专题09分式方程及其应用(基础巩固练习)解析版

2021年中数学专题09分式方程其应用（础固习共小）一、选题：1.(2019•山东淄博)解分式方程＝﹣2时，去分母变形正确的是()A．﹣1+x＝﹣1﹣2(x﹣2)B．1﹣x＝1﹣2(x﹣2)C．﹣1+x＝1+2(2﹣x)D．1＝﹣1﹣2(x﹣2)【答案】D【解析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2(x﹣2)2.(2020•海南)分式方程

x

的解是()A．

x

B．

x

C．

x

D．

【答案】C【解析】解：去分母，得x-2=3，移项合并同类项，得．检验：把x=5代入x-2≠0，所以原分式方程的解为：．故选：C．3.(2019•广西贵港)若分式

的值等于0，则x的值为()A．±1

B．0C．﹣1D．1【答案】D【解析】化简分式＝＝x﹣1＝0即可求解。＝﹣1＝0，∴x＝1；经检验：x＝1是原分式方程的解。

4=xk=xkk+82=4=xk=xkk+82=m34.(2020•上海)用换元法解方程

2

时设

原方程可化为关于

的方程是()A．

B．

C．y

D．y【答案】A【解析】解：把

代入原方程得：

1yy

，转化为整式方程为

y

．故选：A．5.(2020•黑龙江)已知关x的分式方程

的解为正数k的取值范围是()x2A．﹣8＜k＜0B．k＞且k≠﹣2C．k＞﹣8且k≠2D．k＜4且≠﹣2【答案】B【解析】分式方程，去分母得：x﹣4(x﹣2)＝﹣k，x2去括号得：x﹣4x+8＝﹣k，解得：x=

k+83

，由分式方程的解为正数，得到

k+83

＞0，且≠，3解得：k＞﹣8且k≠﹣2．6.(2020•泸州)已知关于x分式方程的解为非负数，则正整数m的所有x1个数为()A．3【答案】B

B．4C．5D．6【解析】去分母，得：m+2(x﹣1)＝3，移项、合并，得：=∵分式方程的解为非负数，

−m2

，

−mkk−mkk∴5﹣m≥0且≠，2解得：m≤5且m≠3，∴正整数解有1，2，4，5共4个.7.(2020•成都)已知x＝2是分式方程+=1解，那么实数k的值为()xxA．3

B．4C．5D．6【答案】B【解析】把x＝2代入分式方程得：＝1，解得：k＝4．28.(2019•黑龙江)已知关于x的分式方程

xm

的解是非正数m的取值范围是(

)A．m≤3【答案】A

B．m＜3C．m＞－3D．m≥－3【解析】由

xm

得x=m-3，∵方程的解是非正数，∴m-3≤0，∴m≤3.当x-3=0即x=3时，3=m-3，m=6，∵m=6不在m≤3内，∴m≤3.故选A.9.(2020•重庆B卷)若关于的一元一次不等式组

2

的解集为x≥5，且关于

的分式方程

yyy

有非负整数解符合条件的所有整a的和为(

)A．

B．

C．

D．0【答案】B

yy【解析】解：不等式组整理得：，由解集为x≥5，得到2+a<5即a<3，x分式方程去分母得：

，

，解得：

y

，由

为非负整数，且

，得到

a

，

，之和为

，故选：B．10.(2020•重庆A卷)若关于的一元一次不等式组

3x2

的解集为x≤a且关于

的分式方程

y3y

有正整数解所有满足条件的整数a值之积是(

)A．7

B．

C．28D．

【答案】A【解析】解：不等式组整理得：，由解集为x≤a，得到a≤7，x分式方程去分母得：

，即

3

，解得：

a3

，由y为正整数解，且

得到a=1，71×7=7，故选：A．11.(2019•重庆)若关于x的一元一次不等式组

1x(4a23＜x

的解集是x≤a关于y的分式方程A．0【答案】B

﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为()y1yB．1C．4D．6【解析】解：由不等式组

1x(4a23＜x

得：

x≤ax＜5∵解集是x≤a，∴a＜5；

y3+aB．Cy3+aB．C．D．由关于y的分式方程∴y＝，2∵有非负整数解，

﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1y1y∴

3+a2

≥0，∴5＞a≥﹣3，且a＝﹣3，a＝﹣1(舍，此时分式方程为增根)＝1，a＝3它们的和为1．故选：B．12.(2019•广东广州)甲二人做某种机械零件知每小时甲比乙少做8个做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时x个零件，下列方程正确的是()A．C．

＝＝

B．D．

＝＝【答案】D【解析】设甲每小时x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150所用的时间相等得出方程解答即可．设甲每小时做x个零件，可得：13.(2020•福建)我国古代著作《四元玉鉴记载“买椽多少题“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文．如果每株椽的运费是3，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是()

A．

621062103xx

【答案】A【解析】根据单=总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价

B．C．D．36303630B．C．D．36303630钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．解：依题意，得：

x

．故选：A．14.(2019•呼伦贝尔•兴安盟)甲乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，乙的速度是甲的1.2倍，结果甲比乙早到分钟．设甲的速度为

千米

/

时．根据题意，列方程正确的是()A．

661062020xx31.2xx3【答案】D【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度1.2x千米/时，根据时间=路程÷速度结合甲比乙提前20分钟到达目的地，即可得出关于的分式方程，此题得解．解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为1.2x米/时，根据题意得：

61x3

．故选：D．15.(2018•通辽)学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元购买文学类图书费9000元其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是元则可列方程为()A．C．

1000010010000100x

B．D．

900010000x900010000【答案】B【解答】解：设科普类图书平均每本的价格是x，则可列方程为：

9000x

．故选：B．16.(2018•巴彦淖尔)小敏上月在某文具店正好用元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为()A．

﹣＝1x

B．﹣＝1C．﹣＝1

D．﹣＝1x

3030【答案】B【解析】设她上月买了x本笔记本，则她本月买了x+8)本笔记本，根据：单价＝总价÷数量结合每比上月便宜1元即可得出关于x的分式方程此题得．解：设她上月买了x本笔记本，则她本月买了(x+8)笔记本，根据题意得：

﹣＝1．故选：B．817.(2019•湖北十堰)十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前15天完成任务原计划每天铺设钢轨米根据题意所列的方程是()A．C．

﹣﹣

＝15＝20

B．D．

﹣﹣

＝15＝20【答案】A【解析】考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数，以时间为等量关系列出方程．解：设原计划每天铺设钢轨，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设20，就能提前15天完成任务可列方程．设原计划每天铺设钢轨x米，可得：18.(2019•山东济宁)世界文化遗产“三孔”景区已经完成基站布设，“孔夫子家”自此有了5G络．5G网络峰值速率为络峰值速率的倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是)A．C．

﹣﹣

＝45B．＝45D．

﹣﹣

＝45＝45【答案】A

500．500．【解析】由实际问题抽象出分式方程直接利用5G络比4G网络快45秒得出等式进而得出答案．解设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据题意可列方程是：﹣＝45．19.(2019•江苏苏州)小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为为()

元，根据题意可列出的方程A．

1524xx

B．

1524xx

C．

1524x

D．

1524xx【答案】A【解析】考察分式方程的应用，简单题型。找到等量关系为两人买的笔记本数量

1524xx20.(2020•长沙)随着5G网络技术的发展，市场5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得()A．=xx

B．=x

x+30C．

x

=

x

D．=x+30x【答案】B【解析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产x+30)万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产x+30)万件产品，依题意，得：=x

x+30

xx二、填题：1.(2020•徐州)方程=xx

的解为．【答案】x＝9【解析】去分母得：9(x﹣1)＝8x∴9x﹣9＝8x解得：x＝9检验：把x＝9代入x(x﹣1)≠0，所以x＝9是原方程的解．2.(2020•盐城)分式方程

xx

=0的解为x＝．【答案】1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：分式方程

x

=0，去分母得：x﹣1＝0，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．3.(2020•包头)分式方程【答案】

x

＝1的解是．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：分式方程

x2

＝1，去分母得：3﹣x﹣x＝x﹣2，

555555解得：x＝，3经检验x＝是分式方程的解．3故答案为：x＝．34.(2019•甘肃)分式方程

＝

的解为．【答案】x＝【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．5.(2019•山东滨州)方程

+1＝

的解是．【答案】x＝1．【解析】本题考查了解分式方程(1)分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，(2)解分式方程一定注意要验根．去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3，移项、合并，得2x＝2，解得x＝1，检验：当x＝1时，x﹣2≠0，所以，原方程的解为x＝16.(2019北黄石)分式方程：﹣＝1的解为．

【答案】x＝﹣1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得x的值，经检验即可得到分式方程的解．去分母得：4﹣x＝x2

﹣4x，即x

2

﹣3x﹣4＝0，解得：x＝4或x＝﹣1，经检验x＝4是增根，分式方程的解为x＝﹣17.(2019川巴中)若关于x的分式方程

+＝2m有增根，则m的值为．【答案】1【解析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出的值．方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m(x﹣2)∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝1故m的值是18.(2019江苏宿迁)于x的分式方程是．

+＝1的解为正数，则a的取值范围【答案】a＜5且a≠3【解析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得a的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．

−m−m−m−m去分母得：1﹣a+2＝x﹣2，解得：x＝5﹣a，解为正数，∴5﹣a＞0，解得：a＜5，当x＝5﹣a＝2时，a＝3不合题意，故a＜5且≠3。9.(2020•广元)关于x的分式程

m2x

+2的解为正数m取值范围是．【答案】m＜2且m≠0．【解析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不式，从而求得m的范围．解：去分母得：m+4x﹣2＝0，解得：x=，4∵关于x的分式方程∴＞0，4∴m＜2，∵2x﹣1≠0，

m2x

+2＝0的解是正数，∴2×

−m4

1≠0，∴m≠0，∴m的取值范围是m＜2且m≠0．10.甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距km的B地，甲、乙两车的速度之比是4∶5，结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为________km/h．【答案】80

xx+2=xx+2=【解析】设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为30依题意，得：，解得：x=80，x

xkm/h，经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．故答案为：．11.(2019•贵州安顺)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量达万千克，为了满足市场需求决定改良蜂糖李品种良后平均每亩产量是原计划的倍，总产量比原计划增加了千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为．【答案】﹣＝20【解析】设原计划平均亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克，依题意，得：﹣＝20．故答案为：﹣＝20．12.(2019龙江绥化)甲乙两辆汽车同时A地出发,开往相200km的B,甲,乙两车的速度之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达地,则甲车速度为______km/h.【答案】80【解析】设甲车速度为4x,乙车速度为5x,根据题意得解之,得x＝20,∴甲车速度为4x＝80.三、解题：

2001

,1.(2020•湘潭)解分式方程：

3x

2=

．x【答案】x＝﹣1【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：

3xxx

+1＝．+1＝．去分母得，3+2(x﹣1)＝x，解得，x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．所以，原方程的解为：x＝﹣1．2.(2020•通辽)解方程：【答案】x=6

3x

．【解析程两边都乘以最简公分母再进行检验．

(

把分式方程化为整式方程后解整式方程，解：方程两边都乘以

(

得，

2

，解得x=6，检验：当x=6时，

(x24

，所以x=6是分式方程的解．因此，原分式方程的解是．3.(2020•陕西)解分式方程：

xxx

．【答案】

x

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：方程

xxx

，去分母得：

xx

x

，解得：经检验

xx

，是分式方程的解．4.(2018和浩特)解方程：

x3x【答案】x=1【解析】解：两边都乘以x﹣2，得：x﹣3+x﹣2﹣3，解得：x＝1，检验：x＝1时，x﹣2＝﹣1≠0，所以分式方程的解为x＝1．

5.(2018盟尔)一艘轮船在静水中的最大航速为

30/

，它以最大航速沿江顺流航行90所用时间，与以最大航速逆流航行km所用时间相等，江水的流速为多少？【答案】江水的流速为6km/h【解析】根据题意可得顺水速度(30+v)km/h，逆水速度为(30-v)km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间=以最大航速逆流航行60km所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．解：设江水的流速为vkm/h，根据题意得：

，去分母得：90(30-v)=60(30+v)，解得：v=6．经检验，v=6是原方程的解．答：江水的流速为6km/h．6.甲乙两人制作某种机械零件．已知甲每小时比乙多做，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？【答案】甲乙两人每小时各做24和21个零件【解析】设乙每小时做x个件，则甲每小时做x+3)个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做(x+3)零件，由题意得：

xx解得：x=21，经检验x=21是方程的解，x+3=24答：甲乙两人每小时各做24和21个零件。7.(2020赤峰)甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路500m，甲队比乙队少用天．(1)求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？(2)我市计划修建长度为3600m的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？【答案】(1)甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路米；(2)至少安排乙工程队施工32天．

500500【解析】(1)设乙工程队每天修路x，则甲工程队每天修路2x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路500m甲队比乙队少用5天可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工36﹣0.5m)天，根据总费用不超过40万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．解：(1)设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路米，依题意，得：＝5，2解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴2x＝100．答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路米．(2)设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工依题意，得：0.5m+1.2(36﹣0.5m)≤40，解得：m≥32．答：至少安排乙工程队施工32天．

50

＝(36﹣0.5m)天，8.(2020广东)某社区拟建

，

两类摊位以搞活“地摊经济”，每个

类摊位的占地面积比每个

类摊位的占地面积多平方米．建

类摊位每平方米的费用为40元，建

类摊位每平方米的费用为元．用60平方米建

类摊位的个数恰好是用同样面积B类摊位个数的．(1)求每个AB类摊位占地面积各为多少平方米？(2)该社区拟建

，

两类摊位共90个，且

类摊位的数量不少于

类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．【答案】（1）每个A类摊位占地面积为平方米，每个B类摊位的占地面积为3平米；（2）建造这90个摊位的最大费用是10520。【解析(1)设每个B类摊位的占地面积为平方米，则每A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据用方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建摊位个数的这个等量关系列出方程即可．(2)设建A摊位a个则建B摊位(90-a)个结“B类摊位的数量不少于类摊位数量

的3倍”列出不等式并解答．解(1)设每个B类摊位的占地面积为平方米，则每A类摊位占地面积为(x+2)平方米，根据题意得：

3x5

，解得：x=3，经检验x=3是原方程的解，所以3+2=5，答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B摊位的占地面积为3平方米；(2)设建A摊位a个，则建B摊位(90-a)个，由题意得：(90-a)≥3a，解得：a≤22.5，∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为元，∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造类摊位，即a取最大值时，费用最大，此时最大费用为：

223022)

，答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．9.(2018头)某商店以固定进价一次性购进一种商品3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存月份在3月份售价基础上打9销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元？(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？【答案】（1）该商店3月份这种商品的售价是元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是990【解析】(1)设该商店月份这种商品的售价为x元，则份这种商品的售价为0.9x元，根据数量＝总价÷单价结合4月份比月份多销售件，即可得出关于x分式方程，解之经检验即可得出结论；(2)设该商品的进价为，根据销售利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利4月份的利润＝每件的利润×销售数量，即可求出结论．

24002400解：(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元，则月份这种商品的售价为元，根据题意得：＝﹣30，0.9解得：x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解．答：该商店3月份这种商品的售价是40元．(2)设该商品的进价为y元，根据题意得：(40﹣y)×解得：y＝25，

240040

＝900，∴(40×0.9﹣25)×

2400+840400.9

＝990(元)．答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．10.(2020•牡丹江)某商场准备购进A，B两种书包，每个种书包比B种书包的进价少20元，700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：(1)A，B两种书包每个进价各是多少元？(2)若该商场购进B种书包的个数比种书包的倍还多个，且A书包不少于个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450，则该商场有哪几种进货方案？(3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，种书包各有几个？【答案】（1）每个A种书包的进价为70元，每个种书包的进价为90元；（2）该商场有3种进货方案，方案：购买18个A种书包，41B种书包；方案2购买19个A种书包，43个B种书包；方