八年级几何辅助线专的题目训练

实用标准文案常见辅助线作法法：遇线倍长中线线以自角平分线上的某一点向角的以可以：遇到有二条线段长之和等于第三条线法：有一个角为60度或度的把该角添线后构成等边形度、法3060度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成面积精彩文档

实用标准文案一、等三角形“三线合一”法

如图，已ABC中，∠＝90°，＝AC，平分∠ABC，⊥BDE，求证：BD.中考连：（2014州，第7题，3分如图，已知∠，在边OA，=12，点，在上，PM，若MN，则=）A．B．二、倍中线（段）造等

C．

D．6

A例1杯”试题）已知，如图△ABC，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是________.

BDC例2如图eq\o\ac(△,，)ABC中EF分别在ABAC上DE⊥DFD是中点试比较BE+CF与EF的大小.AEFB

D

C例3、如图，△ABC中，，E是DC的中点，求证：AD分∠BAE.精彩文档

实用标准文案DEC中考连：（09崇文）以的两边AB为腰分别向外作等腰Rt和等腰RtACE，BADCAE

连接DEMN分别是BCDE的中点．探究AM与DE的关系）如图①

当为直角三角形时，AM与的位置关系是，线段AMDE的数量关系是；（2）将图①中的等腰

绕点A沿逆时针方向旋转<90)后，如图②所示）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．三、借角平分造全等1如O，E精彩文档

A

图，已知在△ABC，∠B=60°，△ABC的角平分线相交于点求证：OB

D

C

B实用标准文案B2、如图，已知点是∠的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=（）.问：∠1和∠2有何关系？中考连：(2012年北)如图①OP是∠的平分线请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在ABC，∠ACB是直角，∠B°，AD、分别是∠BAC、BCA的平分线、相交于点F。请你判断并写FE与FD之间的数量关系；（2如图③在△中如果∠不是直角而(1)中的其它条件不变，请问你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立请证明若不成立，请说明理由。M

BO

P

E

FD

E

F

D图①

N

A

图②

C

A

图③

C精彩文档

实用标准文案四,垂直平分线联结线段两端（2014广贺州，第3分）如图，等eq\o\ac(△,腰)ABC中，ABAC∠=15°，的直平分线MN交AC点D则∠的度数是．2、如图，△ABC中，平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥于E，DF⊥AC于F.（1）说明BE=CF的理由）如果，，求AE、BE的长.AB

E

G

CFD中考连：（年广东汕尾，第题分如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠，别以点A、为心，大于AC长半径画弧，两弧相交于点MN，接，与、分交于点、E，连接．（1）求接出结果）（2）当=3=5时求△ABE周长．精彩文档

实用标准文案过直线外一点做已知直线的垂线五、截补短1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平，且，求证：CD⊥ACACBD

2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。A

DB

C3、如图，已知ABC60C400，，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别的角平分线。求证：ABP精彩文档C

实用标准文案4、如图，在四边形中，BC＞BA,AD＝CD，BD平，求证：AD

B

C

5.如图已知正方形ABCD为BC边上任意一点，AF平分∠DAE．求证：AE－＝．6.如图，∠ABC=60°，、CE分别平分∠，∠ACB，判断AC的长与AE+CD的大小关系并证明.7.如图Rt中，⊥AB于DAF平分∠于，交于，且∥AB交于，判断GB的大小关系并证明。精彩文档

E精彩文档实用标准文案E精彩文档六、综1、正方形ABCD中，BC的一点，F为CD的一点，，求∠EAF的度数.

2图，为等边三角形M,分别BC,AC上CN，AM与交。的度数。3、已知四边形ABCD中，ABAD，BCCD，AB，∠120

，∠MBN

，∠MBN绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，．当∠绕点旋转到AECF时（如图1证CFEF．当∠绕点旋转到AE时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CFEF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AAAMBBB

F

D

F

D

F

D

实用标准文案4、D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交于点E,F。B

（1）绕点D转动时，求证DE=DF（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。AEM

C

F

AN5、在等ABC的两边AB、所在直线上分别有两点MND为ABC外一点MDN60BDC120,BD=DC.探究M分别在直线AB、AC上移动时，BM、之间的数量关系的周长与等的周长L的关系．图1

图2

图3（I）如图1，当点M、边AB、上，且时，、NC、MN精彩文档

实用标准文案Q之间的数量关系是；此时

；（II）如图2，点M、N边AB、AC，且当DM，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III如图3，当M、分别在边AB、CA的延长线上时，若x，则Q=

（、L表示中考连2014抚顺第25题12分已知：A′BC′≌ABC，∠A′′∠ACB=90°，ABC′=∠ABC=60°，A′可绕点旋转，设旋转过程中直线′和AA′相交于点D．（1）如图1示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段AD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）Rt△′BC′由图1的位置旋转到图的位置时）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3将Rt△′BC由图1的位置按顺时针方向旋转α0°≤α≤120°A、、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．精彩文档

实用标准文案参考答案与提一、倍中（段造等例1知图△ABC中中AD的取范围是________.解：延长AD至EAE＝，BE，由三角形性质知

AB-BE<2AD<AB+BE

故AD的值范围是1<AD<4

C例2、如图，△ABC中E、分别在、AC上，DE⊥DF，是中点，试比较BE+CF与EF的大小.解：(倍中,腰三角形“三线合一”延长FD至使＝2EF连BG，EG,E

A显然BG＝FC，在△EFG，注意到DE⊥，等腰三角形的三线合一知

B

D

FCEG＝在△BEG，由三角形性质知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图，中BD=DC=AC，是DC的中，求证：AD平分∠BAE.精彩文档

ACE实用ACEABDEC解：延长AE至GAG＝，BG，显然DG＝AC，∠GDC=∠由于DC=AC，∠∠DAC在△ADB△ADG中，BD＝AC=DG，＝，∠ADB=∠∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△≌△ADG，有∠BAD=∠DAG，即AD平分BAE应用：1崇二模）以的边BAC为腰分别向外作等腰Rt

ABD

和等腰Rt，

BADCAE

连接DE，MN别是C、的中点．探究：AM与DE位置关系及数量关系．（）如图①当为角三角形时与的位置关系是，线段与的数量关系是；（图中的等R

ABD

绕点A逆时针方向旋转(0<后②所示问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．解）EDAM，ED；证明：延长AMG，MG，BG，则是行四边形∴AC，BAC

D又∵BAC180精彩文档

N

H

实用标准文案∴ABGDAE再证：ABG∴AMEDA延长交DE于∵BAG∴90∴AM（2结论仍然成立．证明：如图，延长CA至，使AC，FA交点P，连接BF∵DABAAF

F∴90EAD

D∵在和EAD中

NEADBA∴（）

∴BFDEF∴∴FBDE又∵AF，CMMB

M

C∴AM//FB且AM

FB∴AM，二、截补

DE1、图，

中，AB=2AC，平分

，且AD=BD，证CD⊥解长）在AB上中点，连FD△ADB等腰三角形，F是AB点，由三线合一知DF⊥AB，故AFD＝90°△≌ADC（SAS）∠＝AFD＝90即：CD⊥精彩文档

实用标准文案2、图，∥，EA,EB分平分∠∠，CD过点E，求证AB＝AD+BC解长）在AB上点F，AF＝AD，连FE△≌AFE（SAS）∠＝AFE

A

DE∠ADE+∠BCE180∠AFE+∠BFE180故∠＝EFB△≌CBE（AAS）故有BF＝BC从而;AB＝AD+BC

B

C3、图，已知在ABC内

BAC

，C

，，Q分别在BC，CA上并且AP，BQ分别是BAC，的平分线。求证BQ+AQ=AB+BP解短,计数值法）延长AB至D，使BD＝BP，连

A在等腰△BPD中可得BDP＝40°

B从而∠＝40°＝∠

QP精彩文档C

实用标准文案△ADP≌△ACP（ASA）故AD又∠＝∠QCB故＝QCBD从而BQ+AQ=AB+BP4、，在四边形ABCD，BC分

ABC

，求证：

AC180

0解法延长BA至，使BF，FD

eq\o\ac(△,≌)△BDC（SAS）故∠∠DCB又AD故在等腰△中

∠DFB∠DAF

故有∠BCD＝180°5、在中，AB∠1∠2为上任一，;＞PB-PC1PBD解法延长AC至，使AF，PDeq\o\ac(△,≌)△AFP（SAS）故BP由三角形性质知PB＝PF－PC<＝AB－AC应用：精彩文档

A2

C

实用标准文案分析：题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。解：有BCADAE连接，过作//BC并AC于点则可证AEF为等边三角形即AE，AFE60∴CFE120又∵AD//BC，∴BAD又∵60∴FEC

DFD

C在与中CFE，，FEC∴FCE∴∴AD

C点评：题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。三、四、借角分造等1、图，已知在中，B=60°△ABC的平分线AD,CE相交于点O，证OE=OD，精彩文档

实用标准文案DC+AE证明(角平分线在三种添辅助线计算数值法)∠B=60,则∠BAC+∠BCA=120度AD,CE为角平分线,则∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.

在AC上截取线段连接

E又AO=AO;∠OAE=OAF.⊿OAEΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.

O

则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、图，△中，平∠BAC，⊥且平分，⊥于E，DF⊥于F.（1）明BE=CF的由）如果AB=

，AC=

，求AEBE的长解：(直平分线联结线段两)连BDDCDG垂直平分BC，BD＝

A由于AD平分BACDE⊥ABE，DF⊥AC于F，故有ED＝

B

E

F故eq\o\ac(△,RT)DBE≌eq\o\ac(△,RT)DFC（HL）故有BE＝CF。＝2AE＝（a+b）/2应用：精彩文档

实用标准文案、图①，是MON的分线，请你利用该图形画一对以所直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（如图②在△中ACB是角∠B=60°AD分是BAC∠BCA的平分线ADCE相于点F。请你判断并写出与FD之的数量关系；（）如图③，在△中如果∠不直角，而中的其它条件不变，请问，你在1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。BM

BO

P

E

FD

E

F

D图①

N

A

图②

C

A

图③

C(第图)解）与FD之的数量关系为FEFD（2答）的结论FE仍然成立。证法一如图，在上取AE，结∵，AF为共边，∴AGF∴AFEAFG，FEFG∵BAD、分是、BCA的分线∴60

∴AFECFDAFG60∴60

F

D∵及FC为共边∴CFGCFD∴FG

12G

3

4

C∴FE证法二如图，过点分作FGAB于，FH于

图∵BAD、分是、BCA的分线∴可得60F是ABC的心

∴60FHFG又∵

1

F

4

DH∴GEFHDF

2

3∴可证EGFDHF精彩文档

图

C

实用标准文案∴FE五、旋例1正形ABCD中E为BC上一F为CD上一BE+DF=EF求∠的数证明：将三角形ADF点A时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，所以三角形AEF等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠GAB=BAE+∠DAF

又∠EAF+∠BAE+DAF=90所以∠EAF=45度例2D为腰斜边AB的中，DM⊥DN,DM,DN分交BC,CA于E,F。(1)绕点D动时，求证DE=DF。(2)AB=2，求四边形DECF的面积。解：计算数值)1）连接DC，D等腰

Rt

斜边AB的中点，故有CD⊥AB，＝平∠＝9°ECD＝∠＝45由于DM⊥DN，有∠＝0°由于CD⊥，有∠CDA0°从而∠＝∠A＝故有△≌△ADF（ASA精彩文档

（2）实用标准文案（2）故有DE=DFS=2,S=S=1△ABC四△ACD例3如图

是边长为3的边三角形，

BDC

是等腰三形且

BDC120

0

，以D为顶点做个使其两边分别交AB于点于点连MN则的周长为；

解：(形补全,“截长法”或“补短法,计数值)AC的长线与BD的延长线交于点F，在线段CF上取点，使＝BM∵△ABC为等边三角形，BCD为腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠MBD=∠∠DBC=60°=90°，∠DCE=180°∠ACD=180°-ABD=90°，又∵，BD=CD，∴△CDE，∴∠CDE=BDMDE=DM∠∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDC-MDN=120°-60°=60°∵在△DMN和△DEN中DM=DE∠∠DN=DN∴△DMN≌△，∴MN=NE精彩文档

实用标准文案∵在△DMA和△中，DM=DE∠-∠∠CDE=EDF(∠∠BDM)∠DAM=∠∴△DMN≌△(AAS)∴的周长为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应用：、已知四边形

中，

D，

BCCD

，

ABBC

，

∠120

，∠MBN60

，

∠

绕

点旋转，它的两边分别交

AD，DC

（它的长）于，F．当

∠

绕

B

点旋转到

AECF

时（如图1证

AE

．当

∠

绕

B

点旋转到

AECF

时，在图2和这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段

AE，

，

EF

又有样数关？写出你的猜想，不需证明．AAAEBB

E

M

F

D

F

D

F

N

D

EM（图1（图2解），BCCDABBC，AE∴ABE（SAS∴，BE精彩文档

（图3

实用标准文案∵∴ABE30为边三角形∴BFAE∴EF（2图2成，图不立。

12

BE证明图，延长DC至K使CK，连接BK则

∴BEBKKBC∵60∴FBC60∴FBCKBC60∴60∴KBF

K

C

FN图

MD∴KFEF∴KCCFEF即图成立AE、、EF关系是AEEF城年一模）已:PA=直线AB的两侧.

,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、两点落在(1)如图当∠APB=45°,求AB及PD的长(2)当∠APB化且其它条件不变,求PD的最大值,及相应APB的大小分析助点作于点ERt中，已知APE，的值，根据三角函数可将，的值求出，由的值，可求BE值，在RtABE中，根据勾股定理可将的求出PD的有两种解法一绕点A顺针旋转90可PADPD长为求，在Rt

中，可将PP

的值求出，在，据勾股定理可将求出；解法二：过点P作的行线，与DA的长线交于F，交于，在中可求出，EG的，进而可知的，在中，可求出PF，在中，根据勾股定理可将PD的求出；（2将点A顺针旋转90到的最大值即为P大，故当B点共线时，P最值，根据P可P大，此时APB180精彩文档

21010515实用标准文案21010515解）如图，作PB点ED∵中APB452∴AEPE

2

C∵PB∴BEPE

B在中AEB∴AE②解法一如因为四边形为方形可将PAD绕点A顺针旋转到PADPA

D∴PAP90

C∴PPPA

′∴PP

2

；EB解法二：如图，过点作的平行线，与DA的长线交于F，设DA的长线交PB于．在AEG中得AG

AE101，EG，PGEGcosEAGcosABE33D在中，可得PGcoscosABE

10，FG

C在中可得

PF

AG

105

F

（2如所示将PAD绕A顺针旋转90到PD的大值即的最大值∵两侧

P，，PB、两落在直线的∴当B取得最大图）

D

C

D

三共时C精彩文档

′

′

实用标准文案此时，大值为6此时180、等边

的两边AB、AC在直线上分别有两点MND为

ABC

外点且MDN60

120

,BD=DC.探：当MN分在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之的数量关系及的周长Q与等边的长L的关系．图

图

图（I）如图1当点M、N边AB、上，且DM=DN时，BM、NC之的数量关系是；此时

Q

；（II）如图，点N边AC，且当DM成立吗？写出的猜想并加以证明；

DN时猜想I）问的两个结论还（III）如，当M、分在边AB、CA的长线上时，若x，Q=

（用x、L表分析（1）如果，DNM，因为BD，那DBC30也就有MBDNCD直角三角形MBD、中，因为BDDC，DMDN，据定理，两三角形全等。那么BMNC，60角形NCD，NDCDN2，在三角形DNM中，MDN60，因此三角

是个等边三角形，因此2NCBM，角形的长QMN精彩文档

实用标准文案AMANMBNCABAC2，角形ABC的长AB，此:L:．（2如果DM，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换。延长AC至E，使CEBM，接DE）我们已经得出，MBD90么三角形M