2021北京清华附中朝阳学校初二（上）期中数学（教师版）

25/252021北京清华附中朝阳学校初二（上）期中数学一、选择题（本题共30分．每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列图形中，具有稳定性的是（）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（）A. B. C. D.4.下列各式中，从左到右变形是因式分解的是（）A. B.C. D.5.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形6.如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1＞∠4+∠5 D.∠2＜∠57.如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，补充下列一个条件后，不能判断△ABE

≌△ACD的是（）A.∠B=∠C B.BE=CDC.∠BDC=∠CEB D.AD=AE8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）．A.在AC、BC两边高线的交点处 B.在AC、BC两边垂直平分线的交点处C.在AC、BC两边中线的交点处 D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处9.如图，已知∠MON及其边上一点A，以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B，错误的结论是（）.A. B.∠OCB＝90° C.∠MON＝30° D.OC＝2BC10.已知长方形ABCD可以按图示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有（）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长②长方形ABCD的长宽之比可能为2③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100A.①② B.①③ C.②③④ D.①③④二、填空题（本题共18分，每小题3分）11计算：______．12.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长是_______．13.，，则____．14.如图，在△ABC中，BA=BC=6，∠ABC=120°，D为AC中点，则BD=______．15.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于D点．若BD平分∠ABC,则∠A＝________________°．16.如图1，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若AB＝AC＋CD，那么∠ACB与∠ABC有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：如图2，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE．由AB＝AC＋CD，可得AE＝AB．又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED，进一步分析就可以得到∠ACB与∠ABC的数量关系．（1）判定△ABD与△AED全等的依据是__________；（2）∠ACB与∠ABC的数量关系为：_________．三、解答题（17题8分，18题4分，19-21每题5分，22-24每题6分，25题7分，共52分）17.计算：①；②．18.分解因式：．19化简求值，其中x=6．20.如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（－1，2），B（2，1）．（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（2）△A1OB1的面积为；（3）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为．21.如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．22.下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ∥直线l．作法：如图2，①在直线l上取一点A，连接PA；②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，∴，∵，∠POQ=∠AOB∴．∴．∴PQ∥l（）（填推理的依据）．23.已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED=30°．（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=3，求△ABC周长．24.对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母x取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式B=建立联系．下面我们改变x的值，研究一下A，B两个代数式取值的规律：x-2-1012310521517105（1）完成上表；（2）观察表格可以发现：若x=m时，，则x=m+1时，．我们把这种现象称为代数式A参照代数式B取值延后，此时延后值为1．①若代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，求代数式D；②已知代数式参照代数式取值延后，请直接写出b-c的值：________．25.已知，如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C的直线CH和AC的夹角∠ACH=α，请按要求完成下列各题：（1）请按要求作图：作出点A关于直线CH的轴对称点D，连接AD、BD、CD，其中BD交直线CH于点E，连接AE；（2）请问∠ADB的大小是否会随着α的改变而改变？如果改变，请用含α的式子表示∠ADB；如果不变，请求出∠ADB的大小．（3）请证明△ACE的面积和△BCE的面积满足：．26.选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如选取二次项和一次项配方：x2-4x+2=x2-4x+4-4+2=（x-4x+4）-2=（x-2）2-2根据上述材料，解决下面问题：（1）写出二次三项式x2-2x+2配方的过程和结果．（2）已知a2﹣4a+20=8b﹣b2，求a，b的值．（写出过程）（3）如图1，已知A（0，a），B（b，0），且a、b满足（2）的结论，连接AB，如图2，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM=AB，连接AM，试判断线段AC与AM关系，并证明你的结论；（4）如图3，在（3）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP，连接PN交y轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，QH的长度是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

2021北京清华附中朝阳学校初二（上）期中数学参考答案一、选择题（本题共30分．每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】D【解析】【详解】A、不是轴对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选A．2.【答案】A【解析】【分析】根据三角形具有稳定性即可得出答案．【详解】解：A．三角形具有稳定性，故本选项符合题意；

B．平行四边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；

C．五边形不具有稳定性，故本选项不符合题意；

D．梯形不具有稳定性，故本选项不符合题意；

故选：A．【点睛】本题考查了三角形的稳定性和平行四边形、梯形、五边形不具有稳定性．3.【答案】D【解析】【详解】解：选项A，x与x2不是同类项不能合并；选项B，原式=x6；选项C，原式=x6；选项D，原式=x6；故选D．4.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的定义判断即可．【详解】A.结果不是乘积的形式,不是因式分解,不满足题意;B.是整式运算,不满足题意;C.是因式分解,满足题意;D.,结果不是乘积的形式不是因式分解,不满足题意;故选C．【点睛】本题考查分辨因式分解的题型,关键在于熟记定义．5.【答案】D【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得，（n-2）•180°=2×360°，解得n=6，所以，这个多边形是六边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．6.【答案】A【解析】【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知B选项∠2＞∠3，C选项为∠1=∠4+∠5，D选项为∠2＞∠5．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断．7.【答案】B【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法一一判断即可．【详解】解：A、根据ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．B、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．C、根据AAS或ASA即可证明三角形全等，本选项不符合题意．D、根据SAS即可证明三角形全等，本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识．8.【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【详解】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处，故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键．9.【答案】D【解析】【分析】由作图可得OA=AC=AB=BC，根据等底同高面积相等可对A进行判断，根据三角形一条边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形可对B进行判断；根据△ABC是等边三角形，△AOC是等腰三角形可对C进行判断；根据OB=2BC可对D进行判断.【详解】过C作CD⊥OB，垂足为D，如图所示，∵S△OAC=，S△ABC=，OA=AB，∴，故选项A正确，不符合题意；∵OA=AC=AB=BC，∴BC=OB，∴△OCB是直角三角形，∠OCB=90°，故选项B正确，不符合题意；在Rt△OCB中，∠OCB=90°，BC=OB，∴∠COB=30°，即∠MON＝30°，故选项C正确，不符合题意；∵OB=2BC，OB＞OC，∴OC≠2BC，故选项D错误，符合题意.故选：D.【点睛】此题考查了直角三角形和等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是能根据题意得到OA=AC=AB=BC．10.【答案】B【解析】分析】根据矩形面积关系和整式运算法则进行分析即可.【详解】如图，根据平移性质可得，图中C1+C2+C3=C四边形ABCD,故①正确；若长方形ABCD的长宽之比为2，则，2b+a=4a+2b,此等式不成立，故②错误；当长方形ABCD为正方形时，2a+b=2b+a，即a=b，所以九部分都为正方形，故③正确；当长方形ABCD的周长为60时，2a+b+2b+a=60，即a+b=20,所以四边形ABCD的面积=（2a+b）（2b+a）=2（a+b）2+ab=2×202+ab>60;故④错误；故选：B【点睛】考核知识点：整式运算的应用.理解矩形面积关系是关键.二、填空题（本题共18分，每小题3分）11.【答案】##2+3a【解析】【分析】利用多项式的每一项除以单项式，即可得到答案．【详解】解：；故答案为：．【点睛】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．12.【答案】20【解析】【分析】分腰长为4或腰长为8两种情况，根据等腰三角形的性质求出周长即可得答案．【详解】当腰长是4cm时，三角形的三边是4、4、8，∵4+4=8，∴不满足三角形的三边关系，当腰长是8cm时，三角形的三边是8、8、4，∴三角形的周长是8+8+4=20．故答案为：20【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13.【答案】【解析】【分析】根据同底数幂除法的逆运算求解即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了同底数幂除法的逆运算，解题关键是熟记同底数幂除法法则，熟练运用它的逆运算解答．14.【答案】3【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°，∴∠C=∠A=30°，∵D为AC边的中点，∴BD⊥AC，∵BC=6，∴BD=BC=3；故答案为：3．【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．15.【答案】36．【解析】【详解】试题分析：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分线MN交AC于D点．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，设∠A为x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝36°，故答案为36．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得出角相等，然后在一个三角形中利用内角和定理列方程即可得出答案．16.【答案】①.SAS②.【解析】【分析】（1）根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵AE＝AB，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS），故答案为：SAS；（2），，，，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．三、解答题（17题8分，18题4分，19-21每题5分，22-24每题6分，25题7分，共52分）17.【答案】①0，②【解析】【分析】①根据幂的运算法则计算即可；②先计算乘方、算术平方根、0指数，再加减即可．【详解】解：①===0②==【点睛】本题考查了幂的运算和实数计算，解题关键是熟练运用幂的运算法则进行计算，明确0指数和算术平方根的意义．18.【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．【详解】解：，=，=．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：分解要彻底．19.【答案】，33【解析】【分析】先用乘法公式和整式乘法法则进行化简，再代入数值计算即可．【详解】解：==把x=6代入，原式=．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式和整式乘法法则进行化简，准确进行计算．20.【答案】（1）图见详解，A1（1，2），B1（﹣2，1）；（2）2.5；（3）（1，0）．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，找出对应点的位置即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1OB1的面积．（3）根据两点之间，线段最短可知：作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P，可得点P的坐标．【详解】解（1）如图所示，即为所求，由图形知，A1（1，2），B1（﹣2，1）；（2）△A1OB1的面积＝3×21×22×11×3＝2.5，故答案是：2.5；（3）如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P，由图形知，点P即为所求，点P的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．【点睛】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．21.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据平行得出，然后用“边角边”证明即可．【详解】证明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．22.【答案】（1）见详解；（2）AO，OB，∠QPO，∠BAO．内错角相等，两直线平行．【解析】【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形；（2）利用线段垂直平分线的性质得到PO=AO，∠POQ=∠AOB=90°．则判断△POQ≌△AOB，从而得到∠QPO=∠BAO，然后根据平行线的判定得到结论．【详解】解：（1）如图2，PQ为所作；（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，∴PO=AO，∵OQ=OB，∠POQ=∠AOB，∴△POQ≌△AOB，∴∠QPO=∠BAO，∴PQ∥l（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AO，OB，∠QPO，∠BAO．内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．23.【答案】（1）证明见解析；（2）36.【解析】【详解】试题分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE；

（2）根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半DC=6，AC=12，即可求得△ABC的周长．试题解析：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）；（2）解：∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=3，∴DC=6，∵AD=CD，∴AC=12，∴△ABC的周长=3AC=36．24.【答案】（1）2；2，1，2；（2）①，②7.【解析】【分析】（1）把x值代入解析式计算可得；（2）①根据延后值的定义写出解析式再化简；②由上述可知，a=3,且两个式子都可以化为形式：a(x-h)2+1.可得=.【详解】（1）把x值代入解析式计算可得：2；2，1，2．（2）①∵代数式D参照代数式B取值延后，相应的延后值为2，∴②由上述可知，a=3,且两个式子都可以化形式：a(x-h)2+1.所以=；所以=所以b-c=7【点睛】考核知识点：完全平方式.配方，寻找数量关系是关键.25