利用全等图形求网格中的角度和】【例5】(2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习)如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则∠1+∠3-∠2=(
)A.30° B.45° C.60° D.135°【变式5-1】(2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习)如图,由4个相同的小正方形组成的格点图中,∠1+∠2+∠3=________度.【变式5-2】(2022·江苏·八年级单元测试)如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则∠P+∠Q=__________度.【变式5-3】(2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模)如图,在4×4的正方形网格中,求α+β=______度.【考点6将已知图形分割成几个全等的图形】【例6】(2022·全国·八年级专题练习)沿着图中的虚线,请将如图的图形分割成四个全等的图形.【变式6-1】(2022·江苏·八年级专题练习)方格纸上有2个图形,你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗?请画出分割线.【变式6-2】(2022·江苏·八年级课时练习)试在下列两个图中,沿正方形的网格线(虚线)把这两个图形分别分割成两个全等的图形,将其中一部分涂上阴影.【变式6-3】(2022·全国·八年级专题练习)知识重现:“能够完全重合的两个图形叫做全等形.”理解应用:我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形.范例:如图1和图2是两种不同的划分方法,其中图3与图1视为同一种划分方法.请你再提供四种与上面不同的划分方法,分别在图4中画出来.【考点7添加条件使三角形全等】【例7】(2022·全国·八年级专题练习)如图,∠C=∠D=90°,添加下列条件:①AC=AD;②∠ABC=∠ABD;③BC=BD,其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【变式7-1】(2022·重庆·中考真题)如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,不能判断△ABC≌△DEF的是(
)A.AB=DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.AC∥FD【变式7-3】(2022·全国·八年级课时练习)如图,AB,CD相交于点E,且AB=CD,试添加一个条件使得△ADE≌△CBE.现给出如下五个条件:①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB.其中符合要求有(
)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【考点8灵活选用判定方法证明全等】【例8】(2022·湖南·八年级单元测试)具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是(
).A.有两个角对应相等的两个三角形B.两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形C.两边分别相等,并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形D.有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形【变式8-1】(2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习)我国传统工艺中,油纸伞制作非常巧妙,其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图,AE=AF,GE=GF,则△AEG≌△AFG的依据是()A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS【变式8-2】(2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级)如图,已知AB∥CD,AD∥BC,AC与BD交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,那么图中全等的三角形有(
)A.5对 B.6对 C.7对 D.8对【变式8-3】(2022·浙江·八年级单元测试)根据下列条件不能唯一画出△ABC的是(
)A.AB=5,BC=6,AC=7 B.AB=5,BC=6,∠B=45°C.AB=5,AC=4,∠C=90° D.AB=3,AC=4,∠C=45°【考点9尺规作图与全等的综合运用】【例9】(2022·全国·九年级专题练习)如图,在△ABC外找一个点A'(与点A不重合),并以BC为一边作△A'BC,使之与△ABC全等,且△ABC不是等腰三角形,则符合条件的点A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式9-1】(2022·全国·八年级课时练习)如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D;连结AD,CD.由作法可得:△ABC≅△CDA的根据是(
)A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS【变式9-2】(2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习)在课堂上,张老师布置了一道画图题:画一个Rt△ABC,使∠B=90°,它的两条边分别等于两条已知线段.小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后,后续画图的主要过程分别如图所示.那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______;_______【变式9-3】(2022·北京·101中学九年级开学考试)李老师制作了如图1所示的学具,用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题.操作学具时,点Q在轨道槽AM上运动,点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动,也能在轨道槽QN上运动.图2是操作学具时,所对应某个位置的图形的示意图.有以下结论:①当∠PAQ=30°,PQ=6时,可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=90°,PQ=10时,可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=150°,PQ=12时,可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是______________.【考点10证明全等的常见辅助线的作法】【例10】(2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习)(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且BE+FD=EF.试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是:延长FD到G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,从而得出∠EAF=∠GAF,最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是.(2)将(1)中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”(如图②),其余条件不变,上述数量关系是否成立,成立,请证明;不成立,说明理由(3)如图③,中俄两国海军在南海举行联合军事演习,中国舰艇在指挥中心(O)北偏西30°的A处,俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处,两舰艇到指挥中心距离相等.接到行动指令后,中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进,俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到两舰艇分别到达E,F处且相距280海里.求此时两舰艇的位置与指挥中心(O处)形成的夹角∠EOF的大小.【变式10-1】(2022·全国·八年级课时练习)如图,已知:AB=AC,BD=CD,∠A=60°,∠D=140°,则∠B=(
)A.50∘ B.40∘ C.40∘或70【变式10-2】(2022·全国·七年级单元测试)(1)求证:等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.(提示:添加辅助线证明)(2)如图所示,在三角形ABC中,点D是三角形内一点,连接DA、DB、DC,若AB=AC,∠ADB=∠ADC,求证:AD平分∠BAC.【变式10-3】(2022·全国·八年级课时练习)已知等腰△ABC中,AB=AC,点D在直线AB上,DE∥BC,交直线AC与点E,且BD=BC,CH⊥AB,垂足为H.(1)当点D在线段AB上时,如图1,求证DH=BH+DE;(2)当点D在线段BA延长线上时,如图2,当点D在线段AB延长线上时,如图3,直接写出DH,BH,DE之间的数量关系,不需要证明.【考点11证一条线段等于两条线段的和(差)】【例11】(2022·全国·八年级专题练习)如图,△ABC中,∠B=45°,∠ACB=30°,CD平分∠ACB,AD⊥CD,求证:CD=AB+AD【变式11-1】(2022·安徽淮北·八年级阶段练习)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AE是∠BAC的平分线,且AE⊥CE.若AC=a,BD=b,则四边形ABDC的周长为(
)A.1.5(a+b) B.2a+b C.3a−b D.a+2b【变式11-2】(2022·山东烟台·七年级期末)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是直线AB上一点(点D不与点A、B重合),连接DC并延长到E,使得CE=CD,过点E作EF⊥直线BC,交直线BC于点F.(1)如图1,当点D为线段AB上的任意一点时,用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系,并证明;(2)如图2,当点D为线段BA的延长线上一点时,依题意补全图2,猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变,并证明.(3)如图3,当点D在线段AB的延长线上时,直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系.【变式11-3】(2022·全国·八年级专题练习)在△ABC中,AE,CD为△ABC的角平分线,AE,CD交于点F.(1)如图1,若∠B=60°.①直接写出∠AFC的大小;②求证:AC=AD+CE.(2)若图2,若∠B=90°,求证:S△ACF【考点12全等中的倍长中线模型】【例12】(2022·江西吉安·七年级期末)(1)基础应用:如图1,在△ABC中,AB=5,AC=7,AD是BC边上的中线,延长AD到点E使DE=AD,连接CE,把AB,AC,2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中,利用三角形三边关系可得AD的取值范围是;(2)推广应用:应用旋转全等的方式解决问题如图2,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF,求证:BE+CF>EF;(3)综合应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°且∠EAF=12∠BAD,试问线段EF、BE、FD【变式12-1】(2022·山东德州·八年级期末)(1)方法呈现:如图①:在△ABC中,若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法:延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把AB、AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________,这种解决问题的方法我们称为倍长中线法;(2)探究应用:如图②,在△ABC中,点D是BC的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明;(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,AB//CD,AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点,若AE是∠BAF的角平分线.试探究线段AB,AF,【变式12-3】(2022·全国·八年级)如图1,在△ABC中,若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围.(1)小聪同学是这样思考的:延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD.①请证明△CED≌△ABD;②中线BD的取值范围是.(2)问题拓展:如图2,在△ABC中,点D是AC的中点,分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中,AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=∠90°,连接MN.请写出BD与MN的数量关系,并说明理由.【考点13全等中的旋转模型】【例13】(2022·全国·八年级专题练习)问题发现:如图1,已知C为线段AB上一点,分别以线段AC,BC为直角边作等腰直角三角形,∠ACD=90°,CA=CD,CB=CE,连接AE,BD,线段AE,BD之间的数量关系为______;位置关系为_______.拓展探究:如图2,把Rt△ACD绕点C逆时针旋转,线段AE,BD交于点F,则AE与BD【变式13-1】(2022·江苏·八年级专题练习)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,若BD=3,CE=4,S△ADE=15,则△ABD与△AEC的面积之和为(A.36 B.21 C.30 D.22【变式13-2】(2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习)如图直角三角形中的空白部分是正方形,正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分,AD=3厘米,阴影部分的面积是6平方厘米,DB长______厘米.【变式13-3】(2022·全国·八年级课时练习)综合与实践(1)如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,则MN,AM,CN的数量关系为.(2)如图2,在四边形ABCD中,BC∥AD,AB=BC,∠A+∠C=180°,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=12∠ABC,试探索线段MN、AM、CN(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=12∠ABC,试探究线段MN、AM、CN的数量关系为【考点14全等中的垂线模型】【例14】(2022·广东佛山·七年级阶段练习)在△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,直线MN经过点A,且CD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时,∠EAB+∠DAC=度;(2)求证:DE=CD+BE;(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时,试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.【变式14-1】(2022·陕西省西安爱知中学七年级期末)(1)【问题发现】如图1,△ABC与△CDE中,∠B=∠E=∠ACD=90°,AC=CD,B、C、E三点在同一直线上,AB=3,ED=4,则BE=_____.(2)【问题提出】如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=4,过点C作CD⊥AC,且CD=AC,求△BCD的面积.(3)【问题解决】如图3,四边形ABCD中,∠ABC=∠CAB=∠ADC=45°,△ACD面积为12且CD的长为6,求△BCD的面积.【变式14-2】(2022·安徽·九年级期末)如图,Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点,连结AE,作AF⊥AE且AF=AE.(1)如图1,过F点作FD⊥AC交AC于D点,求证:FD=BC;(2)如图2,连结BF交AC于G点,若AG=3,CG=1,求证:E点为BC中点.(3)当E点在射线CB上,连结BF与直线AC交子G点,若BC=4,BE=3,则AGCG=【变式14-3】(2022·黑龙江牡丹江·九年级期末)平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN.过点C作CE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.当点E与点A重合时(如图1),易证:AF+BF=2CE.(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时,上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系,请直接写出你的猜想,不需证明.【考点15全等中的其他模型】【例15】(2022·重庆八中七年级期中)如图:AD⊥AB,AE⊥AC,AD=AB,AE=AC,连接BE与DC交于M,则:①∠DAC=∠BAE;②ΔDAC≌ΔBAE;③DC⊥BE;正确的有(
)个A.0 B.1 C.2 D.3【变式15-1】(2022·全国·八年级单元测试)如图,已知ΔABC中,∠A=60°,D为AB上一点,且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD,则∠DCB的度数是_________.【变式15-2】(2022·山西阳泉·八年级期末)有些数学题,表面上看起来无从下手,但根据图形的特点,可补全成为特殊的图形,然后根据特殊几何图形的性质去考虑,常常可以获得简捷解法.根据阅读,请解答问题:如图所示,已知△ABC的面积为16cm2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积为___________cm2.【变式15-3】(2022·江苏南通·八年级期中)如图,等边△ABC的边长为6,点P从点B出发沿射线BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①,当点P为AB的中点时,求CD的长;(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.【考点16全等三角形的动点问题】【例16】(2022·江苏·八年级单元测试)如图,AB=7cm,AC=5cm,∠CAB=∠DBA=60°,点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在射线BD上运动速度为xcm/s,它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时,点Q运动随之结束).当点P、Q运动到某处时,有△ACP与△BPQ全等,则相应的x、t的值为(
)A.x=2,t=74 B.x=2,t=74或x=207C.x=2,t=1 D.x=2,t=1或x=207,t=【变式16-1】(2022·江苏·九华中学八年级阶段练习)如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=4cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以1cm/s的速度运动,P、Q两点同时出发,当点P到达点A时,P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t(s).(1)AB与DE有什么关系?请说明理由.(2)线段AP的长为________(用含t的式子表示).(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,t的值为_______.【变式16-2】(2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末)长方形ABCD中,AB=6,AD=m,点P以每秒1个单位的速度从A向B运动,点Q同时以每秒2个单位的速度从A向D运动,点E为边CD上任意一点.(1)当m=8时,设P,Q两点运动时间为t,①若Q为AD中点,求t的值;②连接QE,若△APQ与△EDQ全等,求DE的长.(2)若在边AD上总存在点Q使得△APQ≌△DQE,求m的取值范围.【变式16-3】(2022·江苏·姜堰区实验初中八年级)如图①,在△ABC中,AB=12cm,BC=20cm,过点C作射线CD∥AB.点M从点B出发,以4cm/s的速度沿BC匀速移动;点N从点C出发,以acm/s的速度沿CD匀速移动.点M、N同时出发,当点M到达点C时,点M、N同时停止移动.连接AM、MN,设移动时间为(1)点M、N从移动开始到停止,所用时间为______s;(2)当△ABM与△MCN全等时,①若点M、N的移动速度相同,求t的值;②若点M、N的移动速度不同,求a的值;(3)如图②,当点M、N开始移动时,点P同时从点A出发,以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动,到达点B后立刻以原速度沿BA返回.当点M到达点C时,点M、N、P同时停止移动.在移动的过程中,是否存在△PBM与△MCN全等的情形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.【考点17尺规作图作角平分线】【例17】(2022·四川广元·中考真题)观察下列作图痕迹,所作线段CD为△ABC的角平分线的是(
)A. B.C. D.【变式17-1】(2022·江苏·八年级专题练习)利用作角平分线的方法,可以把一个已知角(
)A.三等分 B.四等分 C.五等分 D.六等分【变式17-2】(2022·四川天府新区教育科学研究院附属中学八年级阶段练习)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,首先以顶点B为圆心,适当长为半径作弧,在边BC、BA上截取BE、BD;然后分别以点D、E为圆心,大于12DE为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=4,P为边AB上一动点,则GP的最小值为(A.2 B.4 C.8 D.无法确定【变式17-3】(2022·广西北海·八年级期中)如图,在△ABC中,AB=BC,点D在AB的延长线上.(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法);①作∠CBD的平分线BM;②作边BC上的中线AE,并延长AE交BM于点F;(2)在(1)的前提下,猜测BF与边AC的位置关系,并写出证明过程.【考点18角平分线的判定与性质的综合求值】【例18】(2022·广东汕头·八年级期末)如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAOA.1:1:1 B.1:2:3C.2:3:4 D.3:4:5【变式18-1】(2022·全国·八年级课时练习)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点,则下列结论:①∠AMD=90°;②点M为BC的中点;③AB+CD=AD;④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半.其中正确的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式18-2】(2022·重庆江北·八年级期末)如图,已知ΔABC和ΔADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90∘,BE、CD交于点O,连接OA.下列结论:①BE=CD;②BE
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