计算物理第一次作业

计算物理第一次作业——用迭代法求取方程的根问题描述：我们利用迭代法求解一个方程的根。在使用迭代法时，首先要给一个初值，再利用迭代公式不断地迭代，当到一定的步数的时候，后一项减去前一项的差值（即误差）小于一定的精度值，迭代停止，并去后一项的值作为方程的根。主要算法与公式：1．Jacobi迭代法迭代公式：将方程化为等效形式，则在此处，既有2．牛顿下山法迭代公式：迭代函数，则在此处，3．加速迭代法迭代公式：，其中的与前面意义相同，其中，即初值求导。4．Aitken迭代法流程图：相关说明：以上，我们采用了四种不同的迭代法求方程的根，四种算法的主要过程是相似的，主要区别是不同算法的迭代公式不同，所以可以采用统一的流程图来描述程序运行的过程。其中，迭代公式在不同的算法中具体形式不同，前面已做说明，不再赘述。开始开始结束是是否否j=0b=A[j]a=bb=输出b，b-a|b-a|>=10^-7?j<=3?j=j+1结束是是否否j=0b=A[j]a=bb=输出b，b-a|b-a|>=10^-7?j<=3?j=j+1源代码：（四种算法合并写在一起）#include<iostream>#include<iomanip>#include<stdlib.h>#include<math.h>usingnamespacestd;voidmain(){ intj; doubleA[4]={0.1,0.2,0.9,9.0}; cout<<"***************Jacobiiteration***************"<<endl; for(j=0;j<=3;j++) { inti=0; doubleb,a; cout<<endl; cout<<"Initialvalue"<<""<<A[j]<<endl; b=A[j]; cout<<"i="<<setw(4)<<setiosflags(ios::left)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<"0"; do { a=b; b=pow(3*a,(double)1/3); i=i+1; if(i%2==0) cout<<endl; cout<<"i="<<setw(4)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<b-a; }while(abs(b-a)>=0.000001); cout<<endl; cout<<"Thefinalrootis"<<""<<b<<""<<"witherror"<<b-a<<endl; } cout<<endl; cout<<endl; cout<<"**********NewtonDownhillIteration**********"<<endl; for(j=0;j<=3;j++) { inti=0; doubleb,a; cout<<endl; cout<<"Initialvalue"<<""<<A[j]<<endl; b=A[j]; cout<<"i="<<setw(4)<<setiosflags(ios::left)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<"0"; do { a=b; b=(double)2/3*pow(a,3)/(a*a-1); i=i+1; if(i%2==0) cout<<endl; cout<<"i="<<setw(4)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<b-a; }while(abs(b-a)>=0.000001); cout<<endl; cout<<"Thefinalrootis"<<""<<b<<""<<"witherror"<<b-a<<endl; } cout<<endl; cout<<endl; cout<<"*********PostAccelerationiteration*********"<<endl; for(j=0;j<=3;j++) { inti=0; doubleb,a,L=pow(3*A[j],(double)-2/3)/3; cout<<endl; cout<<"Initialvalue"<<""<<A[j]<<endl; b=A[j]; cout<<"i="<<setw(4)<<setiosflags(ios::left)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<"0"; do { a=b; b=(pow(3*a,(double)1/3)-L*a)/(1-L); i=i+1; if(i%2==0) cout<<endl; cout<<"i="<<setw(4)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<b-a; }while(abs(b-a)>=0.000001); cout<<endl; cout<<"Thefinalrootis"<<""<<b<<""<<"witherror"<<b-a<<endl; } cout<<endl; cout<<endl; cout<<"**************Aitkeniteration**************"<<endl; for(j=0;j<=3;j++) { inti=0; doubleb,a,b1,b2; cout<<endl; cout<<"Initialvalue"<<""<<A[j]<<endl; b=A[j]; cout<<"i="<<setw(4)<<setiosflags(ios::left)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<"0"; do { a=b; b1=pow(3*a,(double)1/3); b2=pow(3*b1,(double)1/3); b=b2-pow(b2-b1,2)/(b2-2*b1+a); i=i+1; if(i%2==0) cout<<endl; cout<<"i="<<setw(4)<<i; cout<<setprecision(7)<<setw(15)<<b<<setw(15)<<b-a; }while(abs(b-a)>=0.000001); cout<<endl; cout<<"Thefinalrootis"<<""<<b<<""<<"witherror"<<b-a<<endl; }}运行的结果：1.Jacobi迭代法的运行结果：（均不发散）2.牛顿下山法（均不发散，）3.加速迭代法（初值为0.1，结果发散，其余初值结果均不发散）4.Aitken迭代法（初值为0.1，结果发散，其余初值结果均不发散）误差分析与绘图：1.Jacobi迭代法：利用Jacobi迭代法的误差随着迭代步数的增加，误差逐渐趋于零，最终都达到了设定的精度范围，所有的结果都不发散，四个初值都在14到15步迭代后达到得到方程的根。均为x=1.73205的根。2.牛顿下山法：利用牛顿下山法迭代时，误差随着步数变化如上图，初值0.1,0.2在三步迭代后得到结果均为x=0，初值0.9和9.0分别进过7步和9步得到结果，分别为x=-1.73205和x=1.73205。在，四个初值结果均不发散。3.加速迭代法：在使用加速迭代法时，误差变化如上图所示，初值0.1最终发散，其余的初值进过迭代都得到结果。初值0.2迭代步数12，结果x=1.732