2018-2019学年北京一零一中八年级上期中数学试卷

2018-2019学年北京一零一中八年级（上）期中数学试卷副标题题号 4四总分得分、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日〜2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）1.2.3.4.5.6.7.A.B.D.B.D.，C.10B.8D.12)下列各式运算中结果是a6是（A.C.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（A.C.B.D.如图，^^2.3.4.5.6.7.A.B.D.B.D.，C.10B.8D.12)下列各式运算中结果是a6是（A.C.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（A.C.B.D.如图，^^ABC中，ZC=90°,AD是ZBAC的角平分线若CD=2,AB=8,则4ABD的面积是（ ）A.6如图，已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（ ）BH垂直平分线段ADAC平分△如图，^ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=ACCD=DE.若ZA=40°,aABD：aDBC=3：4,则NBDE=(A.B.C.D.多项式％2-mxy+9y2能用完全平方因式分解，则m的值是（A.3B.6C.)D.第1页，共23页.若a,b,c是三角形的三边，则代数式（a-b）2-c2的值是（ ）A.正数 B.负数 C.等于零D,不能确定.如图，在三角形纸片ABC中，乙C=90°,乙B=30°,点D（不与B,C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（ ）13.14.15.13.14.15.TOC\o"1-5"\h\zA.2a B. C.3a D.4a.如图，四边形ABCD中，AB=AD，点B关于AC的对称点 二:、B恰好落在CD上，若NBAD=a，则ZACB的度数为（ ） ；A.- 5二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）.点P（2，-3）关于％轴的对称点坐标为.等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为 已矢口xm=4，xn=3，则Uxm+n的值为.若（2x-1）0无意义，则代数式（4x2-1）2008的值为.如图，在^ABC中，AB=AC，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且BF=CD，BD=CE，/FDE=a，则乙4的度数是 度.（用含a的代数式表示）.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB的垂直平分线DE交AB边于点D，交BC边于点E，在线段DE上有一动点P，连接AP、PC，则^APC的周长最小值为.已知（a-2018）2+（2019-a）2=5，则（a-2018）（2019-a）=三、计算题（本大题共2小题，共17.0分）.计算下列各题：3x•6x2y（2）（a+2b）（a-2b）第2页，共23页aa5-(a2)3-(-2a3)2[%(%2y2-%y)-y(%2-%3y)]:3%2y.19.先化简，再求值：(%+3)(%-3)+(2%-1)2-4%(%-1),其中%=四、解答题(本大题共7小题，共45.0分)20.把下列各式分解因式：a2b+ab2ab2-4ab+4a(3)%2(a-b)+y2(b-a).如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，ZB=ZC，AF与DE相交于点0，请判断^0EF的形状，并说明理由..如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点4ABC和^DEF(顶点为网格线的交点)，以及过格点的直线l.(1)将^ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形.第3页，共23页

(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形.(3)填空：乙C+ZE=.23.已知：线段AB23.已知：线段AB.1—1/Ch;三F/—...E\(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，与线段AB交于点D；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的基础上，点C为l上一个动点(点C不与点D重合)，连接CB，过点A作AE1BC，垂足为点E.①当垂足E在线段BC上时，直接写出ZABC度数的取值范围.②请你画出一个垂足E在线段BC延长线上时的图形，并求证/BAE=乙BCD.24.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到(。+b)2=a2+2ab+b2,请解答下列问题：24.(1)写出图2中所表示的数学等式 .(2)根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式.(3)利用(1)中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则Ua2+b2+c2=.(4)小明同学用图3中1张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(5a+7b)(9a+4b)长方形，则i+y+z=.第4页，共23页25.定义：如图1,在4ABC和4ADE中，AB=AC=AD=AE，当zBAC+ADAE=180°时，我们称△ABC与公DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”.(1)特例感知：在图2,图3中，△ABC与^DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”.①如图2,当NBAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM--=DE；②如图3,当NBAC=120°,ED=6时，AM的长为.(2)猜想论证：在图1中，当NBAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明.(3)拓展应用如图4,在四边形ABCD中，AD=AB,CD=BC,NB=90°,nA=60°,CD=，在四边ABCD的内部找到点P，使得"AD与△PBC互为“顶补等腰三角形”.并回答下列问题.①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为 ;②直接写出4PBC的“顶心距”的长为.26.(1)发现：如图1,点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b且填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 (用含a、b的式子表示).(2(2)应用：点A为线段BC外一动点，且BC=4,AB=2,如图2所示，分别以AB,，共23页AC为边，作等边三解形ABD和等边三角形ACE，连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值.（3）拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（5,0）,点P为线段AB外一动点，且PA=2,PM=PB,^BPM.=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.第6页，共23页答案和解析.【答案】D【解析】解:A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选:D.根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形的概念..【答案】D【解析】解:A、a3+a3=2a3,故此选项不合题意；B、(a3)3二a9,故此选项不合题意；C、a12：a2=a10,故此选项不合题意；D、a3a3二a6,故此选项符合题意；故选:D.直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案.此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键..【答案】C【解析】解:A、x3-xy2=x(x2-y2)=x(x+y)(x-y),故此选项错误；B、(x+2)(x-2)=x2-4,是整式的乘法运算，故此选项错误；C、-2x2-2xy=-2x(x+y),是因式分解，故此选项正确；D、x2+2x+1=(x+1)2,故此选项错误；第7页，共23页

故选:C直接利用因式分解的意义分析得出答案.此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键..【答案】B【解析】解：如图，过点D作DE1AB于E，E B••AB=8,CD=2，••AD是nBAC的角平分线，nC=90°，.•.DE=CD=2，.•.△ABD的面积JAB*DE="x8x2=8.故选:B.过点D作DE1AB于E,先求出CD的长，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE二CD,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线得到边AB上的高是解题的关键..【答案】A【解析】解:A、正确.如图连接CD、BD,「CA二CD,BA=BD,・・・点C、点B在线段AD的垂直平分线上，・・・直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确.B、错误.CA不一定平分NBDA.C、错误.应该是S^abc"!-BC-AH.D、错误.根据条件AB不一定等于AD.第8页，共23页故选:A.根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可.本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型..【答案】B【解析】解：「AB二AC,CD=DEazC=zDEC=zABC.•.AB||DE叱A=40°.zC=zDEC=zABC=上 ,=70°叱ABD:nDBC=3:4.•.设立ABD为3x,zDBC为4x.•.3x+4x=70°x=10°「AB||DEAzBDE=zABD=30°故选:B.根据已知及等腰三角形的性质可求得两底角的度数，再根据zABD:zDBC=3:4,列方程求解即可求出NBDE的度数.本题考查了等边三角形的性质:等边对等角和三角形内角和定理求解..【答案】D【解析】解：「x2-mxy+9y2能用完全平方因式分解，•m=±6,故选:D.利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值.此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键..【答案】B【解析】解：「(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c),a,b,c是三角形的三边，,a+c-b>0,a-b-c<0,.(a-b)2-c2的值是负数.第9页，共23页

故选:B.首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可.此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键..【答案】C【解析】解:••・折叠azB=zEDB=30°.zFDC=zC=90°,.•zFED=60°,zEFD=60°..•.△def是等边三角形，.de二EF二DF二a,.△DEF的周长为3a,故选:C.由折叠的性质可得nB=nEDB=30°,nFDC=nC=90°,可求nFED=60°,nEFD=60°,可证aDEF是等边三角形，即可求^def的周长.本题考查了翻折变换，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键..【答案】D【解析】解:如图，连接AB',BB',过A作AE1CD于E,••点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，.•.AC垂直平分BB',.•.AB二AB',.•zBAC=nB'AC,「AB二AD,.•.AD二AB',又「AE1CD,.•2DAE=nB'AE,.•zCAE二1zBAD=1■,2 2又•.2AEB'=nAOB'=90°,四边形AOB'E中，zEB'O=180°-',.zACB'=zEB'O-zCOB'=180°-1-90°=90°-12 2AzACB=zACB'=90°-',第10页，共23页故选:D.连接AB',BB',过A作AE1CD于E,依据nBAC=nB'AC,zDAE=zB'AE.即可得出nCAE=1nBAD=1,再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到NACB=nACB'=90°-J.本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E,解题时注意:如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线..【答案】(2,3)【解析】解:点P(2,-3)关于x轴的对称点坐标为(2,3),故答案为：(2,3).根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案.本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数;关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数;关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数..【答案】40°【解析】解：•••100°为三角形的顶角，•••底角为：(180°-100°)：2=40°.故答案为:40°.因为三角形的内角和为180°,所以100°只能为顶角，从而可求出底角.本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解..【答案】12【解析】解:vxm=4,xn=3,...xm+n=xmxn=4x3=12.第11页，共23页故答案为：12.直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案.此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键..【答案】0【解析】解:•••(2x-1)°无意义，」.2x-1=0,即x=r,则(4x2-1)2008=0,故答案为：0根据零指数幂无意义确定出x的值，代入原式计算即可求出值.此题考查了代数式求值，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键..【答案】180°-2a【解析】解：「AB二AC,/.zB=zC,ftABDFfflACED中，[BF=CD,LBD=CEAABDF=ACDEazEDC=zDFB.•zEDF=nB=(180°-nA):2=90°-，A,•叱FDE=a,.•zA=180°-2a,故答案为：180°-2a根据已知条件可推出BDF三△CDE,M而可知NEDC=NFDB,贝UnEDF=nB.本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理;此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现NEDF=NB.再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导.第12页，共23页

16.【答案】14【解析】解:如图，连接BP,.•DE垂直平分AB,.•.AP二BP,.•.AP+PC=BP+PC,•・当点B,P,C在同一直线上时，AP+PC的最小值等于BC长，•.△APC的周长最小值为BC+AC=8+6=14,故答案为：14.依据DE垂直平分AB,可得AP二BP,即可得至I]AP+PC=BP+PC,依据当点B,P,C在同一直线上时，AP+PC的最小值等于BC长，即可得到^APC的周长最小值为BC+AC.本题考查的是轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.17.【答案】-2【解析】解:设a-2018二x,贝U2019-a=2019-x-2018=1-x,••(a-2018)2+(2019-a)2=5,.•.x2+(1-x)2=5,解得:x=2或-1,当x=2时，a=2018+2=2020,(a-2018)(2019-a)=(2020-2018)(2019-2020)=-2,当x=-1时，a=2018-1=2017,(a-2018)(2019-a)=(2017-2018)(2019-2017)=-2,故答案为：-2.设a-2018二x,将已知等式化为关于x的一元二次方程，解出x的值，分别计算a的值，再代入计算即可.此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键，本题还需学会利用参数解决问题.第13页，共23页.【答案】解：(1)原式=18%3”(2)原式=a2-4b2；(3)原式=a6-a6-4a6=-4a6；(4)原式=(%3y2-%2y-%2y+%3y2)：3%2y=(2%3y2-2%2y)：3%2y=%y--.【解析】(1)原式利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果；(2)原式利用平方差公式计算即可得到结果；(3)原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；(4)原式中括号中利用单项式乘以多项式法则计算，合并后利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果.此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键..【答案】解：原式=%2-9+4%2-4%+1-4%2+4%=%2-8,当%=时，原式=7-8=-1.【解析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值.此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键..【答案】解：(1)a2b+ab2=ab(a+b)；(2)ab2-4ab+4a=a(b2-4b+4)=a(b-2)2；(3)%2(a-b)+y2(b-a)=(a-b)(%2-y2)=(a-b)(%+y)(%-y).【解析】(1)直接找出公因式ab,进而提取公因式分解因式即可；(2)直接提取公因式a,再利用完全平方公式分解因式即可；(3)直接提取公因式(a-b),再利用平方差公式分解因式即可.第14页，共23页此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键..【答案】解：△OEF的形状为等腰三角形.理由如下：；BE=CF,:.BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在^ABF与^DCE中，:.△ABF必DCE（SAS）.；."FB=ZDEC..•.OE=OF,即△OEF的形状为等腰三角形.【解析】根据BE二CF得至1]BF=CE,XAB二DC,nB=nC,所以^ABF三4DCE,根据三角形全等得NAFB=NDEC,所以是等腰三角形.本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定;根据BE二CF得至1]BF=CE是证明三角形全等的关键.22.【答案】（1）△A'B'C'即为所求；r--：A（2）△D'E尸即为所求;（3）45°.【解析】第15页，共23页解：(1)4A'B'C'即为所求;r ：A(2)aD'EF即为所求;(3)如图，连接A'F',•••△ABC三△A'B'C'、aDEF^aD'E'F',azC+zE=zA'C'B'+zD'E'F'=zA'C'F',A'C'=.।•'=..-,、A'F'=.।♦'=..-,,C'F'=.।；=.i...••A'C'2+A'F'2=5+5=10=C'F'2,.•.△A'C'F'为等腰直角三角形，zC+zE=zA'C'F'=45°,故答案为:45°.(1)将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得；(2)分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得；(3)连接A'F',利用勾股定理逆定理证△A'C'F'为等腰直角三角形即可得.本题主要考查作图-平移变换、轴对称变换，熟练掌握平移变换、轴对称变换及勾股定理逆定理是解题的关键.第16页，共23页23.【答案】解：(1)直线l即为所求作的直线.(见图1)(2)①45°WZA5C<90°.理由如下：连接AC,当ZAC5W90°时垂足E在线段BC上，vCD垂直平分AB,aCA=CB,，乙CAB=乙CBA,v2zCBA+AACB=180°,a2zCBA>90°:.乙CBA>45°vzCBA是锐角，a45°<zCBA<90°②在图2中，证明：v线段AB的垂直平分线为l,aCDLAB,vAE1BE,azAEB=zBDC=90°,azBAE+zB=zBCD+zB=90°,azBAE=zBCD.【解析】(1)利用作已知线段的垂直平分线的法作图即可;(2)①根据锐角三角形的高在三角形内即可解决.第17页，共23页②利用等角的余角相等证明.本题考查垂直平分线的作法、三角形的高、都等角的余角相等等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键.24.【答案】(。+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc30156【解析】解：(1)正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(2)证明：(a+b+c)(a+b+c),=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2,=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.(3)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc,=102-2(ab+ac+bc),二100-2x35,二30.故答案为:30;(4)由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab,•••(5a+7b)(9a+4b),=45a2+20ab+63ab+28b2,=45a2+28b2+83ab,,x=45,y=28,z=83..•.x+y+z=45+28+83=156.故答案为：156.⑴依据正方形的面积=(a+b+c)2;正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,可得等式；(2)运用多项式乘多项式进行计算即可；(3)依据a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc,进行计算即可；(4)依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab,而(5a+7b)(9a+4b)第18页，共23页=45a2+20ab+63ab+28b2=45a2+28b2+83ab,即可得至I]x,y,z的值.本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答.25.【答案】-2点P是线段BC的垂直平分线与AC的交点，【解析】解：(1)①•叱BAC=90°,zBAC+zDAE=180°azDAE=zBAC=90°「AB二AC,zBAC=90°,AM1BCaAM=BM=CM=1BC「AB二AC二AD二AE,且nDAE=nBAC=90°aaDAE^aCAB(SAS).•.BC二DE,.•.AM=1DE故答案为：!②•叱BAC=120°,zBAC+zDAE=180°.•ZDAE=60°,「AB二AC二AD二AE,zDAE=60°,zBAC=120°,.•ZABM=30°,aADE是等边三角形.•.AB=2AM,DE二AD二AE=6=AB,.•.AM=3故答案为：3(2)猜想:结论AM="DE.理由如下：如图，过点A作AN1ED于N「AE=AD,AN1ED38；4AE,ND=；DE同理可得:ZCAM=zCAB,•叱DAE+nCAB=180°第19页，共23页azDAN+zCAM=90°vzCAM+zC=90°,zDAN=zC，「amibc,zAMC=zAND=90°在△and与^amc中，£DNA=£AMC£DAN=£CAD=AC,△and三4amc(aas)，,nd二am.am="de(3)①如图，线段BC的垂直平分线交AC于点P,连接DP,BP,理由如下：「ad二ab,cd=bc,kac=ac.△adc^^abc(sss)••2ABC=nADC=90°,zDAC=zBAC="zDAB=30°.•zACB=60°，AC=2BC.•pn垂直平分bc•.pc二PB，且nACB=60°•△pbc是等边三角形,.AC=PC，zBPC=60°,AP二pc，且nADC=90°.ap=dp△ADP是等腰三角形，zADP=zDAP=30°，,zAPD=120°，,zAPD+zBPC=180°.•.△pad4apbc互为“顶补等腰三角形”故答案为：线段bc的垂直平分线交AC于点P，②如图，过点P作PH1AD于点H，第20页，共23页叱DAC=30°,PH!AD,zADC=90°.•.HP」AP,AC=2CD=2;••AP二PC.AP=.;•.PH二:.•.△PBC的“顶心距”的长为上故答案为：:（1）①由等腰直角三角形的性质可得AM=BM=CM=BC,由全等三角形性质可得BC二DE,即可求解；②由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）过点A作AN!ED于N，由等腰三角形的性质可得/DAN二zDAE，ND=：DE，由全等三角形的性质可得ND=AM，则可得结论；（3）①由“顶补等腰三角形”定义可求解；②由“